基于禁飞区规避的高超声速飞行器再入制导律设计

田若岑，张庆振，郭云鹤，程 林

（1.北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100191；2.上海机电工程研究所，上海 201109；3.北京航空航天大学宇航学院，北京 100191）

0 引 言

军事需求促进了导弹武器的不断发展，飞行速度更快、活动范围更大的高超声速再入飞行器能够适应现代战争空天一体化的需求，经过几十年的发展，其理论已经逐渐成熟，并且经过了实践的检验。为了应对威力巨大的导弹武器，世界各国也加紧研究各种对抗导弹武器的技术，导弹武器与反导弹装备的竞争从未停止过，各种导弹探测、拦截技术等成为了导弹的“拦路虎”。高超声速导弹飞行过程中会因敌方的探测与拦截，产生禁飞区，导弹武器应该在飞行过程中尽可能躲避禁飞区，防止被拦截，从而减小脱靶量，增大毁伤效能。为实现高超声速导弹完成攻击任务的同时规避禁飞区，需要设计相应制导律，开展再入段轨迹规划，完成目标打击与禁飞区规避任务。

针对该问题，国内外学者展开了相关的研究。文献［4］和文献［5］利用Gauss伪谱法研究了多约束条件下的再入轨迹优化问题，前者还设计了满足禁飞区约束和航路点约束的最优再入轨迹；文献［6］结合Gauss伪谱法和滚动时域优化方法，设计出能够规避禁飞区的实时优化轨迹；文献［7］使用了比例代价的方法来远离禁飞区；文献［8］使用了内部障碍惩罚函数的技巧对禁飞区进行了规避；文献［9］采用预测校正方法，分通道设计考虑禁飞区威胁；文献［10］则是将禁飞区约束进行了转化，利用A*路径规划方法解决了禁飞区规避问题；文献［11］分析了气动参数对再入飞行器横侧向机动性能的影响，提出了考虑禁飞区的机动弹道耦合设计方法；文献［12］则是通过三触角预测与侧滑角瞬变方案来规避禁飞区。

本文针对高超声速导弹再入飞行过程，考虑其飞行过程中受到的动压、热流和过载等约束，以及躲避禁飞区引入的飞行轨迹约束，提出了离线的纵向横侧向分通道制导律设计以及在线的预测校正制导方法，以提高精度、降低脱靶量。通过仿真，验证了本文方法能够通过射程预测校正来修正躲避禁飞区引入的射程误差。

1 高超声速飞行器再入过程模型建立

1.1 高超声速再入飞行器动力学模型

再入飞行器的轨迹优化问题通常考虑地球为旋转圆球的三自由度再入运动模型，并且侧滑角为零。飞行器的位置参数由地心距离，经度和纬度来描述；表示射程角，速度矢量由速度大小，航迹角和航向角来确定；航迹角是速度向量与当地水平面之间的夹角，向上为正；航向角是速度向量在当地的水平投影与正北方向的夹角，顺时针旋转为正。由上述参数表示的无动力再入滑翔运动的方程为

式中：表示地心距；为飞行器质量；为速度；为经度；为纬度；为射程角；和为气动升力与气动阻力；和为航迹角和航向角；为倾侧角；为地球自转角速率，由于地球自转影响较小，我们通常可以忽略该项，从而简化式（5）～（7）为

由于是无动力滑翔再入，采用零侧滑角飞行，所以上述动力学方程的控制量主要是攻角和倾侧角，通过控制攻角能够控制升力和阻力大小，通过控制倾侧角的幅值和方向能够控制航迹角与航向角；通常对于大升阻比飞行器，攻角设计时主要考虑热防护效应。结合再入制导问题，由于攻角的调节代价远高于倾侧角的调节代价，再入飞行器一般选择用预定攻角剖面飞行，攻角采用与飞行速度有关的三段式剖面形式，如式（11）所示。

式中：是飞行器允许的最大攻角；为最大升阻比对应攻角；和为速度结点；为初始速度。

因此再入过程中可以进行设计的控制量就是倾侧角，通过设计倾侧角获取满足各类约束与禁飞区规避需求的轨迹。

1.2 再入过程约束模型建立

高超声速飞行器再入过程要求满足热流密度̇、过载、动压以及平衡滑翔条件等各种弹道约束，它们往往可将再入轨迹限制在较为狭窄的范围内。其中动压、热流密度和过载约束必须严格满足，否则再入飞行器在结构和热防护性能上是不可靠的。尤其高超声速飞行器，存在严重的气动加热，这个问题更加突出。

