毫米波MIMO系统中高频谱效率的混合预编码算法

周 围，杨秋艳

(重庆邮电大学 a.通信与信息工程学院; b. 移动通信技术重庆市重点实验室，重庆 400065)

0 引 言

在毫米波大规模多输入多输出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)系统中，数字和模拟相结合的混合预编码技术是消除数据流间干扰并提升系统性能的重要技术之一[1-4]。混合预编码的结构主要分为部分连接结构和全连接结构[5]，前者硬件成本较低但频谱效率也远低于基带数字预编码器[6-7]；后者可以获得全部的天线阵列增益，因此具有较好的频谱效率。文献[8]利用正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法获得混合预编码矩阵，但由于模拟预编码矩阵的取值受阵列响应矩阵的限制，该算法的频谱效率较低，特别是数据流数较大时；文献[9]利用赫尔德不等式提出了基于相位提取的交替最小化 (Alternate Minimization using Phase Extraction，PE-AltMin)算法，该算法在频谱效率上优于OMP算法，但射频链数增加对算法频谱效率的提升相对缓慢；文献[10]在PE-AltMin算法的基础上引入正交约束来初始化模拟预编码矩阵，略微提高了系统的频谱效率；文献[11]中基于信道奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的算法虽然复杂度低，但频谱效率还有待提升；此外，文献[12-13] 还提出了收发联合的混合预编码算法。

在上述文献的研究基础上，本文设计了一种基于梯度下降法的交替最小化(Alternate Minimization based on Gradient Descent (GD-AltMin)混合预编码算法。与文献[8-11]相比，本文所提算法的频谱效率更接近最优无约束预编码算法的频谱效率，特别是射频链数大于数据流数时，其频谱效率远远优于其他算法。

1 系统模型与问题构想

1.1 系统模型

式中：x=[x1,x2,…,xNt]T∈Nt×1；s=[s1,s2,…,sNs]T∈Ns×1为原始信号，且满足为期望，INs为Ns×Ns维的单位矩阵；FBB∈NRF×Ns为低维数字预编码矩阵；FRF∈Nt×NRF为高维模拟预编码矩阵。由于模拟预编码部分由移相器构成，只能提供相位调整，因此模拟预编码矩阵中的每个元素有相同的振幅，即式中，m和k为矩阵的第m行第k列元素。此外，发射端满足总功率约束条件经毫米波信道传输后,接收端经过处理后的接收信号y为

式中：y=[y1,y2,…,yNs]T∈Ns×1为接收矢量；ρ为平均接收功率；n为加性高斯白噪声矢量，服从CN(0,σ2I)，σ2为加性高斯白噪声的功率，I为单位矩阵；H∈Nr×Nt为信道矩阵；WRF∈Nr×NRF和WBB∈NRF×Ns分别为接收端的模拟和数字组合矩阵，与模拟预编码矩阵类似，模拟组合矩阵只提供相位调整，即满足因此在该系统模型下，频谱效率可表示为

图1 单用户毫米波大规模MIMO系统模型

1.2 信道模型

由于毫米波较高路径损耗导致的空间稀疏性，以及密集的天线阵列导致毫米波在传播过程中存在显著的天线相关性，本文采用文献[8]提出的一种基于扩展的S-V(Saleh-Valenzuela)的信道模型来模拟毫米波的传播环境。该信道模型有Ncl个散射簇，每个簇包括Nray条传输路径，因此信道矩阵H可表示为

在相同天线元件数目条件下，均匀平面阵列(Uniform Planar Array, UPA)更易于小型化和封装，且能产生水平和垂直波束，因此本文假设收发两端都采用UPA。UPA的每一行有N1个天线元件，每一列有N2个天线元件，则UPA响应矢量aUPA可表示为

式中：N=N1×N2且0≤n1

1.3 问题描述

本文的优化目标是联合设计(FBB,FRF,WBB,WRF)使式(3)最大化。但FRF和WRF的恒模约束使这4个矩阵变量的联合设计问题过于复杂，难以实现。因此混合预编码的设计问题通常解耦为两个独立的子问题，即发射端的预编码设计问题和接收端的组合器设计问题。两者有相似的数学公式，只是前者有一个额外的功率限制。为简化设计，本文重点研究了发射端混合预编码器的设计，提出的算法同样适用于接收端的解码器。在发射端，最大化频谱效率问题可近似为最大化互信息量：

最大化式(6)可等效为最小化式(7)[9]：

式中：‖·‖F为矩阵Frobenius范数；Fopt为最优无约束预编码矩阵，由H右奇异矩阵的前Ns列矢量构成。

2 GD-AltMin算法

由于式(7)本质上是一个涉及两个矩阵变量FRF和FBB的矩阵分解问题，然而FRF恒模约束的存在使得该优化问题仍是复杂的。因此，本文利用文献[9]中PE-AltMin算法提到的交替最小化理论对这两个矩阵变量进行迭代优化，交替求解FBB和FRF。

