运用“拉前腿”法巧解三力动态平衡问题

云南 李鑫磊

(作者单位：瑞丽市畹町经济开发区中学)

三力动态平衡是指物体在三个力(受到多个力时可等效为三个力)的作用下缓慢运动并处于一系列的平衡状态。力学动态平衡是高考热点问题，同时又是教学难点，此类问题涉及的题型较多，且同一个题型解法也不唯一。针对这种情况，笔者凭借多年的教学经验对此类问题的常见题型加以分析，结合力的矢量三角形提出“拉前腿”法(箭头端，笔者称之为“前腿”)。即根据物体的受力情况，先画出恒力(一般为重力)的有向线段，第二个力以恒力的前端(箭头端)开始画有向线段，第三个力以第二个力前端(箭头端)开始画有向线段，从而构成一个首尾相连的闭合三角形，再根据闭合矢量三角形有向线段的长度即可判断力的大小变化情况。“拉前腿”法可使学生更容易对物体进行正确的受力分析，更加深入地理解矢量三角形法则。根据动态平衡问题中物体受力特点，结合“拉前腿”法，笔者将力学中三力动态平衡问题归纳为两类：“一恒一定”和“一恒二变”。“拉前腿”法的具体思路和应用例析如下。

一、“拉前腿”法之“一恒一定”

“一恒”：物体所受三个力中有一个力是恒力(即大小和方向都不变的力，一般为重力)；“一定”：其余两个力中有一个力定向(方向不变)、定大(大小不变)或两个力定角(两个力间夹角不变)。

1.一恒一定向

【例1】(2019·全国卷Ⅰ·19)(多选)如图1，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中

( )

图1

A.水平拉力的大小可能保持不变

B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

【解析】以物块N为研究对象，先画出恒力(重力mg，此时重力的大小和方向要保持不变)，再从重力箭头前端开始画方向不变的力(水平拉力F)，再从水平拉力F的箭头前端开始画绳子拉力T，构成矢量三角形如图2所示，物块在水平向左的拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向的夹角为45°，从力的矢量三角形可知，水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力T也逐渐增大。以物块M为研究对象，根据“拉前腿”法，可得矢量三角形如图3所示，由于重力G和支持力FN均为恒力，则平行于斜面的合力F斜=T±f-mgsinθ(其中f为物块M与斜面间的摩擦力)也为恒力，若初始时M受到的摩擦力f方向沿斜面向下，随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若初始时M受到的摩擦力f方向沿斜面向上，随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f可能先减小后增加，故选项BD正确。

图2

图3

【答案】BD

【点评】“一恒一定向”问题，学生根据“拉前腿”法得出力的矢量三角形，再由矢量三角形中“旋转边”的变化情况，很容易判断出各个力的变化情况(如：①“竖小平大”，即旋转边越竖直，两个变力就会越小，旋转边越水平，两个变力就会越大；②“垂直极小”，即旋转边与定向边竖直时，旋转边的力达到最小值)。当物体受到三个以上的力的作用时，可以将其中的几个力先合成，再构成矢量三角形，然后根据“拉前腿”法判断各个力的变化情况。

2.一恒一定大

【例2】如图4所示，质量为m的小球A用轻绳悬挂于O点，用力F(F

( )

图4

A.轻绳OA中的拉力T渐增大

B.轻绳OA中的拉力T逐渐减小

C.轻绳OA中的拉力T先增大后减小

D.轻绳OA中的拉力T先较小后增大

【解析】对小球A受力分析，先画出重力mg的有向线段，从重力有向线段的箭头端开始画出拉力F的有向线段，再画出绳子OA所受拉力T的有向线段，构成起始位置处的矢量三角形。拉力F在旋转过程中大小保持不变，因此以恒力(重力)的箭头端作为圆心，以拉力F的大小作为半径，画出如图5的辅助圆。从辅助圆上很容易看出，以F为半径顺时针旋转所构成的一系列矢量三角形中绳子的拉力T逐渐减小，故选项B正确。从图4中还可以看出，OA绳子所受的拉力与竖直方向的夹角先增大后减小，当拉力F与拉力T垂直时，绳子OA有最大偏角。

图5

【答案】B

【点评】“一恒一定大”问题，用“拉前腿”法构成初始状态的矢量三角形。以恒力(一般为重力)的箭头端为圆心，用大小不变的力作为半径，旋转得出辅助圆上一系列的矢量三角形，从矢量三角形中可以直观地判断出另一个力的变化情况，此类问题另一个变力大小的变化情况为渐变(逐渐增大或者逐渐减小)，且当大小不变的力与变力垂直时，变力与竖直方向偏向角最大。

