万有引力与宇宙航行相关问题剖析
2022-07-29河北崔晓然李富恩
河北 崔晓然 李富恩
(作者单位：河北省任丘市华北油田第三中学)
万有引力与宇宙航行问题是高考的热点问题。纵观近几年的高考试题，每年必有一道选择题考查该知识点。这类问题的命题往往以现代航天的活动为背景，考查天体、人造卫星及宇宙飞船运动参量的比较，人造卫星或宇宙飞船的变轨、相距最近或最远问题，卫星运动过程中的动力学问题、能量问题等，涉及参量多、计算量较大，使学生感觉问题很困难，本文就近几年高考热点，对万有引力与宇宙航行知识进行总结和分析。
一、天体运动中易混概念
1.两个半径——天体半径和卫星轨道半径
(1)天体半径：在高中物理中，通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小。
(2)卫星的轨道半径：卫星绕天体做圆周运动的轨迹圆的半径。
(3)关系：一般情况下，卫星的轨道半径大于其环绕天体的半径。当卫星在天体表面附近运动时，可近似认为其轨道半径等于天体半径。
2.两种周期——自转周期和公转周期
(1)自转周期：天体绕自身某轴线转动一周所用的时间，自转周期的大小反映了天体自转的快慢。
(3)联系：一般情况下，天体的自转周期和公转周期是不相等的，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天，二者之间没有直接联系，应用时要注意区别。
3.两种轨道——圆形轨道和椭圆形轨道
4.两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行
(2)变轨运行
二、解题思路
牢记一个公式，两个等式，区分三种运动情境。
两个等式：F万=mg，F万=F向
三种运动情境：匀速圆周运动、离心运动、向心运动
三、高考热点问题
1.中心天体的质量和密度的计算
(1)利用环绕天体的轨道半径r和周期T。
【例1】(2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图1所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为
( )
图1
A.4×104MB.4×106M
C.4×108MD.4×1010M
【答案】B
(2)利用中心天体自身的半径R和表面的重力加速度g。
【例2】(多选)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是
( )
【答案】BC
2.天体运行参量分析
天体做匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，有
由公式可以看出，轨道高度越高，运行的线速度、角速度及向心加速度都越小，而运行周期越长，即“高轨低速长周期”。
【例3】金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知轨道半径R金 ( ) A.a金>a地>a火B.a火>a地>a金 C.v地>v火>v金D.v火>v地>v金 【答案】A 3.近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题 近地卫星、同步卫星：F万=F向；赤道上的物体：F向=F万-F支。 ①近地卫星与同步卫星 近地卫星与同步卫星都是地球的卫星，都绕地球做匀速圆周运动，由“高轨低速长周期”可知： 因为r近 ②同步卫星与赤道上物体 同步卫星与赤道上物体转动的角速度相同，由“同轴转动模型”可知： ω同=ω物，T同=T物，因为r同>r物=R，所以由v=ωr、a=ω2r可知v同>v物，a同>a物。 ③三类卫星匀速圆周运动的比较 r同>r近>r物，v近>v同>v物，ω近>ω同=ω物，T近 【例4】(多选)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，卫星b是近地轨道卫星，卫星c是地球同步卫星，卫星d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图2所示，则 ( ) 图2 A.卫星a的向心加速度等于重力加速度g，卫星c的向心加速度大于卫星d的向心加速度 B.在相同时间内卫星b转过的弧长最长，卫星a、c转过的弧长对应的角度相等 D.卫星b的周期一定小于卫星d的周期，卫星d的周期一定小于24小时 【答案】BC 4.变轨问题 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上经过A点和B点时的速度分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因为v1>v3，所以vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：卫星只受万有引力作用，所以无论在哪一轨道经过同一点时加速度都相等。 (4)在一个确定轨道上，卫星的机械能守恒；在不同轨道上运行时，同一卫星的机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 图3 【例5】2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图4所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆形轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是 ( ) 图4 A.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重 B.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等 C.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等 D.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等 【解析】嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，由上述分析可知，嫦娥五号在轨道Ⅰ运行时的机械能小于在轨道Ⅱ运行时的机械能；在轨道Ⅰ运行至P处时速率小于在轨道Ⅱ运行至P处时速率；在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，所以选项D正确。 【答案】D 5.双星问题 (1)双星：两个距离比较近的行星，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗行星组成的系统称为双星。 图5 (2)双星问题的特点 ①双星的运动轨道为同心圆，圆心是二者之间连线上的某一点； ②双星的向心力大小相等，由二者间的万有引力提供； ③双星的运动周期、角速度相等； ④双星的轨道半径之和等于二者之间的距离，即r1+r2=L； 【例6】(2018·全国卷Ⅰ·20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，他们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星 ( ) A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 【答案】BC 高考冲刺阶段的复习不是简单的知识罗列，而是帮助学生将知识点归类，构建知识框架，建立解题模型，让学生在复习中有招可循，对已有知识能够做到自纠自查，将高考热点逐个击破。
四、总结
