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完全分配可交换子空间格代数上的非线性广义Lie导子*

2022-08-05马飞张建华刘红哲

关键词:算子广义代数

马飞,张建华,刘红哲

1. 咸阳师范学院数学与信息科学学院,陕西 咸阳 712000

2. 陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西 西安 710062

设A 是任意代数,M 是其A-双模。一个可加映射d:A →M 称为导子,Jordan 导子或Lie 导子,如果d满足对任意A,B∈A,有d(AB) =d(A)B+Ad(B),d(A2)=d(A)A+Ad(A)或者d([A,B]) =[d(A),B]+[A,d(B)]成立。设d是一个Lie 导子,若存在一个可加导子ϕ和交换子上为零的映射ξ使得d=ϕ+ξ,则称Lie 导子d具有标准型。特别地,若无可加假设,即对任意A,B∈A,d都满足d([A,B]) =[d(A),B]+[A,d(B)],则称d是非线性Lie 导子。

1991 年,Brešar 在文献[1]中引入了广义导子的概念。设f:A →M 是一个可加映射,如果存在导子d:A →M 使得对任意A,B∈A 有f(AB) =f(A)B+Ad(B),那么称f是广义导子;若满足f(A2)=f(A)A+Ad(A),则称f是广义Jordan 导子。Hvala[]2于1998 年引入了广义Lie 导子。设f:A →M 是一可加映射,如果存在一可加映射d:A →M,使得对任意A,B∈A有

那么称f是广义Lie 导子。显然,(广义)导子一定是(广义)Jordan 导子,(广义)导子一定是(广义)Lie 导子,反之一般不成立(如文献[3-4])。关于Lie 导子或者广义Lie 导子的一个自然研究课题就是在那些代数上的(广义)Lie 导子具有标准型。如文献[5-9]分别得到了环或者某些代数上的Lie 导子具有标准型,文献[10-12]研究了上三角矩阵代数、三角代数和von Neumann 代数上的非线性Lie 导子,文献[13-14]分别研究了三角代数上的广义Lie 导子和非线性广义Lie 导子。

设H 是实数域或复数域F 上的可分Hilbert 空间,L 是H 上的子空间格,A lg L ={T∈B(H):T(L) ⊆L,∀L∈L},是L上的子空间格代数。若L中任意投影是可交换的,则称L是交换子空间格,简称CSL,一个全序子空间格N称为套;相应地,A lg L 和AlgN称为CSL 代数和套代数。称CSL 是完全分配格,如果对0 ≠e∈L 都有e=V{L∈L:N-⊇L},其中N-=V{P∈L:P⊇N}. 完全分配的CSL代数称为完全分配可交换子空间格代数,简称CDC-代数。关于完全分配格的标准定义及相关研究内容见文献[15-16]。

由文献[17]可知,CDC-代数是由其包含的秩一算子弱*闭生成的算子代数,这个结果对研究CDC-代数具有重要的意义。在CDC-代数A lg L 中,记U(L) ={e∈L:e≠0,e-≠H},称U(L)中的e,e′是连通的,如果存在e1,e2,…,en∈U(L)使得ei与ei+1可比,e0=e,en+1=e′(i= 0,1,…,n). 设C ⊆U(L),称C 是U(L)的一个连通分支,如果C 中任意两个元素是连通的,并且C 中的任何元素与U(L)C 中的元素都不连通。设L是复可分的Hilbert 空间H上的一个完全分配的交换子空间格,由文献[18]可知,A lg L是不可约的当且仅当其交换子是平凡的,即其一次换位是FI,也等价于L ∩L⊥={0,I},其中L⊥={e⊥:e∈L}. 显然,套是完全分配的交换子空间格,也是最重要的模型。Gilfeather 等[18]证明了任何一个CDC-代数都可以分解成可数个不可约CDC-代数的直和,这个结果在研究CDC-代数的同构和导子等问题时具有非常重要的作用,下面我们给出这个结论。

引理1[18]设A lg L 是复Hilbert 空间H 上的CDC-代数,那么存在ε(L)的可数个连通分支Cn:n∈Λ,使得ε(L) = ∪{e:e∈Cn,n∈Λ}. 令en=V{e:e∈Cn,n∈Λ},则{en,n∈Λ}⊆L ∩L⊥两两正交,并且

