高中生数学教学建模能力与素养培养策略

陈德康

（福建省连江第二中学，福建 连江 350500）

数学建模实质上就是引导学生运用学过的数学知识、按照一定的逻辑和规则来解决对应数学问题的过程。高中数学知识本就比较抽象，其题型多元、知识点细碎，学生仅靠死记硬背是很难真正吸收和内化所有知识点。通过建模教学，则可以引导学生将数学理论与具体的场景、事物相联系，在探究中了解其形成过程、掌握丰富的运用方法，同时可以强化其生活意识，使之明确数学的实用性，并将理论和实践相结合，从更加多元的角度挖掘解题思路，从而提升其问题解决能力。［1］

一、高中数学开展建模课程的依据

当前社会对于创新人才的需求越来越大，且许多高新行业都与数学息息相关，所以培养高素质的数学人才是十分必要的。但是，学生并不能仅通过学习知识就形成良好的数学素养，而是要经历相应的探索过程，且需要达到“教学做合一”的状态，这就需要教师在日常教学中融入建模思想，促使学和用高度统一，从而提高学生学习的效率，并不断训练他们敏捷的思维、严谨的逻辑及良好的洞察力，强化其运用知识准确解决数学实际问题的能力，满足他们的学习和发展需求。与此同时，《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 修订）》中明确提出了将数学建模以多种途径融入日常教学过程中的要求，旨在让学生形成良好的运用数学知识的能力，增强他们的数学思维和意识，并不断提升他们学习数学的热情，凸显数学教育的价值。

二、高中数学建模课程的实践步骤

结合新课标的相关要求，高中数学教师在教学中进行了初步实践，主要可分为以下三个步骤：第一步，初级入门。此时，教师可以在教学中补充数学建模方面的知识，并结合具体的案例进行讲解和分析，使学生了解数学建模的内涵及如何进行数学建模、需要注意哪些事项等，在指导学生学习数学概念和解题的过程中，也可以适时引入建模思想，通过长期的渗透优化学生的思路，使之了解基本的知识，据此开展之后的学习和探究活动。第二步，中级探索。教师可以结合数学教材中的相关内容，专门设计或指定一些题目要求学生运用建模思想解答，且可以根据他们的实际学习情况进行针对性指导，保证每个人都能通过探索有所收获，并在实践中感受建模的价值和意义，体会学习数学的乐趣。此外，教师可以开展分类教学，即对不同的数学建模问题进行区分和整合，便于学生分阶段、分模块学习，从而通过有序引导提升数学建模教育质量［2］。第三步，巩固强化。当学生通过前两轮的挑战之后，教师就要加大训练力度，让他们将数学建模深刻在脑海中，并能够进行准确应用，此时教师可以在每次课堂练习中都指定题目要求学生进行建模，并鼓励他们展示各自的成果，然后进行深度讨论，纠正不足之处，保证数学模型的准确性、严谨性，使之能够真正发挥作用解决相应问题，同时可以通过开展数学研习、第二课堂、社团等活动，鼓励学生在生活中进行建模，真正在实践中解决问题，有利于巩固其学习成果，不断强化他们的数学建模能力。

三、高中数学建模的实施方式

（一）在概念教学中渗透建模思想

数学概念教学通常从生活实例、已有知识入手，类比已定义的概念，循序渐进、逐级抽象，归纳固有属性，揭示概念本质特征，准确定义。数学建模是建立在牢固掌握数学概念的基础上，对实际情境进行数学抽象，用数学方式表达问题、提出问题、剖析归纳、建立模型、求解检验，最终解决实际问题，它是数学核心素养的重要内容。数学概念是经过反复验证的真理，也是学生解题的理论依据，其重要性不言而喻。高中数学教师在讲解概念时，可以渗透建模思想，引导学生自然且流畅地学习和应用。

例如，在指导学生学习人教版高二选择性必修第二册中的《数学归纳法》时，相关的步骤就是（1）奠基：证明n=1 时命题成立；（2）归纳假设：设n≤k 时命题成立；（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1 时命题也成立；教师就可以创设一个命题，即先在桌上摆放一列纸牌，让其竖着站立，然后给出对应条件：第一张纸牌“躺平”；如果前一张纸牌“躺平”，那么后一张也一定会“躺平”，再提问学生：按照既定条件，通过外力干预，将第一张纸牌推倒，那么后面的所有纸牌是否都会“躺平”？这个命题就是假设，全部都会倒下，这时学生就会自主实践，并记录每一次结果，而教师则需适时引出“数学归纳法”的概念，引导学生分别去掉第一、第二个条件进行验证，再将二者结合起来验证，由此使之准确把握概念内涵，在实践中进行应用和验证，通过归纳推理，确定命题的正确性，从而形成建模意识［3］。

（二）在解题教学中引入建模方法

在数学教育中，学生既需要学习理论，也需要进行解题，通过学、用结合形成稳固的认知。此时，教师可以在指导学生解题的过程中引入建模方法，以简化他们的学习流程。例如，教师在讲授人教版高一数学必修第一册中的《三角函数的应用》时，可以给出具体的问题，然后引导学生根据已知条件、数量关系来建模，这时可以要求学生画出对应的三角函数图象，并结合有序实数组进行观察，再分析其对应的点所表示的数据，得出相应结论后，回过头验证已得数据是否在函数图象上，由此判断模型是否合理。以这样的方法，学生能够更加高效且准确地掌握解决数学问题的方法和步骤，也可以形成清晰的思路，进而不断强化他们的解题能力。整个建模流程如图1 所示：

