基于广义除法下非线性模糊差分方程的动力学行为研究*

王贵英， 张千宏

1. 河池学院， 数理学院， 广西 河池 546300； 2. 贵州财经大学 数学统计学院， 贵阳 550025

模糊差分方程是指系数或初值为模糊数的差分方程， 模糊差分方程的出现， 解决了差分方程无法准确建模的问题， 因此， 模糊差分方程在许多科学研究领域有着举足轻重的地位．

针对于模糊差分方程的研究， 大多数学者更倾向于研究只具备模糊数乘法、 加法的模糊差分方程[1-5]． 文献[1]研究了一阶模糊差分方程

xn+1=ωxn+qn=0，1，2，…

其中：xn是模糊序列；ω，p，x0是正模糊数．

文献[2]研究了模糊差分方程

xn+1=Axn+Bn=0，1，2，…

正解的存在性、 有界性以及正解的渐近表现， 其中A，B，x0是正模糊数．

文献[6-12]研究带除法的模糊差分方程． 文献[6]通过对模糊数使用Zadeh扩展原则， 研究了模糊Riccati差分方程

正解存在性与唯一性等相关问题， 其中A，B，x0是正模糊数．

(1)

的全局渐近行为， 其中m∈N+，A，B以及初始条件x-m， …，x0都为正模糊数．

1 相关引理及定义

1)u是正规的， 即存在x为实数， 使得u(x)=1；

2)u是模糊凸的， 即对所有的t∈[0， 1]，x1，x2∈R有

u(tx1+(1-t)x2)≥min{u(x1)，u(x2)}

3)u是上半连续的；

对于所有的α∈(0， 1]，u的α-截集表示为[u]α={x∈R：u(x)≥α}．

定义2[11]设u，v是正模糊数， 则u，v的α-截集表示为[u]α=[ul，α，ur，α]， [v]α=[vl，α，vr，α]，α∈(0， 1]， 且

定义u的模为

u，v之间的距离为D(u，v)， 其中

[g(u，v，ω)]α=g([u]α， [v]α， [ω]α)

定义3[11]令u，v是模糊数，α-截集为[u]α=[ul，α，ur，α]， [v]α=[vl，α，vr，α]， 0∉[v]α， 对于∀α∈(0， 1]， 定义÷g(g-除法)： 存在一个模糊数ω， 且[ω]α=[ωl，α，ωr，α]， 使得

ω=u÷gv

即是

(2)

易知， 任意的模糊数u， 当u定义在g-除法上时， 有u÷gu=1， 当u定义在Zadeh扩展原则上时，u÷gu≠1．

引理2[11]令u，v都是模糊数， 如果ω=u÷gv存在， 则有以下两种情况．

引理3[13]令u，v，ω都是正模糊数， ∀α∈(0， 1]， 如果ω=u÷gv满足引理2中的1)， 则

(3)

如果ω=u÷gv满足引理2中2)， 则

(4)

因此有

(5)

注因为|ur，αvr，α-ul，αvl，α|≥|ur，αvl，α-ul，αvr，α|， 由(3)，(4)，(5)式可知， 运用g-除法优于Zadeh扩展原则．

引理4[13]考虑差分方程

(6)

其中：n=0，1，2，…，m；m∈N+，α，β，yi(i=-m，…，-1，0)都是正实数． 则

1) 方程

λ2-αλ-β=0

(7)

有一正一负的两个实特征根λ1，λ2．

定义4[11]令y=max{λ1，λ2}， 其中λi(i=1，2)是(7)式的特征根， 则称y为(6)式的唯一平衡点．

引理5[13]考虑差分方程系统

(8)

其中m为正整数，α，β，μ，ν，yi，zi(i=-m，…，-1，0)都是正实数． 则有

1) 方程

μλ2+(ν-αμ-β)λ-αν=0 (或αγ2+(β-μα-ν)γ-μβ=0)

(9)

有两个一正一负的实特征根λ1，λ2(或γ1，γ2)．

2) 方程(9)的每一个正解， 都有

定义5[4]令y=max{λ1，λ2}，z=max{γ1，γ2}， 其中λi，γi(i=1，2)是方程(9)的特征根， 则称(y，z)是方程(8)的唯一解．

定义6[4]设{xn}是正模糊数数列， 若存在正实数P，Q， 使得

supp(xn)⊂[P，Q]n=1，2，…

则称(xn)是有界且持久的．

定义7[11]如果正模糊数数列(xn)满足模糊差分方程(1)， 则称xn是方程(1)的正解． 如果x满足方程

则称x是模糊差分方程(1)的平衡点．

2 主要结论

主要对两个模糊数运用g-除法， 讨论高阶非线性模糊差分方程

(10)

