Hilbert K-模上酉半群的广义紧框架向量的诱导序列*

董芳芳，裴瑞昌

天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001

Hilbert K-模是一种特殊的HilbertC*-模，其中底代数K 为作用在Hilbert 空间上的全体紧算子组成的C*-代数，即I∉K，Bakic 等［1］证明了有限或可数生成的Hilbert K-模一定有特殊的标准正交基，其特殊点在于相同基向量的内积为K中的一个秩1的自伴投影。

广义框架是满足一定条件的算子组成的集合，对于广义框架，Sun［2］和Yao［3］引入了Hilbert空间上的广义框架，研究了一系列性质，肖秀梅等［4］引入了Hilbert K-模上的广义框架，并研究了其稳定性等。本文针对Hilbert K-模上广义框架的诱导序列展开研究，得到了诱导序列的内积组成的无穷级数的收敛性这一结论，并将其置于酉半群上研究，一方面是想研究正交投影和酉半群的换位之间的关系，另一方面是定理3证明的需要，并且本文的指标集J和Λ均为有限或可数指标集。本文研究的模均为有限或可数生成的。

另外，由于I∉K，因此，Hilbert K-模不像HilbertC*-模（见文献［5］）一样可以膨胀，所以，本文直接在Hilbert K-模自身上引入了广义框架变换。

定义1[1]设K 为作用在Hilbert 空间Η 上的全体紧算子组成的C*-代数，Μ是复数域C上的线性空间，Μ是左K-模，满足μ(kx) =(μk)x=k(μx)，μ∈C，k∈K，x∈Μ，若·，· ：Μ×Μ→K具有性质：

（i）x，x≥0，x∈Μ；

（ii）x，x= 0 ⇔x= 0，x∈Μ；

（iii）x，y=y，x*，x，y∈Μ；

（iv）kx，y=k x，y，k∈K，x，y∈Μ；

（v）x+y，z=x，z+y，z，x，y，z∈Μ，

则称(M，·，· )为准Hilbert K-模，在Μ上定义范数‖x‖≔‖x，x‖12，若Μ在该‖ · ‖意义下完备，就称之为Hilbert K-模。

定义2[1]若存在ξ∈H，且‖ξ‖= 1（H为Hilbert空间），使得对任意λ，μ∈Λ，

定义3[6]设M，Nj均为Hilbert K-模，Aj：M→Nj为可伴有界线性算子，称{Aj|j∈J}为M关于Nj的广义框架，若存在a＞0，b＞0，使得对任意x∈M，有

分别称a，b为其广义下，上框架界；特别地，若a=b，则称{Aj|j∈J}为M关于Nj的广义紧框架；若a=b= 1，则称{Aj|j∈J}为M关于Nj的广义正规紧框架。

定义4 设M和Nj均为Hilbert K-模，U={u∈L(M)|uu*=u*u=I}为作用在M上的酉系统，{Aj|j∈J}为M关于Nj的可伴算子集，称{Aj|j∈J}为U的广义完全（正规紧）框架向量，若{Aju|j∈J，u∈U}为M关于Nj的广义（正规紧）框架。

定义5 设M和Nj均为Hilbert K-模，U为作用在M上的酉系统，{Γj|j∈J}为M关于Nj的可伴算子，称{Γj|j∈J}为U的广义完全游荡向量，若{ Γju|j∈J，u∈U}为M关于Nj的广义标准正交基，即若的广义框架算子。

1 广义框架变换与正交投影

定义7[7]设U为作用在Hilbert K-模M上的酉系统，称U′={T∈L(M)|Tu=uT，u∈U}为U的换位。

定理1 设M为Hilbert K-模，U为作用在M上的酉半群，{Γj|j∈J}为U的广义完全游荡向量，{Aj|j∈J}为U的广义完全紧框架向量，且广义紧框架界为a＞0，Φ为{Aju|j∈J，u∈U}的广义框架变换，P：M→Φ(M)为的正交投影，则P(Γju)*=Φ(Aju)*，ΦΦ*=aP，且P∈U′.

证明 首先，由于{Aju|j∈J，u∈U}为M关于Nj的广义紧框架，从而Φ*Φ =aI. 由于P：M→Φ(M)为正交投影，从而P(M) = Φ(M)，并且当P作用在Φ(M) 上时，即P：Φ(M) →Φ(M)，P=I，亦即P(Φ(M)) = Φ(M) . 于是对任意x∈M，gj∈Nj，

再由gj的任意性知

由x的任意性知ΦΦ*=aP.

由x的任意性知Φv=vΦ，即Φ ∈U′.

同理，由于

从而由x的任意性知Φ*v=vΦ*，即Φ*∈U′.

综上，Φ ∈U′，Φ*∈U′，从而ΦΦ*∈U′，即ΦΦ*∈U′，亦即P∈U′.

2 广义框架向量的诱导序列的內积级数的收敛性

定义8 设M为Hilbert K-模，对任意x，y，z，w∈M，定义直和的内积为x⊕y，z⊕w=x，z+y，w.

定 义9 设M和Nj均 为Hilbert K-模，U为 作 用 在M上 的 酉 系 统，{Aj：M→Nj|j∈J}和{Bj：M→Nj|j∈J}均为U的广义紧框架向量，若对任意gm，gn∈Nj，

则称{ (Aju⊕Bju)*|j∈J，u∈U}为Nj关于M⊕M≔M(2)的广义标准正交的算子直和序列（简称广义标准正交），也称{ (Aj⊕Bj)*|j∈J}为U的广义标准正交的算子直和向量。

定理2 设M和Nj均为Hilbert K-模，{Aj|j∈J}和{Bj|j∈J}均为U的广义紧框架向量，广义紧框架界分别为a，b＞0，Φ1：M→M，Φ2：M→M分别为其广义框架变换，P：M→Φ1(M)和Q：M→Φ2(M)均为正交投影，则{ (Aju⊕Bju)*|j∈J，u∈U}为广义标准正交的当且仅当aP+bQ=I.

推论1 设M为Hilbert K-模，U为作用在M上的酉系统，{Aij|j∈J}（i= 1，2，…，n）均为U的广义紧框架向量，紧框架界分别为ai＞0，Φi分别为{Aiju|j∈J，u∈U}的广义框架变换，Pi：M→Φi(Mi)为正交投影，则{ (A1ju⊕A2ju⊕…⊕Anju)*|j∈J，u∈U}为Nj关于M⊕M⊕…⊕M≔M(n)的广义标准正交的算子直和序列当且仅当=I.

另外，对任意gl，gm∈Nj，