1）热流密度约束

在研究飞行器轨迹优化问题时，通常以驻点热流密度作为约束条件，因为驻点是飞行器加热较为严重的区域，其表达式为

4）平衡滑翔约束

相比较热流密度、动压、过载约束，平衡滑翔条件是一种保持轨迹稳定的“软约束”（如式（17）所示），只有当飞行器满足该条件时，才能通过调节倾侧角对轨迹进行规划跟踪。相应而言，关系到再入过程安全与否的热流密度、动压和过载约束称之为“硬约束”，飞行器应严格遵守该类约束。

1.3 禁飞区模型建立

禁飞区是指再入飞行器受雷达探测、电磁干扰、拦截以及地形、地缘政治等因素影响而形成的区域，再入轨迹应尽量规避禁飞区。为了便于设计分析，将禁飞区视作无限高圆柱体，飞行器轨迹只能从左右两侧规避，而不考虑从上方或下方规避的情况。假定、、、、、分别表示飞行器当前经度、当前纬度、禁飞区中心所在经度、中心所在纬度、禁飞区半径与地球半径，则应满足式（21）所示路径约束。

2 纵向制导律设计

高超声速飞行器制导律设计通常采用纵向、横侧向分离的方法：设计纵向制导律确定倾侧角幅值以满足再入过程约束与终端射程约束；设计横侧向制导律确定倾侧角方向来进行目标的导引与禁飞区规避。这种分离是建立在式（9）与（10）基础上的，式（9）描述了控制量倾侧角对纵向轨迹的影响，式（10）描述了控制量对横向轨迹的影响。式（9）中控制量在cos 函数内，表明控制量的幅值影响航迹角；而式（10）中控制量在sin 函数内，表明控制量的符号和幅值影响航向角。因而，先设计倾侧角幅值，再设计倾侧角符号就能够满足轨迹设计的需求。

在解决多约束条件下的再入制导问题时，可以采用数值优化方式，将再入轨迹控制问题转化为一个多约束条件下的非线性规划（nonlinear programming，NLP）问题，区别于无人机路径规划，通过设定相应的优化目标（例如飞行时间、飞行距离、能量消耗、热流等），在动力学约束和动压、过载、热流、起始终端约束条件下，求解离散后的最优控制量，从而获得最优纵向制导律。但是这种方式解算速度较慢，这是由于优化目标比较复杂，容易陷入局部极值。

为了加快寻优速度，可以提前将约束条件进行转化，构建HV 走廊（高度-速度走廊）或DV 走廊（阻力-速度走廊），限定飞行器的飞行边界，并根据平衡滑翔条件建立倾侧角走廊。将倾侧角选在该范围内，就能够让飞行轨迹满足各类约束，将多约束的非线性规划问题转化为无约束优化问题。

2.1 再入走廊建立

再入走廊的目标是将约束转化为一致形式，本文选用HV 走廊进行设计。根据式（13）～（15）、（17）与大气密度模型，可将升力和阻力计算式表达为

式中：()和()分别为HV走廊的上下边界，将飞行器的再入过程高度与速度控制在该走廊范围内，就能够得到满足上述约束的轨迹。

飞行器的倾侧角走廊是在飞行器HV 走廊基础上，根据平衡滑翔条件进一步推导的结果，它将再入制导的过程约束直接转化为对控制变量的取值范围约束，可以大大简化轨迹优化问题，因此再入制导过程中的控制剖面参数化应用相当广泛。在HV 走廊基础上，根据飞行器平衡滑翔条件（式（17）），已知攻角、高度和速度的情况下，可以确定其平衡滑翔倾侧角为

如（29）式所示，倾侧角上边界为飞行过程硬约束，下边界为平衡滑翔角软约束，是非关键约束限制，故将其设置为0。

2.2 初始下滑段与再入末段分析

飞行器再入过程面临多种过程约束限制，通过HV 走廊与倾侧角走廊技术将过程转化成为对倾侧角控制量的直接约束。然而，再入初始下滑段存在以下特点：

1）高空低大气密度，导致飞行器气动力严重不足，因此倾侧角对整个轨迹的调整能力非常微弱；

2）飞行器以大的角度俯冲飞行，因此这一段不满足平衡滑翔飞行，从而导致倾侧角走廊无法保障约束；

3）整个飞行过程的热密度峰值就出现在这一段终点的谷底处，如果处理不当，很容易违反热约束，威胁飞行器安全；

4）初始下滑段若以固定倾侧角飞行，表现出倾侧角越大，飞行谷底越低，热流密度峰值越大的规律；

5）这一段处在整个再入飞行的初始，初始的航向调整对再入飞行非常关键，因此不能简单地以零度倾侧角飞行。

故需要对再入初始段的倾侧角取值进行限制，倾侧角限制值根据热流密度约束反向求解，可表达为

初始下滑段的固定倾侧角满足≤，就能保证̇()≤̇。

求解过程如图1所示。

图1 初值倾侧角求解流程Fig.1 Process of inclination angle initialization

为了保证与末制导段的交接班条件，飞行器需要满足一定的能量约束，即高度约束与速度约束。将终端高度与速度代入式（28）可得终端滑翔倾侧角。再入终端以滑翔飞行，则可满足终端能量约束。