2.1 数字预编码矩阵的设计

先固定模拟预编码矩阵FRF来设计数字预编码矩阵FBB。因此，式(7)可重新表述为

暂时移除功率约束，根据最小二乘法可解得：

2.2 模拟预编码矩阵的设计

在下一步的交替过程中，将数字预编码矩阵FBB固定，寻找一个模拟预编码矩阵来优化下面的问题：

式中：α为步长；∇FRFf(FRF)为目标函数f()对FRF的梯度，经数学推导可得：

为使每次迭代目标函数的值能逐渐减少，本文提出一种动态步长算式，即步长α的设定应能够最小化下式：

式中，Tr()为矩阵的迹。

观察式(13)可得，α可设定为

式中，∠(·)为取相位。经上述分析即可获得FRF和FBB，然后不断交替迭代直到满足误差终止条件。

为进一步加快算法的收敛速度，提升系统频谱效率，本文利用信道SVD算法优化该算法的初始值，即提取V矩阵前NRF列的相位作为模拟预编码矩阵的初始值，V为信道矩阵奇异值分解(H=UΣVH)后的右奇异矩阵(U、Σ分别为信道矩阵奇异值分解后的左奇异和对角矩阵)。因此，本文所提GD-AltMin混合预编码算法的具体步骤如下：

1、输入H、NRF、Ns和误差值；

2、对信道矩阵进行SVD：[U，Σ，VH]=svd(H)；

3、最优无约束预编码矩阵：Fopt=V(1∶Ns)；

4、初始化FRF=∠V(1∶NRF)；

5、重复步骤6～8，若触发终止条件，跳转到步骤9；

10、输出FRF和FBB。

3 仿真结果分析

为验证本文所提算法的有效性和正确性，本小节给出了不同混合预编码算法在相同结构下频谱效率的对比。仿真采用S-V信道模型，假设共有5个散射簇，单个簇信道内包括10个单散射体，即Ncl=5,Nray=10，每个簇信道内出发角和到达角的方位(仰)角均服从拉普拉斯分布。收发端采用UPA。所得的结果均是经过1 000次独立信道仿真后的平均值。

图2 NRF=Ns=4、Nr=36和Nt=144时，目标函数随迭代次数K的变化曲线

图3所示为在天线数目Nt=256、Nr=36以及收发端射频链数和数据流数相等即NRF=Ns={4,8}情况下，本文所提GD-AltMin算法与OMP[8]、PE-AltMin[9]、信道SVD[11]以及最优无约束预编码算法的频谱效率随信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)变化的曲线。由图可知，所有混合预编码算法的频谱效率均随SNR的增加而稳步增加，本文所提算法远优于经典的OMP算法，相比PE-AltMin和信道SVD算法更接近最优无约束预编码算法。此外，NRF=Ns=4时，本文所提算法的频谱效率只是略优于PE-AltMin和信道SVD算法，但随着数据流的增大，如NRF=Ns=8时，PE-AltMin和信道SVD算法与最优无约束预编码算法的差距变大，本文所提算法与最优无约束预编码算法之间的差距基本不变，可以看出数据流数的变化对本文算法的影响不大，相比于其他算法，数据流数较大时，本文所提算法的优势更加明显。

图3 Nt=256、Nr=36和NRF=Ns={4,8}时，频谱效率随SNR的变化曲线

图4所示为不同混合预编码算法的频谱效率随射频链数目变化的情况。由图可知，在数据流数Ns=4和SNR=0的条件下，射频链数的增加对信道SVD和PE-AltMin算法没有明显增益效果，而GD-AltMin和OMP算法随着射频链数的增加不断逼近最优无约束预编码算法的频谱效率，但GD-AltMin算法的频谱效率一直远优于OMP算法。此外，当NRF≥2Ns时，本文所提算法的频谱效率与最优无约束预编码算法之间只存在极小的差距。因此，本文所提算法更适合射频链数大于数据流数的实际情况。

图4 Ns=4和SNR=0时，不同射频链数的频谱效率

图5所示为在NRF=Ns=8的毫米波大规模MIMO系统中，各算法的频谱效率与发射端天线数目之间的关系。当收发端天线数分别为Nr=36和Nt={36,64,100,144，196,256}时，得益于天线阵列增益的增加，所有算法的频谱效率均随着发射端天线数目的增加而提升，本文算法一直优于其他几种算法，最接近最优无约束预编码算法。当发射端天线数目较小时，几种算法的频谱效率相差不大，但随着天线数目的增加，本文所提算法与其他几种算法之间的频谱效率差距越来越大，这证实了本文所提算法的优越性。

图5 NRF=Ns=8和Nr=36时，发射端不同天线数目的频谱效率

上述仿真结果均是假设收发端已获得完美信道状态信息(Channel State Information, CSI)，但在实际场景中往往不能获得完美的CSI，因此图6研究了信道估计误差对这几种混合预编码算法的影响。根据文献[14]，非完美CSI下的信道矩阵可表示为

式中：ξ为信道估计的精准度，其取值范围为[0,1]；E为误差矩阵，其元素服从CN(0,1)。以天线数Nt×Nr=256×36和NRF=Ns=8的毫米波大规模MIMO系统为例，对比图3可知，在非完美CSI (ξ=0.8)场景中，各混合预编码算法的频谱效率都有所下降，但本文所提算法依然优于PE-AltMin、信道SVD和OMP算法。

图6 Nt×Nr=256×36和NRF=Ns=8时，非完美CSI下的频谱效率

4 结束语

针对全连接结构下的毫米波大规模MIMO系统，本文在信道SVD算法的基础上，利用梯度下降法和最小二乘准则对模拟和数字预编码进行设计，并结合交替最小化原理，使所设计的混合预编码器不断接近最优无约束预编码器。仿真结果表明，本文所提算法相比于PE-AltMin、信道SVD和OMP算法具有更优的频谱效率，当射频链数大于数据流数或数据流数较大时，这一优势比其他算法更明显。此外，本文所提算法在非完美CSI下也能取得不错的频谱效率。