其中每个(A lg L)en是Hilbert 空间en上的不可约CDC-代数,这里的收敛指的是强收敛。

下面这个引理对研究不可约CDC-代数具有非常重要的意义。其证明了不可约CDC-代数上的Jordan 同构是一个同构和反同构之和。这个结论在文献[19]中已经给出了证明。

引理2[19]设A lg L 是Hilbert 空间H 上的不可约CDC-代数,则存在一个非平凡投影e∈L,使得e(A lg L)e⊥是忠实的A lg L-双边模。这里忠实的A lg L-双边模指的是对于任意的A∈A lg L,若Ae(A lg L)e⊥={0},则有Ae= 0;若e(A lg L)e⊥A={0},则有e⊥A= 0.

记H 中的恒等算子为I。若L 是非平凡的,即A lg L 是非自伴算子代数,则由引理2 知,存在非平凡投影e∈L,使得e(A lg L)e⊥是忠实的A lg L-双边模。令e1=e,e2=I-e,则e1,e2均为A lg L 中的投影。因而对于任意的不可约CDC-代数A lg L 中的A,均可分解为A=e1Ae1+e1Ae2+e2Ae2. 记Aij=ei(A lg L)ej,因而可将A lg L代数分解为

受上述结论的启发,本文主要研究了完全分配可交换子空间格代数上的非线性广义Lie 导子。

1 不可约CDC-代数上的非线性广义Lie 导子

在本节中,我们先讨论不可约CDC-代数AlgL上的非线性广义Lie 导子。其主要结论如下。

定理1 设A lg L 是复Hilbert 空间H 上的不可约CDC-代数,f:A lg L →A lg L 是A lg L 上的非线性广义Lie 导子,d是A lg L 上与f相关的非线性映射。则存在可加导子ψ,ϕ:A lg L →A lg L,使得对于任意的A∈A lg L,有

其中ξ是A lg L到其中心且在交换子上为零的映射。

下面通过几个引理来完成定理1 的证明。

引理3 设f是满足定理1的非线性广义Lie导子,则对任意Aij∈Aij(i,j= 1,2) 有

证明

(i)由式(1)易得f(0) = 0,且当B=I时,有

令A= 0即得d(0) =f(0) = 0.

对任意Aij∈Aij,由f(0) = 0和Aii Ajj= 0(i≠j)知

上式两边同乘以e1得e1f(A22)e1A11=A11e1d(A22)e1⊆A11,从而

注意到A11,A22的中心为Fe1,Fe2,因此存在λA22∈F,使得

类似存在λA11∈F,使得e2f(A11)e2=e2d(A11)e2=λA11e2.

(ii)在式(3)中左乘e1右乘e2,可得

令A11=e1,A22=e2可得e1f(e1)e2= -e1d(e2)e2. 上式中分别取A11=e1和A22=e2,有

由引理3可知,对任意A11∈A11,定义ξ1:A11→Fe2,则存在λA11∈F,使得

类似地,定义ξ2:A22→Fe1,则存在λA22∈F,使得

显然有,ξ1([A11,A11]) =ξ2([A22,A22]) = 0.

引理4 设f是满足定理1 的非线性广义Lie 导子,则f(A12),d(A12) ⊆A12.

证明 对任意A12∈A12,由[e1,A12]=A12=[A12,e2]得

式(4)和式(5)两边分别乘以e1和e2,有

从而f(A12),d(A12) ⊆A12.

对任意A∈AlgL,令

容易验证,F依旧是关于D的非线性广义Lie 导子,满足对任意A,B∈AlgL,

引理5

(i)F(A11) ⊆A11,F(A22) ⊆A12+ A22;

(ii)D(A11) ⊆A11+ A12,D(A22) ⊆A22.

证明 对任意Aii∈Aii,由引理3 可知

类似地可以证明D(A11) ⊆A11+ A12,D(A22) ⊆A22.

引理6 对任意A,B∈A lg L,

证明 对任意A,B∈A lg L,由F(A) -D(A) =F(I)A-AD(I)可得

因此,F(A+B) -F(A) -F(B) =D(A+B) -D(A) -D(B).

