基于信息熵的电力信息耦合网络重要节点评估

张诗琪， 李琰， 徐天奇

(云南省高校电力信息物理融合系统重点实验室、 云南省高校信息与通信安全灾备重点实验室(云南民族大学)， 昆明 650504)

在电力信息耦合网络中，少数的节点故障就可能会使整个网络瘫痪，电力信息耦合网络由于其耦合特性，相对于单独的电网或者通信网更容易发生网络崩溃，因此重要节点的识别就显得尤其重要。目前已有很多的方法识别重要节点，如基于复杂网络理论的度中心性法[1]，度值越高，节点越重要，其只反映了网络的局部特性；接近中心性法[2]，一个节点距离其他节点越近，节点越重要，该算法时间复杂度较高；中介中心性法[3]，表征一个节点充当“中介”节点的次数越多，则该节点越重要，但在现实网络中，信息并不总是沿着特定线路传播的；离心中心性法[4]，节点到其他节点的最长距离越短，则说明节点越容易向其他节点传递信息，节点因此越重要；还有将各种中心性指标组合在一起进行节点重要性评估[5-7]；也有节点删除法、节点收缩法。

除了上述常见的方法外，还有学者提出了较为新颖的方法，文献[8]算出结构洞系数，这表示一个节点能够成为结构洞的可能性大小，系数越小，则这个节点越重要，此方法能够反映网络全局属性且计算复杂度低。文献[9]提出了一种局部和分散的方法，在没有网络全局信息的情况下寻找关键节点。文献[10]利用节点之间的信息传输效率、最优路径长度等指标来描述节点的传输能力，再运用重要度传输矩阵，结合局部特性和全局特性来对节点的重要性进行排序。

目前的重要节点评估有很多缺陷：第一，多数方法是面向单一网络进行建模和重要节点评估，较少能在耦合网络进行分析；第二，多数方法没考虑网络的特性及相互影响，即只在无权网络中进行研究，且也没有对权值属性不同的耦合网络进行研究，如果直接按照无权网络的研究方法进行重要度排序是不正确的；第三，很多研究在重要节点评估方法的验证中没有考虑负载重分配引起的级联失效问题，只是简单地按顺序删除节点。

重要节点对网络起到至关重要的作用，因此对电力信息物理耦合网络中的重要节点识别就显得尤为重要。针对上述缺陷，现考虑网络拓扑和特性的差异性，提出一种基于信息熵的方法来识别电力信息耦合网络中的重要节点，只研究通信网络重要节点的失效对整个电力信息耦合网络的影响，在静态和动态攻击下对重要节点方法进行验证，并利用渗流理论对重要节点验证过程进行分析。以IEEE30、IEEE118节点系统对应的电力信息耦合网络为例，对比度中心性法、接近中心性法、中介中心性法、离心中心性法的优劣，验证该方法的有效性及优越性。

1 电力信息耦合网络模型的构建

1.1 电力网模型

基于复杂网络理论，将电力网(power network)中发电机、电源等设备抽象为节点，输电线路抽象为边，假设能量的流动是双向的，即电力网可抽象为无向加权网络。分别以IEEE30标准节点系统和IEEE118标准节点系统作为小规模电网和大规模电网，利用其拓扑数据来构造电网，以电抗值作为电力网的权值构造出电网的加权邻接矩阵。电力网的拓扑结构为G(VP,EP,WP)，其中VP代表电力网的节点集，EP代表电力网的线路集，WP代表电力网线路的权重集。

1.2 通信网模型

将通信网(communication network)中的数据采集设备等抽象为节点，通信线路抽象为边，假设信息的流动是双向的，即通信网也可抽象为无向加权网络。由于通信网的拓扑结构很难获取，所以以其无标度特性构造IEEE节点系统对应的无标度网络作为通信网，其节点数比电力网节点数多两个，分别为32个和120个，选取无标度通信网中度数最高的节点作为通信网的主备调度中心，用于保证电网的稳定运行，以通信网的线路利用率[11]作为通信网的权值构造出通信网的加权邻接矩阵。通信网的拓扑结构为G(VC,EC,WC)，其中VC代表通信网的节点集，EC代表通信网的线路集，WC代表通信网线路的权重集。

1.3 耦合网模型

电力信息耦合网络的连接方式有许多：“一对一”“一对多”“多对多”等[12]，为贴近实际情况，采取“部分一对一”的连接方式，即除通信网的主备调度中心节点，其余节点对采用“高度数-高度数一对一”“高介数-高度数一对一”“随机一对一”3种连接方式，假设耦合线路上的能量和信息流动是双向的，以两网节点之间的依存度[13]作为耦合边的权值构造出加权耦合矩阵。

