时间调制阵列天线的非理想波形调制研究

罗玉川 向磊 高彦昌 倪刚 陈靖峰 贺冲 梁仙灵

（上海交通大学电子工程系，上海 200240）

引 言

当前有源相控阵天线主要通过数字衰减器和数字移相器分别控制阵列单元的幅度和相位，实现波束调控. 时间调制阵列作为一种新体制下的有源相控阵天线，其基本原理是通过开关的时间维度调制来控制阵列单元的幅度和相位，即替代衰减器和移相器的调幅、调相功能，具有精度高、损耗小、控制简单等特点.

最早的时间调制阵列天线研究可追溯至20 世纪50 年代末，H. Shanks 等人提出四维电磁辐射的概念[1]. 直到21 世纪初，随着高速射频开关技术的发展，有关时间调制天线的研究掀起新一轮热潮，如电子科技大学杨仕文教授等人提出基于时间调制阵列的边带抑制技术、互耦补偿技术、多普勒技术等[2-3]；Sheffield 大学A. Tennant 教授等人提出基于时间调制阵列的波束形成技术、测向技术[4-5]；Trento 大学P.Rocca 教授等人开展了时间调制阵列的瞬时方向图、方向性系数、边带辐射能量的优化分析[6-7].

上述研究均以理想射频开关为前提，实验过程也往往在较低调制频率下进行，忽略了射频开关的非理想特性对调制波形的影响. 当系统的调制频率较高时，尽管可编程门阵列FPGA 输出矩形调制波，但射频开关及电路执行的却不是矩形波调制，从而影响时间调制阵列天线的幅度、相位调控精度. 2013年，E. T. Bekele 等人比较了矩形波、梯形波和升余弦波调制时的各次谐波能量占比和方向图特性[8]. 2017年，南京理工大学姚阿敏研究了非理想波形调制的类单边带时间调制阵列[9]. 2019 年，R. Maneiro-Catoira 等人也研究了梯形波调制时上升沿时长对时间调制阵列天线的谐波效率影响[10]. 2020 年E. A.Ball 等人分析了任意起止时刻梯形波调制的阵列方向图变化[11]. 同年，Q.Y.Chen 等人分析了非理想阶梯波调制对时间调制阵列的影响[12].

上述各种非理想波调制研究的一个共同特点是调制波均为“对称”波形[8-12]，但实际射频开关响应的上升沿和下降沿的时长往往不同[13]，即“非对称”. 对此，本文首先开展 “非对称”的梯形波、升余弦波的调制研究，分析两种调制波的非对称性对各次谐波的幅度、相位的影响. 在此基础上，通过实验获得一组真实调制波，分析、比较不同波调制下的各次谐波特性.

1 非对称梯形波/升余弦波调制

图1 为N元时间调制阵列，每个阵列单元连接一个单刀单掷的射频开关，通过FPGA 对射频开关进行周期性控制. 假设第n个射频开关的调制信号为

图1 N 元时间调制阵列Fig. 1 N-element TMA

显然，当δ=0 时，式(4)和(5)可简化为理想矩形波调制的傅里叶系数[3]；当δ≠0 且k=1 时，式(4)和(5)可简化为对称梯形波和升余弦波调制的傅里叶系数[8].值得注意是：m=0 时的傅里叶系数积分本质上是求波形曲线与t轴围成的面积，此时两种波调制的傅里叶系数相同，为实数且幅度与k和δ 呈线性关系；当m≠0 时，两种波调制的傅里叶系数不再相同，与k和δ 也不再是简单的线性关系.

图2 两种非对称调制波波形Fig. 2 Two kinds of asymmetric waveforms

单刀单掷射频开关只有导通和断开两种状态，其输出信号各次谐波的频率间隔为一个调制周期Tp.考虑基波的傅里叶系数只包含幅度分量，且与k，δ 均为线性关系，除基波以外，其他高次谐波满足以下规律：

正高次谐波与负高次谐波保持共轭关系，即幅度相等、相位相反. 因此，分析高次谐波分量特性时仅分析其中一个(正或负高次谐波)即可. 由于非对称波调制对应的傅里叶系数表达式较为复杂，并且幅度/相位与变量k，δ 之间不为线性关系，需借助数值计算得到. 图3 的等高图比较了两种非对称波调制在toff,n-ton,n=Tp条件下的+1，+2，+3 次谐波对应的傅里叶系数随δ 和k的变化情况.

由图3 可以看出：当δ=0 时，αn1，αn2，αn3均为0，表示谐波辐射为零，输出信号对比输入信号没有变化；当k=1 时，αn1，αn2，αn3的相位始终保持不变，不随δ 的变化而改变，表明对称的梯形波或升余弦波调制时的傅里叶系数的相位与δ 无关，但与相同起止时刻的矩形波对应的相位一致.

图3 两种非对称调制波在toff,n-ton,n=Tp 条件下谐波对应的傅里叶系数随δ 和k 的变化情况Fig. 3 Changes of corresponding Fourier coefficients with δ and k under toff,n-ton,n=Tp modulated by two asymmetric waveforms

在参数相同的条件下，非对称升余弦调制波的αn1，αn2，αn3的幅度和相位随参数δ 和k的变化要大于对应非对称梯形调制波. 当k∈[1, 2]和δ∈[0, 0.3Tp]时，非对称升余弦调制波的幅度变化分别为[0, 0.26]和[0, 0.13]，相位变化分别为[-180°, -135°]和[-208°,-148°]；非对称梯形调制波的幅度变化分别为[0,0.23]和[0, 0.11]，相位变化分别为[-180°, -150°]和[-217°, -150°]. 与αn1相比，αn2和αn3的幅度随δ 的增大呈现先增加后减少的趋势，相位也不再是单调的递减趋势，表明高次谐波的幅相特性随δ 和k的变化表现得更为明显.