记θ(A,B) =F(A+B) -F(A) -F(B) =D(A+B) -D(A) -D(B),则有下面的结论。引理7 对任意Aij∈Aij,有

证明 在式(6)中,取A=A11,B=A12,由引理4和引理5 可得

引理8 对任意Aij∈Aij,有θ(A11,A12),θ(A12,A22) ∈FI.

证明 对任意Aij,Bij∈Aij,由引理4 和 引理7 知

因此,对任意B12∈A12,有θ(A11,A12)B12=B12θ(A11,A12),结合引理4和引理5 可知

对任意A12∈A12,由引理5 知

比较等式两端得,A12D(e2)= 0. 由A12的任意性及引理6 知D(e2)= 0. 特别地

由F(A12),D(A12) ⊂A12,知F(A12)=e1F(A11+A12)e2. 代入式(7)得θ(A11,A12) ∈FI.

类似可证θ(A12,A22) ∈FI.

引理9 对任意A12,B12∈A12,有θ(A12,B12)= 0.

证明 在引理8中分别取A11=e1和A22=e2,则存在λ1,λ2∈F,使得θ(e1,A12)=λ1I,θ(B12,e2)=λ2I.注意到A11+B12=[e1+A12,B12+e2],从而由引理3和引理4 及D(e2)= 0得

由引理6 得θ(A12,B12)= 0.

在引理6中用B+C替换B易得

记为θ(A,B,C). 则有下面的结论。

引理10 对任意A=A11+A12+A22∈A lg L,Aij∈Aij,有θ(A11,A12,A22) ∈FI.

证明 对任意Aij,Bij∈Aij,由于[A11+A12+A22,B12]=A11B12-B12A22∈A12,利用引理5和引理6 得

利用引理7,引理9又可得到

因此对任意B12∈A12,有

利用引理4和引理5 可得

类似于引理8的证明,可得F(A12)=e1F(A11+A12+A22)e2-e1F(A22)e2. 进而有θ(A11,A12,A22) ∈FI.

由引理10,对任意A=A11+A12+A22∈A lg L,记

引理11F,D是可加的广义Lie 导子。

证明 在引理10 中,令A11=e1,A12= 0,A22=e2,由D(e2)= 0知,存在λI∈F使得

则对任意Aij∈Aij,由式(2)知

因此,将式(9)和式(10)分别代入引理7 得

对任意Aij,Bij∈Aij,由式(11)得

又由θ(A11A12,B11A12)= 0知

从而对任意A12∈A12,有θ(A11,B11)A12= 0. 即θ(A11,B11)= 0.

类似可以证明θ(A22,B22)= 0.

对 任 意A=A11+A12+A22,B=B11+B12+B22∈A lg L, 注 意 到θ(A,B) =θ(A11+B11,A12+B12,A22+B22) ∈FI,从而存在λA,λB,λA+B∈F使得

从而F-θ0是可加的。注意到F(A+B) -θ0(A+B) =F(A) +F(B),由上式可得θ0也是可加的,进而F是可加的广义Lie 导子。

由引理6 知,D也是可加的广义Lie 导子。

引理12 对任意Aii,Bii∈A lg L,有

(i)F(A11B11)=F(A11)B11+A11F(B11)-A11(F(I) -λI)B11,

(ii)F(A22B22)=F(A22)B22+A22F(B22)-A22(F(I) -λI)B22.

证明 对任意Aij,Bij∈Aij,由式(11)知,

成立。比较上两式可知,对任意A12∈A12,有

从而由引理2 知

类似地可以证明F(A22B22)=F(A22)B22+A22F(B22)-A22(F(I) -λI)B22.