2 理论前提

2.1 节点负载和重分配策略

节点的度在有权、无权、有向、无向网络中的定义有所不同，由于研究的电力信息耦合网络是无向加权网络，所以只介绍无向加权网络度的概念，其余类似。在有权无向网络中，节点的度也可表示为强度，即为节点i的所有连边的权值和，表达式为

(1)

式(1)中：Wij为节点i和节点j之间的边的权值；n为节点i的邻域节点数；节点j为节点i的邻域节点。在如图1所示的有权无向网络中，各个节点的强度分别为6、2.5、4、1.5。

图1 有权无向网络Fig.1 Powered undirected network

以节点的强度作为节点的初始负载Li，表达式为

(2)

式(2)中：τi为节点i的邻域；Kj为节点j的所有连边的权值和。在电力信息耦合网络中，根据式(1)可知，电力网节点的负载等于每个节点的电抗值与邻域节点的电抗值之和的乘积，通信网节点的负载则为每个节点的线路利用率与邻域节点的线路利用率之和的乘积。

节点的容量Ci与初始负载的关系表达式为

Ci=(1+γ)Li,γ∈(0,+∞)

(3)

式(3)中：γ为一个大于零的常数。在删除节点后，删除的节点的负载会被分配到周围节点上，其分配比例Tji满足的表达式为

(4)

式(4)中：τj为节点j的邻域；节点m为此邻域内的节点；τn为节点n的邻域；节点r为此邻域内的节点；Km、Kn和Kr分别为节点m、节点n和节点r的所有连边的权值和，负载重分配后，其负载就根据式(5)改变，节点j的负载改变为L′j，即

L′j=Lj+LiTji,j∈τi

(5)

随着节点的删除，若此时节点的负载超过其负载容量，则节点会失效，循环往复，就可能会造成级联失效。

2.2 节点权值的无量纲化处理

由于电力网、通信网和耦合连接边的权重含义是不同的，有着不同的量纲和量纲单位，两层网络的节点重要度不能直接比较，在实验之前需要将各参数进行无量纲化处理，使各权重指标具有可比性，各权重采用的归一化计算公式为

(6)

式(6)中：N为单网节点的数量。归一化后的权重W*为单网中每条线路的权重Wij与所有线路的权重和的比值。这种归一化方法能够将不同量纲的权重统一到[0,1]区间范围内，为后续节点重要度计算提供了便利。

考虑到两网络的差异及对方网络对自身网络的影响，在权重归一化后，先将两个网络合并成一个大网络，即

(7)

式(7)中：AP为电力网的邻接矩阵；AC为通信网的邻接矩阵；AP-C为电力网和通信网的耦合矩阵。例如如果是“30-无标度”耦合网络，合并之后就变成了一个62节点的大网络，在此大网络中先用各种算法对节点重要性进行排列，然后区分出电力网节点和通信网节点，可得到考虑对方网络的电力网和通信网节点的重要性，再进行节点重要性等验证过程。

2.3 基于信息熵的节点重要度评估法

一个节点被其他节点选作为邻居节点的概率越大，说明该节点越重要。式(8)所示为节点i的邻居节点j对其的影响概率pij，公式为

(8)

例如在图1所示的有权无向网络中，节点1按式(8)计算为：

这分别表示节点1的邻居节点2、3、4对节点1的影响程度。

式(9)是熵Hi的表达式，将式(8)代入可得出每个节点的熵值，进而根据熵值比较各节点的重要性。

(9)

例如在图1中，根据式(9)可求出各节点的熵值及节点重要度排名如表1所示。

表1 各节点熵值汇总表

为更直观地表示每个节点重要性的差别，以“30-无标度、高介数-高度数一对一”电力信息耦合网络为例按照信息熵法绘制出考虑电力网影响的通信网节点重要度分布图，如图2所示。

从图2中可以看出，各节点重要性差别较大，以信息熵法计算出的最重要节点为节点2和3。

2.4 基于渗流理论的重要节点验证模型

图2 “30-无标度、高介数-高度数一对一”耦合网络节点重要性Fig.2 The importance of nodes in the “30-scale-free, high-between-high number one-to-one” coupling network

验证重要节点方法的正确性，是按重要度排名顺序移走节点后，观察网络结构和性能的变化过程，这其实就是一种故障传播过程。当删除节点的比例q小于渗流阈值ρ时，此时网络会形成渗流，而当删除节点的比例q达到渗流阈值ρ时，网络中的节点会全为孤立节点，无法形成渗流。

基于渗流理论，研究电力信息耦合网络的网络层内及网络层间的渗透传播过程。当信息节点失效时，故障不仅会在通信网络传播，还会通过耦合线路传播给电力网络层，与此同时失效节点的负载会渗透给其他节点，当其他节点得到分配后的负载大于自身容量时，这些节点也将失效。综上，此过程可描述为故障从通信网络层开始，通过耦合线路影响到电力网，再从电力网通过耦合线路影响回通信网，以此类推，以上过程重复进行，直到电力信息耦合网络稳定。在进行以上渗流传播过程中，只有当网络中的节点满足负载小于自身容量，且属于连通子图这两个条件时才能进行上述的渗流操作，否则判定节点失效。用NA和NB分别表示通信网和电力网中的节点个数。初始状态下，网络中所有节点组成了一个极大连通图，发生故障即从极大连通图里移走节点。