第m次谐波的能量占总能量的比例式为

图4 谐波能量占比随δ 和k 的变化情况Fig. 4 Harmonics energy proportions changes with δ and k

2 不同波形调制的误差分析

2.1 实验波形拟合与调制

实际调制波形往往比较复杂，采用非对称梯形或非对称余弦很难实现波形匹配. 因此可对射频开关的上升沿和下降沿单独进行拟合，使结果更符合实际的开关响应特性.

根据三角函数的完备性可知，任意一段曲线都可以由三角函数线性叠加产生，三角函数的项数越多，拟合越准确. 假设任意调制波形f(t)用三角函数多项式拟合，其表达式为

通过L项不同幅值、频率和相位的三角函数来拟合输出包络信号的上升沿和下降沿曲线，使之更符合真实的开关响应特性.

图5(a)为一个射频开关的实验测试场景图. 实验的调制信号频率fp为10 MHz，载波信号频率为500 MHz，通过FPGA 产生占空比为50%的开关周期调制信号，由频谱仪和示波器分别输出信号的功率谱和时域信号，其射频包络呈现近似非对称梯形调制波，如图5(b)和(c)所示，上升沿和下降沿的时长约为10 ns 和12 ns，对应比值k约为1.2.

借助式(8)～(9)来拟合射频包络的上升沿和下降沿. 首先取出图5(b)中四个完整周期信号包络的波形数据，求出四组数据的平均值，得到加权后的包络曲线. 然后对其上升沿和下降沿进行三角函数拟合，拟合曲线的各项参数如表1 和表2 所示. 从图5(c)可以看出，利用三角函数拟合的上升沿、下降沿曲线平滑地连接了实际信号的各个峰值. 图5(d) 给出了实测归一化功率谱和基于拟合波计算的归一化功率谱，两者吻合较好.

表1 上升沿曲线f1(t)参数Tab. 1 Parameters of rising curve f1(t)

表2 下降沿曲线f2(t)参数Tab. 2 Parameters of falling curve f2(t)

图5 射频开关实验测试Fig. 5 Experimental test of RF switch

2.2 不同波形调制的差异分析

为进一步讨论各种波调制获得的功率谱与实测功率谱之间的差异，表3 比较了两种占空比条件(toff,n-ton,n=Tp，toff,n-ton,n=0.5Tp)下矩形波调制、对称/非对称梯形波调制、对称/非对称升余弦波调制、拟合波调制以及实测基波、谐波归一化分量. 可以看出，当toff,n-ton,n=Tp时，对于对称矩形波调制，开关始终处于完全导通的状态，因此输出信号只包含基波分量，其余高次谐波分量均不存在. 而对称梯形、对称升余弦调制的高次谐波分量均在-19 dB 以下且随着谐波次数的升高而逐渐降低. 对于非对称矩形波调制，情况也基本类似，相比于对称波调制，+1～+3 次谐波分量均有约1 dB 的提升. 当toff,n-ton,n=0.5Tp时，能量主要集中在基波和+1 次谐波. 矩形波调制的偶次谐波(+2 次、+4 次)分量很小，其值均小于-50 dB，与实测偶次谐波分量差异较大，相差大约25 dB. 对称梯形波、升余弦波调制的偶次谐波分量与实测偶次谐波分量差异改善许多，相差大约4～5 dB，但其+1 次谐波分量与实测结果分别相差0.52 dB 和0.46 dB.而非对称梯形波、升余弦波调制的1 次谐波分量与实测结果分别相差仅为0.14 dB 和0.07 dB，但偶次谐波的差异会略有提升，大约4～8 dB. 拟合波形调制的+1，+3 和+5 次谐波与实测结果的差异分别为0.08 dB、0.14 dB 和1.25 dB，+2，+4 次谐波分量的差异分别为3.69 dB、2.47 dB. 总之，若仅仅考虑低次谐波，可选用非对称梯形波或升余弦波调制进行分析. 此外，本实验波的上升沿和下降沿大约只占一个调制周期的10%和12%，倘若上升沿和下降沿的占比增大时，上述偏差也会进一步扩大，此时可采用拟合波调制进行分析.

表3 不同调制波形下的归一化谐波分量比较Tab. 3 Comparison of normalized harmonic components under different modulation waveforms

3 结 论

论文围绕时间调制阵列中射频开关的非理想特性，开展了多种波形调制下的谐波特性研究. 首先，分析了梯形波、升余弦波的非对称性调制对各次谐波的幅度、相位和能量占比的影响；然后，通过实验的方式，测得了一组射频开关的非理想调制波形，运用三角函数多项式拟合真实调制波形的上升沿、下降沿. 最后，讨论各种波调制与实测各次谐波分量的差异性. 结果表明，与已有调制波相比，本文所采用的非对称梯形波、非对称升余弦波和拟合波的调制更接近真实波调制，上述调制波将为时间调制阵列天线的精确仿真提供支持.