一类趋化-Navier-Stokes系统的整体解的存在性*

2022-08-04刘曦刘梦琦侯智博

西南大学学报(自然科学版) 2022年8期

关键词：趋化方程组常数

刘曦，刘梦琦，侯智博

西华大学理学院，成都 610039

趋化性是指细菌(细胞)在一定程度上与某些化学物质之间发生的吸引或排斥现象．文献[1]提出了一类抛物-抛物型偏微分方程组用来研究基网柄菌的黏菌聚合现象，其具体形式为

(1)

在实际生物现象中，微生物的趋化运动与周围的环境密切相关，因此，在研究这类细菌的趋化运动时，除了考虑自身的运动外，还要考虑流体对其产生的影响．为了研究流体中细菌的动力学行为，考虑下列趋化-流体耦合方程组：

(2)

为了模拟不同生物环境中的趋化机制，许多学者开始关注经典Keller-Segel模型的各种变体．文献[17-18]研究了一类具有间接信号产生机制的趋化模型：

(3)

其中：τ1，τ2，χ>0，Ω⊂RN(N≤4)是一个光滑有界区域．这种机制与方程组(1)或(2)中的直接信号产生机制有所不同，在这种间接信号产生机制中，细胞先产生第二种化学信号w，w再促进第一种化学信号v的产生，这在实际生物学背景下也比较常见．对于此类模型，文献[17-18]考虑了在空间维数N≤4时齐次Neumann和混合边界条件下的情况．对比之前的结果来看，文献[17-18]中具有间接信号产生机制的模型得到的结果和直接信号产生机制的结果具有一定的差异．

文献[19-20]先后考虑了如下具有间接信号产生机制的趋化-Stokes方程组：

(4)

1 主要结果

与具有直接信号产生机制的趋化-流体方程组相比，具有间接信号产生机制的趋化-Navier-Stokes方程组的研究才刚刚起步，许多问题有待解决．本文考虑如下具有间接信号产生机制的趋化-Navier-Stokes模型：

(5)

其中：Ω⊂R2是一个具有光滑边界的有界凸区域，φ∈W2，∞(Ω)，χ∈C2([0， ∞))且存在χ0≥0，α>0使得

|χ(s)|≤χ0(1+s)-αs≥0

(6)

我们将考虑此系统经典解的整体存在性和有界性．假设初始值满足

(7)

并且

在上述假设条件下，我们的主要结论如下：

(8)

‖n(·，t)‖L∞(Ω)+‖v(·，t)‖W1，p(Ω)+‖w(·，t)‖W1，q(Ω)+‖Aβu(·，t)‖L2(Ω)≤C

(9)

对任意t>0成立．

2 若干基本估计

在这一部分中，我们将提供一些基本的先验估计．首先，给出解的局部存在性结论．

引理1设Ω⊂R2是一个具有光滑边界的有界区域，φ∈W2，∞(Ω)， (n0，v0，w0，u0)满足初值条件(7)，则存在函数(n，v，w，u)及Tmax∈(0， +∞]使得

(10)

其中n，v，w是非负的，而且(n，v，w，u)在Ω×(0，Tmax)上为初边值问题(5)的经典解．此外，如果Tmax<∞，则

(11)

证此引理中局部存在性结论可利用Banach不动点定理和压缩映像原理证得，具体过程可参见文献[21]引理2.1．

引理2对于所有t∈[0，Tmax)，有

(12)

(13)

并且

(14)

证首先，对(5)式中第一个方程关于空间变量积分，利用·u=0和分部积分公式，得到

所以

同样， (5)式中第3个方程也对空间变量积分，再次用分部积分公式和·u=0，有

根据比较原理，可得到(13)式成立．此外， (14)式也可用类似于(13)的证明方法得到．

接下来对n，v，w做以下估计，这将在后续分析中经常使用．并且在后续的分析中，始终取t0∈(0， min{Tmax， 1})．

(15)

以及对所有t∈(t0，Tmax)，有

(16)

证这里不妨取

(17)

对(5)式中的第1个方程和第3个方程作一些估计(可参看文献[10]，引理5.1)，存在C1>0，C2>0以及C3>0使得

(18)

为了消除不等号右边的前两项，用v乘以(5)式中的第2个方程，结合Young不等式，得到

(19)

用4C1乘(19)式并加上(18)式得到不等式

再次用Young不等式，可以找到C4>0使得

也就是

(20)

因此可以令

那么，根据(20)式可以得到

y′(t)+y(t)+g(t)≤2C1C3+C4t∈(0，Tmax)

(21)

y′(t)+y(t)≤2C1C3+C4t∈(0，Tmax)

通过比较原理，有

下面对(21)式关于时间变量积分，得到

通过Hölder不等式和(12)式可以计算出

因此

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从而得到了(15)式和(16)式．

根据Gagliardo-Nirenberg不等式和质量守恒性质，结合引理3可推导出以下结论．