《勾股定理》课后作业的设计与分析

孙亚燕

【摘要】作业是课堂教学的补充和延伸，是实现课程目标的基本环节.有效的数学作业可以让学生在轻负担的状态下，获得数学知识，认识科学的思想和方法，形成分析问题、解决问题的能力，从而提高教学效果.以《勾股定理》为例，讲述在作业设计中的一些想法与意图.

【关键词】数学知识;勾股定理;教学效果

1 作业内容——针对性

有效作业设计必须紧扣和服务于教学的目的，必须与教学内容相关.在作业设计前，首先要对本节课的教学目标和教学重难点了然于心.《勾股定理》是苏科版八年级上册第三章第一节内容，学生已经初步形成几何图形的分析能力，已具备一定的合情推理和演绎推理能力.勾股定理是几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形的三边关系，将“形”和“数”充分地结合在一起，为解直角三角形提供了重要依据，在教材中起着承上启下的作用，在生产、生活中的应用也较为广泛，同时勾股定理对于展示数学文化具有重要价值.

2 作业设计分析

2.1 掌握知识与技能作业设计

例1 如图1，直角三角形中未知的边长x= ，如图2直角三角形中未知的边长y= .

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对的边.

（1）已知a=6，b=8，则c= ;

（2）已知a=40，c=41，则b= ;

（3）已知∠A=45°，c=4，则a2= ;

（4）若a∶b=3∶4，c=10，则a=，b=.

例3 在△ABC中，∠C=90°，若两边长分别为3和4，则第三边的平方等于 .

设计意图 以上3个题目是勾股定理的简单应用，强调作业的基础性、典型性，重点是培养学生掌握基础知识和基本技能.第1题以图形的方式呈现直角三角形三边关系更形象、直观.第2题要求学生画图然后利用勾股定理解决问题.第3题涉及了分类思想.以上3个题目，对学生的能力要求和思维水平逐步提高.基础弱的学生都能入手解决，但是可能会出现思考不够全面等情况.

2.2 优化认知结构作业设计

例4 如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的各边在△ABC外作正方形，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，S1=144，S3=169，则S2= .

例5如图4，在Rt△ABC，∠ACB=90°，以各边为直径向外作个半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，阴影部分的面积为 .

例6（1）如下图5 ，以锐角△ABC三边分别向外作正方形，则三边会有怎样的数量关系？

（2）如上图6，以钝角△DEF三边分别向外作正方形，则三边会有怎样的数量关系？

设计意图 以上三个题目是回顾探索勾股定理的过程，从而强化理解知识的来龙去脉，要求学生体会并领悟数学的思想.第4题是复习勾股定理的来源，第5题既回顾勾股定理的探索过程，又要分析阴影部分图形的特征.第6题，同时类比勾股定理的探索过程，找到锐角三角形和直角三角形三边间的关系，培养学生的知识迁移和探索问题的能力.

2.3 提升迁移能力作业设计

例7 如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D.求CD的长.

例8 如图8，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8，长BC为10.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的點F处（折痕为AE.想一想，此时EC有多长？

例9 如图9，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路（如图10），请你按照他们的解题思路完成解答过程.

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设计意图 以上三个题目是勾股定理的综合运用.第7题是勾股定理与等积法相结合.第8题是知识的连续和延伸性，利用所学知识解决上一章轴对称性的问题，感受数形结合和方程的思想.第9题对学生的能力要求层次较高，以阅读的形式点拨学生的难点，又为学生提供解决此类问题的方法和手段.

2.4 培养探究精神作业设计

例10 勾股定理是数学上的一颗璀璨的明珠，是“几何学的基石”，几乎拥有古代文化的民族和国家都对它进行了大量的研究，找到了许多验证的方法.请你搜索一些勾股定理的验证方法，以自己喜欢的方式呈现出来.

设计意图 通过搜索勾股定理的验证方法，可以让学生感受国内外数学爱好者孜孜不倦地验证勾股定理的精神，也可以寻找到的勾股定理验证方法，感受数学神秘的色彩.

总之，有效作业研究始终是教学研究的重点，通过作业有效性研究探求减负提质的教学路径，让学生的知识在练习中升华，技能在练习中掌握，能力在练习中形成，思维在练习中发展，学生的情感、意志、兴趣、习惯、方法在练习中得到培养.