基于上述分析，将初始下滑段、再入中段与再入终段的倾侧角走廊进行复合处理，步骤如下：

1）初始下滑段，倾侧角不能超过以保证热流约束；在平衡滑翔段，倾侧角剖面应该小于并大于以保障过程约束；

2）在能量交接段，为保障高度、速度约束，采用终段平衡滑翔角进行末段飞行；

3）三个走廊合并可得复合倾侧角走廊，其中上界由、和组成，下界由和构成。为了保证制导指令的连续性，在和、和、和添加线性过渡过程，形成节点、和。

最终可得复合倾侧角走廊，上界为()，下界为()。给定速度时，倾侧角取值应满足

飞行器再入过程若倾侧角满足式（31），过程约束和能量约束基本能够得到满足。

2.3 倾侧角与射程关系分析

在飞行器再入过程中，选择倾侧角幅值与攻角作为纵向设计的控制量，倾侧角符号作为横向设计的控制量。纵向进行控制的目的是为了让导弹在飞行到达目标高度时，具备要求的射程。

倾侧角的取值会对射程产生影响，倾侧角幅值在再入动力学中主要对航迹角速率产生影响，而航迹角的取值会影响高度下降的快慢。当倾侧角在全速度区间取值较小时，升力在垂直空间内分量较大，因而航迹角速率趋向于一个较大值，这会导致导弹的高度下降较慢，从而让导弹从指定高度到目标高度需要更长的时间，射程也就相应增加；反之，若倾侧角取值较大，航迹角取值偏小，则会导致高度下降迅速，射程减小。

射程约束如式（32）所示。

高度与空气密度成反比，在相同速度区间下，射程对速度的微分取值大小与空气密度成反比，即高度越高，该微分取值越大，而高度又与倾侧角取值成反比，倾侧角取值越小，高度越高，从而倾侧角取值越小，射程越远，呈单调关系。

由上述分析可知，倾侧角的取值与再入射程成单调关系，因此设计倾侧角取值为

通过求解上式的零点，就可以得到满足过程约束与射程约束的倾侧角取值，完成纵向轨迹规划任务。

3 横侧向制导律设计

3.1 航向角偏差走廊

在纵向制导律设计的基础上，确定倾侧角符号，控制飞行方向，导引飞行器规避禁飞区，到达目标区域。在无需规避禁飞区时，采用航向角偏差走廊确定倾侧角方向，航向角误差定义为

航向角误差与对应走廊示意图如图2～3所示。

图2 航向角误差示意图Fig.2 Diagram of heading angle error

图3 航向角误差走廊Fig.3 Heading angle error corridor

设计倾侧角符号逻辑表达为

不考虑禁飞区因素时，横侧向倾侧角符号的确定逻辑是：如果飞行器航向角与弹目视线角误差大于偏差上界或小于偏差下界，则翻转倾侧角符号；若处于上下界之间，则保持原定倾侧角符号。通过设置航向角误差走廊的上界与下界，给予再入初段较小的区间，使得飞行器快速调整方向；再入中段增大走廊区间，给予飞行器较大的横侧向自由度；再入末端再减小走廊区间宽度，使得飞行器飞行方向逐渐收敛于目标区域。

3.2 禁飞区规避

当飞行器接近禁飞区时，飞行器的首要任务从到达目标区域转变为规避禁飞区，此时基于飞行器与禁飞区的几何关系确定倾侧角方向。假定飞行器在位置(，)，禁飞区圆心位于(，)处，半径为。

图4 禁飞区示意图Fig.4 Diagram of no fly zone

此时，飞行器速度向量相对于禁飞区Z存在、、、四种关系，定义为

当速度向量v位于或区域时，会与禁飞区发生碰撞，需要改变倾侧角方向，区靠近左侧，故向左规避，区同理，如式（40）所示。

横侧向确定倾侧角符号逻辑如下：

1）判断飞行器是否已经通过禁飞区，将飞行器速度向量与飞行器-禁飞区中心视线向量做内积，若结果为负，说明已经过禁飞区，按照式（38）确定倾侧角方向，若为正则进入逻辑2）；