定理1 的证明

对任意A=A11+A12+A22,B=B11+B12+B22∈A lg L,由式(10)知,

从而由引理4和引理5,引理11和引理12 及上式可得

由λI=θ0(I)知,F-θ0是可加的广义导子。由式(3),引理6 及θ0的定义可知

因此,D-θ0也是可加的广义导子。

下面说明θ0([A lg L,A lg L]) = 0. 由F(A11) ⊂A11知

特别地,在式(6)中取A=A11,B=B11∈A11,利用引理5可得

因此,对任意A,B∈A lg L,易得

类似地,e2θ0([A,B])e2= 0,从而有θ0([A lg L,A lg L]) = 0.对任意A∈A lg L,由F,D以及θ0的定义可得,

令ψ(A) =(F(A) -θ0(A)) +[A,e1f(e1)e2],ϕ(A) =(D(A) -θ0(A)) -[A,e1d(e2)e2],ξ(A) =ξ1(A) +ξ2(A)+θ0(A).

由前面证明可知,ψ,ϕ均是不可约的CDC-代数A lg L 上可加的广义导子,ξ是不可约的CDC-代数AlgL到其中心FI且在交换子上为零的映射,且有

2 CDC-代数上的非线性广义Lie 导子

下面研究任意CDC-代数上的非线性广义Lie 导子。本文的主要结论如下

定理2 设A lg L 是复Hilbert 空间H 上的完全分配可交换子空间格代数,f是A lg L 上的非线性广义Lie 导子,d是A lg L 上与f相关的非线性映射。则存在可加导子ψ,ϕ:A lg L →A lg L 使得对任意A∈A lg L有

其中ξ是A lg L到其中心且在交换子上为零的映射。

证明 设en=V{e:e∈Cn,n∈Λ}为引理1 中的投影,由引理1 知,任意的完全分配可交换子空间格代数A lg L均可分解为不可约的情形,即A lg L =∑n∈Λ⊕(A lg L)en,则对任意en有

由于en=V{e:e∈Cn,n∈Λ}是Hilbert 空间H 中的投影,自然也是Hilbert 空间。因此,(A lg L)en是一作用在Hilbert 空间en上的不可约CDC-代数,并且这里的收敛是强收敛。因而由en的定义可知,其线性张是整个Hilbert 空间H,并且两两正交,AlgL 的单位元为I=∑n∈Λ⊕en,中心元为Z(A lg L) =∑n∈Λ⊕λnen,其中λn∈F.

对任意A∈A lg L和投影en,(A lg L)en均是Hilbert 空间en上的不可约CDC-代数。设f,d满足式(1),且fn,dn分别为f,d在Alg(enL)上的限制,即在Alg(enL)上有f=fn,d=dn. 由定理1 可知,存在可加导子ψn,ϕn:Alg(enL) →Alg(enL)和在交换子上为零的映射ξn:Alg(enL) →Fen使得对任意A∈Alg(enL),

在引理3 中,对于每一个广义导子ψn均存在一个导子,设为τn,使得对于任意的A,B∈Alg(enL)有,ψn(AB) =ψn(A)B+Aτn(B). 又由文献[17],CDC-代数是由其包含的秩一算子弱*闭生成的算子代数,则任取E∈U(L),x∈E,固定y∈,有x⊗y∈Alg(enL)且是一秩算子。任取一秩算子u⊗v∈Alg(enL),则对任意A∈Alg(enL),有

设{Ak},A∈Alg(enL),并且{Ak}强收敛到A,由上式可知,当k→∞时

(u⊗v)τn(Ak)(x⊗y) =ψn((u⊗v)Ak(x⊗y)) -ψn(u⊗v)Ak(x⊗y) -(u⊗v)Akτn(x⊗y)收敛到

由一秩算子u⊗v∈Alg(enL)的任意性得,τn是强收敛的,进而ψn也强收敛。

下面证明在任意CDC-代数A lg L 上结论也成立。设{Ak},{Bk},A,B∈A lg L,并且{Ak},{Bk}强收敛到A,B. 因为A lg L =∑n∈Λ⊕(A lg L)en,并且en是两两正交的投影,所以对每个投影ei,{Akei},{Bkei}强收敛到Aei,Bei并且

则对于Hilbert 空间H中的任意元x,注意到ψn,ξn的定义,并结合定理1的证明可知,当k→∞时

收敛到

即f是强收敛的,进而d也强收敛。因而对任意A∈AlgL 都有f(A) =(Aen). 因为fn(Aen)=ψn(Aen)+ξn(Aen),dn(Aen)=ϕn(Aen)+ξn(Aen),则对任意A∈AlgL有

证毕

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