各向异性电介质静电场泊松方程的变分问题

李文略

（岭南师范学院 基础教育学院，广东 湛江 524037）

各向异性电介质（限于仅有3个正交主轴方向的电介质）静电场的泊松方程是研究各向异性电介质静电场属性的微分方程。已有相关的一些文献研究解泊松方程的方法（如分离变量法、积分变换法）并结合具体的物理模型对各向异性电介质静电场属性进行了研究或将泊松方程作新应用[1-9]。本文不从解泊松方程的具体方法技巧入手，而是根据对称正定算子方程的变分原理[10]去构造泛函，从泛函的角度去理解各向异性电介质静电场的泊松方程的物理意义。所构造的泛函取得极值的变分问题与各向异性电介质静电场泊松方程的第一和第二边值问题等价，称为各向异性电介质静电场泊松方程的变分问题，可知在构造相应的泛函并应用变分原理时，就自然得到了泊松方程满足第一类或第二类齐次边界条件。求解所构造的泛函取得极值时，发现静电势解所满足的奥斯特罗格莱茨基方程（奥氏方程）实质上就是泊松方程。

1 各向异性电介质泊松方程的两种具体形式

式中，uξ(ξ1,ξ2,ξ3)是静电势，ρξ(ξ1,ξ2,ξ3)是电荷体密度。若ρξ(ξ1,ξ2,ξ3) = 0，则式（2）退化为在电各向异性坐标系O-ξ1ξ2ξ3中拉普拉斯方程的具体形式。文中下标或上标是“ξ”的量表示在电各向异性坐标系中的物理量或数学量。

2 各向异性电介质静电场泊松方程第一和第二边值问题的变分问题

由泊松方程的变分问题可知，在静电场有源的情况下泊松方程式（1）和式（2）分别是式（14）和（15）中的泛函取得极值时所满足的必要条件，这是从泛函的视角上进一步加深对电各向异性介质静电场泊松方程意义的理解。若静电场是无源的情况，则令ρξ= 0或ρ= 0代入式（14）或式（15）中，即可将电各向异性介质静电场的拉普拉斯方程第一和第二边值问题转化与之等价的变分问题。

3 各向异性电介质静电场的能量密度泛函

泊松方程变分问题中的泛函式（15）所表达的物理含义表面上不明显，但只要稍作改造会发现该泛函实质上表达了各向异性电介质静电场的能量概念。设各向异性电介质主轴坐标系O-x1x2x3中x1、x2和x3方向的三个单位基矢量分别为i1、i2和i3，记主轴坐标系为χ=(i1i2i3)，χT为χ的转置形态。由静电场电场强度与电势的梯度关系，得

4 结论

先在电各向异性坐标系中研究各向异性电介质静电场的属性（如物理量或微分方程），再将该属性通过坐标变换到主轴坐标系中来描述，是常用的数学处理方法，该方法简便且实用。本文先在电各向异性坐标系O-ξ1ξ2ξ3中讨论对称正定算子方程的变分原理，得到泛函的核函数式（9），再通过坐标变换将该核函数转化为在各向异性电介质主轴坐标系O-x1x2x3中的核函数式（12），进一步写出泛函的表达式（13），最后得到由式（15）描述的在主轴坐标系中与泊松方程第一和第二边值问题等价的泊松方程的变分问题。

对泊松方程变分问题中泛函式（13）做进一步研究发现该泛函式具有静电场的能量意义。由泛函式（18）的核函数出发，定义了各向异性电介质静电场的能量密度概念，从而推导出能量密度泛函式（19）。在泛函的角度上得到了关于各向异性电介质静电场泊松方程的新理解，泊松方程式（1）是使能量密度泛函式（19）取得极值的必要条件，泊松方程的电势解是能量密度泛函取得极值的极值函数。