2）计算飞行器与已知禁飞区之间距离，若距离大于某一阈值，则飞行器尚未接近禁飞区，倾侧角符号依照式（38）确定，若距离小于阈值进入逻辑3）；

3）按照式（39）确定速度向量相对于禁飞区的几何关系；

4）根据几何关系，按照式（40）和（41）确定倾侧角符号。

3.3 射程预测校正

高超声速飞行器再入过程纵向横侧向分离设计，先设计纵向制导律确定倾侧角的赋值大小，再设计横侧向制导律确定倾侧角的方向。纵向设计获得需求射程的倾侧角幅值是在纵向二维平面内计算得出的，并未考虑横侧向倾侧角方向改变带来的弹道曲折情况。根据式（36）及分析可知，飞行器射程可表示为()的形式，且()是单调函数。

对当前倾侧角权重对应射程进行预测，与实际待飞距离进行比较，根据射程误差对权重值进行校正，从而减小终端射程误差，校正如式（42）所示。

式中：表示飞行器当前位置与目标区域所剩余距离，可将当前经纬度与目标点经纬度代入（32）得到；表示当前权重对应的剩余飞行距离，可由式（4）积分得到。

通过式（42）预测校正，可以有效地减少弹道曲折导致的射程误差，提升制导精度。

4 仿真试验及结果分析

4.1 纵向仿真结果

纵向仿真结果如图5～10 所示，其中图5 再入走廊为热流密度、动压、过载约束与平衡滑翔约束转化得到的飞行器再入HV 走廊，再入过程中只要将飞行器的高度与速度限制在该区间内，就能满足相应的过程约束；图6 倾侧角走廊为式（29）求解出的倾侧角走廊；图7 为根据式（31）求解出的复合倾侧角走廊；图8为根据给定仿真条件求解的纵向再入轨迹；图9 为高度与射程曲线；图10为过程约束满足情况。

图5 再入高度速度走廊Fig.5 Reentry height-speed corridor

图6 倾侧角走廊Fig.6 Inclined angle corridor

图7 复合倾侧角走廊Fig.7 Compound inclined angle corridor

图8 纵向再入轨迹Fig.8 Longitudinal reentry trajectory

图9 射程高度曲线Fig.9 Range-height curve

仿真结果表明，在转化后复合倾侧角走廊内开展轨迹规划，能够生成满足过程约束与终端高度、速度约束的再入轨迹（如图8 和图10 所示）。通过该方式，能够将复杂的过程约束转化为对控制量倾侧角的直接约束，提升轨迹规划的时效性，并为后续的横侧向轨迹规划奠定基础。

图10 约束满足情况Fig.10 Constraint satisfaction

4.2 横侧向仿真结果

横侧向仿真弹道如图11～16所示：图11为规避前后弹道的地面投影图；图12为不同禁飞区大小对应的仿真对比弹道地面投影；图13 和图14 为修改初始再入点的仿真弹道地面投影对比图，其中case1、case2、case3 对应的再入经纬度分别为（160，5）、（155，10）、（165，5）；图15和图16为三维再入弹道。

图11 禁飞区规避弹道Fig.11 No-fly zone avoidance trajectory

图12 不同禁飞区大小规避弹道Fig.12 Different no-fly zone size avoidance trajectory

图13 不同再入点未规避弹道Fig.13 Unavoided trajectory at different reentry points

图14 不同再入点规避弹道Fig.14 Avoided trajectory at different reentry points

图15 三维再入弹道Fig.15 Three dimensional reentry trajectory

图16 三维再入对比弹道Fig.16 Three dimensional reentry contrast trajectory

仿真结果表明，在纵向制导律基础上设计的横侧向制导律，能够有效地规避禁飞区，通过设置不同初始点，不同禁飞区大小，飞行器均能够到达目标区域，绕过禁飞区，实现突破防空拦截的目标。上述仿真结果表明，本文所设计的横侧向制导律能够引导飞行器规壁禁飞区，完成飞行任务，且具备一定鲁棒性，能够适应不同初始条件；而三维仿真结果进一步验证了飞行器的跳跃式弹道特性，从整体上验证了纵向与横侧向制导律的有效性。

5 结束语

本文以高超声速飞行器再入过程为基础，研究了基于禁飞区规避的纵向与横侧向制导律设计。首先通过HV走廊与倾侧角走廊技术将过程约束转化为对控制量的直接约束，再通过控制量上下界加权方法将无穷维寻优转化为单参数寻优；通过纵向制导律设计确定控制量幅值使得飞行器满足过程约束、终端高度速度约束与射程约束；通过横侧向制导律设计确定控制量符号，规划飞行方向，导引飞行器规避禁飞区，到达目标区域；通过实时的射程预测与控制量校正方法，弥补了因规避禁飞区引入的射程误差。仿真结果表明，在线预测校正制导方法能够减少射程误差、提高制导精度，可为对抗防空拦截等目标提供支持。