2.4.1 通信网的节点变化

首先移除通信网中q比例的节点，由于网络中存在依赖关系，所以在删除NAq个节点的同时，还要删除与这些节点相连的线路，当节点和线路被移除后，网络会被分为许多的连通子图，此时通信网剩余的节点集N′A1表示为

N′A1=NA(1-q)=NAμ′1

(10)

式(10)中：μ′1为通信网删除节点后剩余节点占全部节点的比例，由于只有属于连通子图且负载不超过其容量的节点才能正常工作，所以在删除节点后，负载分配完成时，要将不满足以上两个条件的节点及连边一并删除，由此可得网络剩余的有效节点集NA1为

NA1=N′A1FA(μ′1)=NAμ1

(11)

μ1=μ′1FA(μ′1)

(12)

式中：FA(μ′1)为通信网剩余节点中满足有效节点条件的节点概率；μ1为通信网有效节点的比例。

2.4.2 电力网的节点变化

从通信网中移走重要节点后，由于耦合关系的存在，通信网会通过依存度α渗透影响到电力网，使电力网的部分节点和线路同样也被移除掉，因此，进一步移除电力网的节点数为(NA-NA1)α。用N′B2表示电力网剩余的节点集为

N′B2=NB-(NA-NA1)α=NBμ′2

(13)

式(13)中：μ′2为电力网删除节点后剩余节点占全部节点的比例，同理可得电力网中满足有效节点条件后的剩余有效节点集NB2为

NB2=N′B2FB(μ′2)=NBμ2

(14)

μ2=μ′2FB(μ′2)

(15)

式中：FB(μ′2)为电力网剩余节点中满足有效节点条件的节点概率；μ2为电力网有效节点占全部节点的比例。可推导得

NB-[NA-NAμ′1FA(μ′1)]α=NBμ′2

(16)

NB-NA[1-μ′1FA(μ′1)]α=NBμ′2

(17)

NB(1-μ′2)=αNA[1-μ′1FA(μ′1)]

(18)

因为通信网对电力网的影响依赖于依存度α，所以由此可得

μ′2=μ′1FA(μ′1)

(19)

2.4.3 整个渗流传播过程的分析理解

随着节点的移除，故障会按上述过程重复进行，直到网络达到稳定的状态，过程停止时，即电力信息耦合网络会达到稳定状态，此时各参数之间关系的表达式为

μ′2j+1=μ′2j+3=μ′2j-1

(20)

μ′2j=μ′2j+2=μ′2j-2

(21)

令x=μ′2j+1=μ′2j+3=μ′2j-1，y=μ′2j=μ′2j+2=μ′2j-2，可得

(23)

由式(22)、式(23)求出x和y的非平凡解就可以得到两网络失效的临界点和剩余有效节点数。

3 实验仿真与验证

采用静态和动态两种方式移除节点来验证本文方法的正确性。两种方式在移除节点后，网络都会发生级联故障，故障会在本层网络内扩散并且通过耦合关系传递到另一层网络。并将本文方法(shang,S)与度中心性(degree centrality,DC)、接近中心性(closeness centrality,CC)、中介中心性(betweenness centrality,BC)、离心中心性(eccentricity centrality，EC)4种方法作对比，在分析过程中，用网络效率相对值E和网络受损程度L两个指标来表征，计算公式为

(25)

式中：N和N′分别为受损前后的网络节点数；dij和d′ij分别为受损前后网络任意两节点间的最短距离，两个指标的取值范围都为[0,1]，值越小，网络被破坏得越严重，重要节点评估方法越合理。只研究移除通信网重要节点对电力信息耦合网络的影响，整个实验的流程图如图3所示。

图3 实验流程图Fig.3 Experimentalflowchart

3.1 静态攻击的验证过程

静态攻击节点，即事先对原始网络对节点重要性进行排列，按排列顺序依次移除节点来验证方法正确性以及对于单个加权电力网和单个加权通信网的适用性。首先验证单网的适用性，选取IEEE30节点系统作为电力网和对应的无标度通信网来进行实验，实验结果如图4所示。

图4 各节点重要度方法在电力网/通信网中的对比(静态)Fig.4 Comparison of the importance of each node method in the power network/communication network (static)