图1 数学模型整体准备流程示意图

现代数学教学中，经常遇到知识关联性强、联系紧密的学习内容，针对这些教学内容的特点，教师可以创设相关数学建模活动，让学生感受知识相互之间的内在联系与区别，合理选择不同的模型解决相应的问题，从中掌握建模的流程。在学生学习幂函数、指数函数、对数函数相关知识后，创设一个如下的实际问题。

例如，假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40 元；方案二：第一天回报10 元，以后每天比前一天多回报10 元；方案三；第一天回报0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问学生会选择哪种投资方案？通过分析，我们应该先建立三种投资方案所对应的函数模型，再研究三个函数的增长情况来决定择投资方案。

通过习题教学，明确函数是描述客观世界变化的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，从而根据它的运动变化类型，选择合适的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型。最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的，同时培养学生选模能力，掌握数学建模流程。

（三）在作业讲评教学中巩固建模能力

数学建模是一种以数学知识和特定条件为依托所建立起来的开放式模型，其所代表的含义不是简单的“答案”就能概括的，而是更具综合性、灵活性，因此教师在作业讲评活动中要调整思路，结合实例进行针对性点评，从而不断巩固学生的建模能力。例如，教师可以根据新课标的具体要求优化作业讲评模式，并主动渗透激励评价、过程评价、多元目标评价的理念，即从学生的作业中挖掘其在数学建模活动中的优势，并加以表扬和鼓励，同时可邀请他们在班级中分享个人的思路，以此既能深化他们的认知，增强其自信心，也可以激励其他人在日常学习中主动创新、深入思考。另外，在讲评活动中还需关注过程，着重分析每一个数学模型的构建细节，同时展示学生作业中比较典型的问题，并加以优化，从而加深他们的印象，也可以选取正面案例，以过程十分详细的作业为对象，在班级中进行展示和分析，辅助其他人形成完善的建模思路，还要关注学生在作业建模过程中表现出来的各种能力，如思维能力、综合应用能力、创新能力、自主学习能力等，然后结合多元目标对他们进行针对性点评，进而从整体上提高他们的数学作业质量，推动其建模能力的稳定发展。

如图2，有一幅壁画，最高点A 处离地面4m，最低点B 处离地面2m，若从离地高1.5m 的C 处观赏它，则离墙多远时，视角θ 最大?这个题目的解题思路就是大角减去小角的正切，接着利用正切的单调性，求得正切的最大值，这样就自然得到视角的最大值。这个作业学生之所以一头雾水是因为没有将生活和数学建模相联系。遇到这类问题需要学会类比推理。

图2 示意图

四、关于高中数学建模教学的反思

（一）建模教学需要立足学习兴趣与知识基础

对很多学生而言，数学建模实际上是一种比较枯燥的活动，且必须具备丰富的知识才能保证该项活动的成效。所以，高中数学教师在指导学生建模时，要关注他们的学习动机，采取有效措施调度其兴趣，且要了解他们的认知水平和数学基础，选择易于被他们理解和接受的方式引导其建模。例如，教师可以将建模教学分成由易到难三个层次，并设计针对性的建模任务，同时要联系课本内容和学生的实际生活，融入他们感兴趣的元素，然后根据学生能力引导其对号入座，促使他们发挥自身主观能动性展开探究，也可以鼓励其合作探究，降低难度，有利于提升其学习效率、强化其成就感，促使他们感受数学魅力，进行趣味学习。

（二）建模教学需要注重过程与环境创设

数学建模是一项十分细致的活动，每个环节都有密切的关系，且每一个模型都有其自身的局限性，必须在特定条件下才能成立，因而在指导高中学生建模时，数学教师要注重创设合适的环境与条件，便于学生迅速抓住关键信息，同时要关注学生的建模过程，保证环环相扣、逻辑清晰，只有这样，最终的数学模型才会更加准确和实用。为此，教师首先要明确建模教学的类型、目的，并选定题目，然后利用信息技术创设生活情境、动画情境、视频情境，充分调动学生好奇心，再设计相应的探索主题，给出大致的流程和步骤，从而辅助学生循序渐进地探索，便于他们更加快速地进入状态，对各种条件进行组合、拓展，然后构筑出合适的数学模型，并反过来进行验证，确认过程和结果均无误后再提交学习成果，接受教师和其他同学的点评。

（三）建模教学应当重视模型检验环节

让学生掌握建立数学模型的方法很重要，但更重要的是要保证其所建模型的实用性、准确性。因此，在高中数学教育中，教师不能以教会学生建模为终极目标，而是要关注后续，以严谨的治学态度对待每个学生建立的每一个数学模型，判断其是否与相关知识契合，能否真正用来解决普遍问题。具体而言，教师可以根据学生建模的条件和局限性对数学模型展开细致且深入地分析，然后设计一个现实问题，将二者结合起来看能否成立，若成立，就可以将该建模应用于具体的问题解决环节；若不成立，就必须借助相关的条件重新探索，构筑一个新的数学模型，且每一次要注重多给学生预留一些自主探究的机会，即提出问题之后要求学生再次审视自己所建立的数学模型，结合相关实例去分析存在的问题。只有这样，才能使学生养成良好的习惯，在之后的建模活动中更加严谨和认真，同时减少出错率。

五、结语

总而言之，数学建模教育的顺利开展需要依托于学生的认知基础，即学生必须能掌握相应的数学原理，挖掘问题本质，且需要经过探索对抽象知识形成感性认知，再挖掘规律将其转化为个人的内在素养，并真正了解知识本质，学会用其解决各种类型的数学问题。因此，高中数学教师必须重视建模教学，结合具体的授课内容引导学生发现问题，并鼓励他们提出问题，然后调动一切力量分析和解决问题，同时要着重培养其数学思维、数学眼光和数学表达能力，使之能够将所学化为所用，在实践探究中形成良好的数学素养。