双曲空间中子流形的积分公式 *

王琪，周志进

(贵阳学院 数学与信息科学学院，贵州 贵阳 550005)

1 引言

并令其装备双曲黎曼度量

则得到(n+p)维双曲空间Hn+p，其截面曲率K≡-1.

关于双曲空间Hn+1中等距浸入超曲面M，文献 [1] 曾给出一个经典的积分公式，即Minkowski公式，也即定理1.本文研究(n+p)维双曲空间Hn+p中n维等距浸入紧致无边子流形Mn.利用关于Codazzi张量场的一个已知定理，本文得到Mn的一个积分公式，即定理2.定理2推广了定理1的结果.

定理1[1]设h:M→Hn+1是定向的等距浸入紧致无边超曲面，记N为M的单位法向量场，而σk为M的k-平均曲率.则有积分公式

定理2设h:Mn→Hn+p是n维定向的等距浸入紧致无边子流形，记η为Mn的单位平均曲率法向量场，而σk为Mn沿方向η的k-平均曲率.则有积分公式

2 预备知识和引理

令(Mn,g)为一个n-维光滑黎曼流形，而S是Mn上一个(k,k)型张量场.如果S对其协变指标反对称，同时对其反变指标也反对称，则记S∈Γ(EndΛk(TM)).设S∈Γ(EndΛk(TM))，T∈Γ(EndΛj(TM))，定义S*T∈Γ(EndΛk+j(TM))为S与T的协变分量、S与T的反变分量分别作外乘积，而得到的(k+j,k+j)型张量场.由文献 [1-3] 知乘法*满足结合律和交换律.

定义1[1-3]( Codazzi张量场) 设S∈Γ(EndΛk(TMn))，并记∇为黎曼流形Mn的Levi-Civita联络.如果对任意的X1,X2,…,Xk+1∈Γ(TMn)，0=∑(-1)j+1(∇XjS)(X1∧…∧Xj-1∧Xj+1∧…∧Xk+1)都成立,则称S为Mn上一个(k,k)型Codazzi张量场.

其中,I为End(Γ(THn+p))的恒同截面;f=-1/xn+p是广义位置向量场∂/∂xn+p相关联的光滑函数.

确定了Mn上一个(1,1)型Codazzi张量场A.其中II表示子流形Mn的第二基本形式.

定义子流形Mn的平均曲率法向量场为

同时定义Mn的单位平均曲率法向量场为

Mn的平均曲率法向量场σ及其单位化η的定义与幺正局部标架场(eA)的选取无关.

3 定理2的证明

证明令Tη为Mn沿其单位平均曲率法向量场η方向的形状算子，即

记λ1,λ2,…,λn为Mn沿η方向的主曲率，即λ1,λ2,…,λn为Mn沿η方向的第二基本形式的特征值.用δr表示λ1,λ2,…,λn的基本对称多项式，即

tarce(S)=k!δk.

(1)

令ρ表示Mn沿其单位平均曲率法向量场的支撑函数，即

其中Y=∂/∂xn+p是Hn+p的一个广义位置向量场 (见引理1).

由Tη以及 (1,1)张量场A的定义 (见定义3)，计算得

A=ρTη.

用类似于 (1) 式的计算，得到

trace(S*A)=ρ(k+1)!δk+1.

(2)

定理2得证.