图4(a)中，图中的横坐标表示按排序顺序移除的节点数，并不包括级联失效过程产生的孤立节点数和过负载的节点数，后文同。对于IEEE30节点系统，本文方法虽在移除第一个节点时两指标不占优势，但在之后的绝大部分阶段，本文方法都占据优势；图4(b)中，对于32节点无标度通信网，本文方法与其他方法效果持平或者更优。综上，随着不断地删除节点，网络会变得越来越脆弱，与其他方法相比，本文方法能够使网络被破坏得更严重，这表明本文的方法在单个加权电力网或者单个加权通信网中能够有效识别出重要节点，具有有效性和优越性。

通过验证此方法对于电力信息耦合网络的适用性，并且观察不同耦合关系即“高度数-高度数一对一”“高介数-高度数一对一”“随机一对一”的3种连接方式下，移去通信网重要节点对整个网络的损伤程度大小，选取“30-无标度”“118-无标度”来模拟小系统的耦合网络和大系统的耦合网络，结果如图5所示。

图5 各节点重要度方法在电力信息耦合网络中的对比(静态)Fig.5 Comparison of the importance of each node method in the power information coupling network (static)

在“30-无标度”耦合网络的不同耦合方式下，本文方法除移去第一个节点时不占据优势外，在之后的阶段都比其他方法表现更好。在“118-无标度”耦合网络的不同耦合方式下，本文方法也是在绝大部分都占据优势。

综上，随着移除节点的比例缓慢增加，各方法下两指标一开始缓慢下降，随后当移除节点比例q到达一定的阈值时，耦合网络的上述指标迅速下降，直至网络瘫痪，不同耦合方式下的阈值会有所不同。对于“30-无标度”电力信息耦合网络和“118-无标度”电力信息耦合网络，不同耦合方式基本趋势都是在节点移除比例到达一定阈值后网络性能才会迅速下降，但由于参数设置的原因不能直接比较优劣。从图5观察到在任何耦合连接方式下，用本文方法移除节点都能使网络更快崩溃，这说明在耦合网络中，不同的耦合连接方式不会影响该方法的优势。因为参数设置有所不同，所以不同耦合方式下的情况不能直接对比，因此要根据参数等不同的需求再合理地选择合适的连接方式，暂不研究相同耦合方式下参数对结果的影响。

3.2 动态攻击的验证过程

验证节点重要度评估方法正确与否，其实就是按照节点重要度顺序移除节点观察网络结构与性能的变化，但在移除节点的同时，网络结构也会随之改变，先前的节点重要性顺序就不能表征此刻的节点重要性顺序。为保证每次移去的节点都是当前网络最重要的节点，所以接下来将每移去一次节点，就重新对当前网络中的节点进行排序，这样一个动态的过程更能精确地识别出网络实时的重要节点。和静态参数和步骤一致，首先验证单网的适用性，实验结果如图6所示。

图6 各节点重要度方法在电力网/通信网中的对比(动态)Fig.6 Comparison of the importance of each node method in the power network/communication network (dynamic)

从图6可以看出，不论是电力网还是通信网，本文方法在绝大多数阶段都是占据优势的，与静态攻击方式下的趋势大体相一致，相对于静态方式，大多数节点重要性方法都能更快地使网络崩溃。下面将利用“30-无标度” 和“118-无标度”“高介数-高度数”耦合网络,同样在与静态移除节点相同的参数下对比五种重要度方法，再次验证本文方法的适用性和优越性，结果如图7所示。

图7 各节点重要度方法在 “高介数-高度数一对一”耦合方式下的对比(动态)Fig.7 Comparison of the importance of each node method under the coupling mode of “high between-to-height one-to-one” (dynamic)

从图7(a)可以看出，对于“30-无标度、高介数-高度数一对一”电力信息耦合网络中，本文方法在开始的阶段不占据优势，但后半段发挥优势，相比于其他方法能使网络更快崩溃；图7(b)中，“118-无标度、高介数-高度数一对一”电力信息耦合网络也是一样，在最开始的阶段优势较小，后面大部分阶段也和小系统网络结果一致。综上，对比静态移除节点，动态移除节点的方式与静态的方式得到的结果相似，但却更加准确，基于信息熵的方法依然占据很大优势，对于绝大多数方法都能够使网络更快速地崩溃。

综上所述，本文方法是适合单个电力网、单个通信网以及电力信息耦合网络的耦合网络，且实验结果优于其他算法，具有可实现性。

4 结论

提出了基于信息熵的重要节点识别方法，能够有效识别出电力信息耦合网络中的重要节点，考虑了在删除节点时的负载重分配带来的级联失效问题，以及在重要度评估时考虑了对方网络对自身网络重要度的影响，整个实验过程有复杂网络理论和渗流理论作为理论基础。实验结果证明，本文方法在各个指标、各种耦合方式下都优于其他算法，为重要节点评估提供了一条新思路。在今后的研究过程中，还可以考虑负载分配比例对结果的影响。