3.一恒一定角

( )

图6

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

【解析】对M端进行受力分析，先画出重力mg的有向线段，以重力有向线段的箭头端为起始画出MN的拉力TMN，以TMN的箭头端为起始画出OM的拉力TOM，构成在起始位置的闭合矢量三角形。由于TMN和TOM间的夹角保持不变，且绳子OM的长度不变，把重物向右上方缓慢拉起过程中，重物M的轨迹为圆弧，且在矢量三角形中重力为恒力，根据几何中“弦长一定时，对应的圆心角一定”很自然得到，以矢量三角形中重力矢量边为定弦作出的辅助圆，如图7所示。由图7中的动态矢量三角形可知，在OM由竖直被拉到水平的过程中，TMN逐渐增大，TOM先增大后减小。

图7

【答案】AD

【点评】虽然“一恒一定角”问题可以用拉密定理、正(余)弦定理或特殊值法解决，但是笔者认为用“拉前腿”法构成初始矢量三角形结合辅助圆更加直观、简单。关于“一恒一定角”问题，我们也可以总结出力的变化情况，即“定角最平”(在两个力夹角保持不变的三力动态平衡问题中，其中一个力的大小达到最大时，另一个力的方向一定处于水平)，若在很熟悉此类问题的情况下，根据“定角最平”就可以快速解决问题。

二、“拉前腿”法之“一恒二变”

“一恒二变”即物体所受的三个力中有一个力是恒力(即大小和方向都不变的力，一般为重力)，另外两个力是变力(大小变化、方向变化、大小和方向都变化)。笔者在此又将此类问题归为两类：对称性变化型和非对称性变化型。对称性变化型是指两个变力在某种条件约束下成对称性变化(如活结类问题)；非对称性变化型是指两个变力之相互制约但没有对称变化。

1.一恒二变——对称性变化型

【例4】(2017·天津卷·8)(多选)如图8所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是

( )

图8

A.绳的右端上移到b′，绳子拉力不变

B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大

C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小

D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移

图9

图10

图11

【答案】AB

【点评】晾衣架模型是“一恒二变”动态平衡类问题中典型的一类问题，在绳长不变的约束条件下，光滑挂钩(“活结”)结构，体现了绳子张力对称相等的特点。该类问题的关键是找准绳子、竖直杆间的夹角θ与绳子长度L、两晾衣杆间水平距离d之间的关系。找准几何对称关系就容易得出力学对称关系，根据“拉前腿”所得的矢量三角形，就可以直观、简单地看出各个力的变化情况。

2.一恒二变——非对称性变化型

【例5】如图12所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前

( )

图12

A.BC绳中的拉力FT越来越大

B.BC绳中的拉力FT越来越小

C.AC杆中的支撑力FN越来越大

D.AC杆中的支撑力FN越来越小

【解析】对C点进行受力分析，根据“拉前腿”法可得初始状态的矢量三角形，如图13所示；对起吊装置的几何三角形进行分析可知，边AB和边AC的长度不变，因此可将“拉前腿”法所得的初始矢量三角形平移到几何装置，可得到动态平衡轨迹的圆弧，由图14可直观地看出FT越来越小，FN大小不变。因此选项B正确。

图13

图14

【答案】B

【点评】“一恒二变”中非对称性变化问题最常见的解法是用“相似三角形”法(用力的矢量三角形和几何三角形相似)，然而若在实际解决问题中找不到相似三角形，难度就会增加，因此笔者认为根据“拉前腿”法得出初始状态的矢量三角形，并结合几何三角形分析，将会大大降低解题难度。常见模型对比如下表所示。

“拉前腿”法“相似三角形”法Gh=FNd=FlGh=FNR=FlGR=FNR=Fl

经过分析可知，当动点轨迹是圆弧时，若能找到几何三角形中两条不变的边，则将“拉前腿”法变形为“一恒一定”模型将会快速解决问题。

三、结束语

三力动态平衡问题对学生而言，难度较大，但有很强的规律性，本文中笔者用“拉前腿”法将三力动态平衡问题归纳为两类，增强了动态平衡问题的内部联系，有效降低了学生解决此类问题的难度。在平时的教学中，教师可将不同的问题进行梳理和归纳并结合生产、生活实际，培养学生思维能力和解决实际问题能力，有效提高教学及备考效率。