解的唯一性以及全局渐进行为． 其中m为正整数，A，B，xi(i=-m，…，0)都是正模糊数．

证定理的证明与文献[15]中的命题3.1的证明类似， 这里省略定理1的证明．

(11)

成立时， (10)式存在唯一解xn．

注定理2的证明方法与定理1基本一致．

定理3考虑差分方程(6)， 存在一个正常数θ>0， 当n≥1时， 有

(12)

证由(6)式可知， 对于∀α≥1， 都有yn≥α． 当n→∞时， 则有

其中

所以有

同理可得

因此， 对于∀n≥m， 都有

yn≤θ

(13)

其中

由(6)式及(13)式， 可得

(14)

定理证明完毕．

定理4考虑方程(10)， 其中A，B以及初始条件xi(i=-m，…，0)都是正模糊数， 当方程(10)中除法满足引理2中的1)时， 方程(10)的每一个正解xn都是有界持久的．

证因为A，B以及初始条件xi(i=-m，…，0)都是正模糊数， 所以存在Mi，Ni(i=0， 1， 2， 3， …，m)使得

(15)

令xn是方程(10)中满足引理2中1)情形时的正解， 由定理3及方程(10)， 则有

(16)

其中

联系(15)式， 可得

由(15)，(16)式可得到Ln，α≥P， 其中

同理得

因此， 对于n≥1， 有

也即是

由定义6知，xn是有界持久的． 证毕．

定理5考虑差分方程系统

(17)

其中m为正整数，α，β，μ，ν，yi，zi(i=-m， …， 0)都是正实数， 当不等式组

(18)

成立时， 存在正常数K1，K2，C1，C2， 使得

K1≤yn≤K2，C1≤zn≤C2

证由引理5可知， 系统(17)存在唯一正解(yn，zn)， 且易得出yn≥α，zn≥μ， 当n→∞时， 由(17)式有

所以有

(19)

同理可得

(20)

yn≤K2∀n≥1

(21)

其中

(22)

对于Ln，α，Rn，α， 由定理5以及(22)式有

其中

由(15)式有

再令

即P≤Ln，α， 同理可得Q≤Rn，α， 其中

定理7当方程(10)中的g-除法满足引理2中1)时， 则

1) 方程(10)存在唯一平衡点x；

2) 当n→∞时， 方程(10)每一个正解xn都趋于唯一平衡点x．

证由引理2中1)与(10)式可得

(23)

(24)

由引理4、 (23)式和(24)式可知

(25)

由(15)，(25)式有

(26)

(27)

并且

(28)

也即xn→x． 定理证毕．

定理8当方程(10)中的g-除法满足定理2中2)情形时， 则有以下结论成立

1) 方程(10)存在唯一平衡点x；

2) 方程(10)每一个正解xn都趋近于唯一平衡点x．

注定理8证明与定理7相似， 此处省略定理8的证明．

4 数值例子

例1考虑四阶模糊差分方程

(29)

其中：A，B以及初值xi(i=-3， -2， -1， 0)如下

取α-截集， 有

[A]α=[4+2α， 8-2α]， [B]α=[5+5α， 15-5α]， [x0]α=[6+2α， 10-2α]

[x-1]α=[2+α， 4-α]， [x-2]α=[3+α， 5-α]， [x-3]α=[4+α， 6-α]，α∈(0， 1]

(30)

由定理4可知， 方程(29)的解都是有界持久的， 且存在唯一平衡点x， 当n→∞时， 方程(29)的每一个正解xn都收敛于唯一平衡点x(如图1-4)．

图1 系统(30)动力学行为

图2 α=0时， 系统(30)的解

图3 α=0.5时， 系统(30)的解

图4 α=1时， 系统(30)的解

例2考虑三阶模糊差分方程

(31)

其中A，B以及初值xi(i=-2， -1， 0)如下

所以有

[A]α=[1+α， 3-α]， [B]α=[2+α， 4-α]， [x0]α=[3+3α， 9-3α]

[x-1]α=[9+3α， 15-3α]， [x-2]α=[15+3α， 21-3α]，α∈(0， 1]

因此

(32)

图5 系统(32)的动力学行为

图6 α=0时， 系统(32)的解

图7 α=0.5时， 系统(32)的解

图8 α=1时， 系统(32)的解

5 总结

本文主要运用g-除法， 研究在两种情况下高阶非线性模糊差分方程(1)的正解存在性以及唯一性， 有界性以及持久性以及解的渐近行为． 结论得出， 方程(10)的每一个正解都趋近于唯一平衡点， 最后分别给出三阶和四阶符合条件的数值例子， 更好验证结论的有效性．