“一二三四”法破解追及相遇问题*

安 然 何 娟

(阜阳师范大学物理与电子工程学院 安徽 阜阳 236037)

追及相遇问题是高中物理中的难点问题，同时也是历年高考中的常见考点.面对各种复杂的运动情况，学生往往没有头绪，不知从何处入手.部分教师习惯于归纳总结具体类型以便学生解题，例如：匀加速追匀速、匀速追匀减速、匀加速追匀减速等等.然而学生在解决具体问题时仅仅记住教师给出的模型，生搬硬套，一旦题目有变化便难以解答.因此,只有将所有类型统一起来，归纳出一般的解题思路与技巧，才能从根本上突破追及相遇问题[1～4].本文根据笔者长期的教学实践，总结出“一二三四”法来破解追及相遇问题并举例说明，供广大物理教师参考与借鉴.

1 “一”个概念先牢记

追及相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，而其中核心的概念“相遇”是指两个物体在同一时刻处于同一位置.具体题目中可能会出现某些隐含字眼，例如“恰好”“刚好”“避免”等等，这些词语往往意味着“相遇”的发生.此外，值得强调的是在追及相遇问题中，“刚好相遇”与“刚好不相遇”描述的是同一种状态，即两物体同一时刻处于同一位置.

2 “两”类图像画仔细

图像对解决物理问题有很大帮助，追及相遇问题亦是如此.该问题主要涉及两类图像，一是两物体运动的示意图；二是描述物体运动的物理量之间的函数关系图(以v-t图像为主).将两类图像准确无误地画出，有助于读懂题目，明确运动过程，为后续解题做铺垫.

3 “三”条关系来分析

在明确运动过程之后需要分析题目，此时应借助3条关系：时间关系、位移关系、速度关系.

时间关系是指两个物体各自的运动时间之间的联系.若同时运动同时停止则t1=t2；若两个物体运动有先后顺序则t1=t2+t0.

位移关系是指两个物体各自的位移之间的联系.在确定两物体位移关系时通常借助两物体运动示意图.此外还要注意两物体是否从同一地点出发，如不是，还要考虑初始位置之间的位移差.

速度关系是指两个物体各自的速度之间的联系，是3条关系中最重要的一条.当速度相等时，是两物体间距离最大或最小，恰好追上或恰好追不上，不相遇、相遇一次或相遇两次，或恰好不相撞的临界条件.

4 “四”大方法去解题

在完成了审题、析题之后就要进行解题，具体有4种方法，分别是：临界法、图像法、函数法和相对运动法.下面以一道题为例，分别介绍4种方法并展示运用这4种不同的方法解答，最后加以评析.

【例1】甲车以v1=20 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，突然驾驶员发现正前方100 m处有另一辆汽车乙正以v2=10 m/s的速度同向匀速行驶，驾驶员立即制动，假设制动过程中甲车做加速度大小为a的匀减速直线运动，乙车保持匀速运动，若要使两车不相撞，a应满足什么条件？

4.1 临界法

临界法在解决物理问题过程中应用广泛，对于追及相遇问题，临界条件即共速.例如速度大者减速追赶速度小者匀速，当共速时恰好追上，此时处于临界状态；又如速度小者加速追赶速度大者，在共速时两物体间距离最大.此题运用临界法解答如下.

解：设a最小值为a0，此时甲乙两车恰好不相撞.由临界法可知，当甲乙两车共速时如未相撞，则将不会相撞.根据速度关系有

v1-at=v2

根据甲、乙两车位移关系有

其中

s0=100 m

以上代入数据可得

a0=0.5 m/s2

所以要使两车不相撞

a≥0.5 m/s2

评析：临界法是解决追及相遇问题最普遍、最常用的方法，其思路清晰、逻辑流畅，同时也是最常规的方法，在教学中应使全体学生掌握.

4.2 图像法

图像法是指根据x-t图像和v-t图像，利用图像的斜率、截距、面积的物理意义求解的方法.利用x-t图像求解时，分别作出两个物体的x-t图像，如果两个物体的x-t图线相交，则说明两物体相遇；利用v-t图像求解时，注意比较v-t图线与时间轴所围图形的面积与初始距离.此题运用图像法解答如下.

解：分别作出甲、乙两车的速度-时间图像如图1所示，即t0时刻两车恰好不相撞，由题意及v-t图线与t轴所围图形面积的物理意义有

图1 甲、乙两车的v-t图

代入数据解得

t0=20 s

解得

则a≥0.5 m/s2.

评析：利用图像将追及和相遇的物理过程清晰、直观地展示出来，有助于学生理解与分析题目，图像法解题还可以培养学生作图、识图、用图的能力，提升数形结合的思维.

4.3 函数法

先求出在任意时刻t两物体间的距离y=f(t)，若对任何t均存在y=f(t)>0，则这两个物体不能相遇；若存在某个时刻t使得y=f(t)≤0，则这两个物体能相遇.此题运用函数法解答如下.

解：为使两车不相撞，其位移关系应满足

代入数据得到

根据二次函数知识可知，若使函数值大于或等于零，其顶点的纵坐标必然大于或等于零，因此代入数据可得

解得

a≥0.5 m/s2

评析：函数法将物理问题转化为数学问题进行求解，对学生数学水平有一定要求，且有利于培养学生数学与物理相结合的思想.

4.4 相对运动法

相对运动法是利用相对运动的知识求解追及相遇问题，通过选择合适的参考系，简化物理情境，最终解决问题.在运用此方法时应注意将两物体相对地面的物理量(位移、速度和加速度)转化为相对的物理量.此题运用相对运动法解答如下.

解：设a最小值为a0，此时甲、乙两车恰好不相撞.以乙车为参考系，则甲车的初速度为v0=10 m/s，以加速大小a0减速，行驶s0=100 m后“停下”，末速度为vt=0.根据匀变速直线运动位移时间公式有

代入数据解得

a0=0.5 m/s2

则

a≥0.5 m/s2

评析：相对运动法过程简单，运算量小，但对学生知识水平要求较高，需在扎实并熟练掌握匀变速直线运动规律的基础上运用，适用于学有余力的学生，不做全体要求.

综上所述，掌握“一个概念先牢记、两类图像画仔细、三条关系来分析、四大方法去解题”的解题步骤与思路，方能以不变应万变，彻底破解追及和相遇问题.