巧用构造法 解答数学难题

费孝文

【摘 要】 本文通过具体例题的方式，探讨通过巧用构造法，解答高中数学难题，帮助学生提高解题能力和思维水平.

【关键词】 构造法;数学难题;高中数学

1 科学采用构造法解答方程难题

学生对方程接触得较早，从小学时期就开始学习，不过高中数学教学中的方程知识难度较大，还经常同函数、数列、不等式等知识联系在一起，成为综合性题目，对学生的解题水平要求较高，他们也容易陷入到困境之中.这时高中数学教师可以指导学生科学采用构造法解答方程类难题，找准题目中的等量关系，让他们顺利建立出等式，由此顺利解决难题.

例1  在等式m-n2-4n-xx-m=0 的基础上，求证m、n、x是等差数列.

解析 从本道题目来看，如果学生采用正常的方式来解题，将会使得题目难度进一步提升，他们需要通过大量的计算以后，才可以获得最终的结论，求证题设.其实在处理这道题目时，教师就可以让学生运用构造方程的方法法来处理，使其直接将题目中给出的结论当作已知条件使用，重新分析题目内容，使之同题干中给出的等式有机结合，将问题变得简单化，由此获得最终结论.

解 构造方程式n-xt2+m-nt+x-m=0，

且令ft=n-xt2+m-nt+x-m，

从题目中可以得出f1=0，

由此确定n-xt2+m-nt+x-m=0的实数根相等，

求得t=1，所以方程的实数根均为1，跟进韦达定理可以得到m+n=2x，这表明m、n、x为等差数列.

2 灵活应用构造法解答函数难题

学生是从初中阶段开始接触函数知识的，而高中数学教材中的函数知识无论是深度、广度，还是难度均有所提升，在整个数学知识体系中都占据着比较关键的地位，不少试题中都蕴含着一定的函数知识.在高中数学解题教学中，教师可以引领学生灵活应用构造法解答函数方面的难题，结合构造法将复杂问题变得简单化，使其解决能力与自信心均慢慢提升.

例2 已知函数fx=x3+ax2+bx+c，如果f2018=2018，f2019=2019，f2020=2020，那么f2021的值是什么？

解析 假如采用常规的待定系数法直接计算本题，不仅计算量比较大，而且还不一定正确，然而本题看起来是一个三次函数的求值问题，实际上通过仔细观察题干中提出的已知条件，特别是自变量与函数值之间的数据关系，就很容易联想到二项式定理的展开式也能够表示成关于x的三次多项式，利用赋值法代入二项式定理的左边求值的解题思路，据此构造出一个新的函数fx=x-20193+2019，一方面该函数能够依据二项式定理展开后得到fx=x3+ax2+bx+c，另一方面又满足题干中的已知信息，即为f2018=2018-20193+2019=2018，f2019=2019-20193+2019=2027，f2020=2020-20193+2019=2020，所以f2021=2021-20193+2019=2027，由此巧妙得出答案，减少计算的繁琐，降低出现错误的几率.

3 合理运用构造法解答数列难题

在高中数学课程教学中，数列是学生在高中时期才接触到的知识，以学习等差和等比数列为主，也是高考中的必考知识点.数列往往具有一定的规律性，高中数学教师在解题教学环节中，应当引导学生结合题目信息运用构造法，对递进公式展开变形，使其根据数列的定义判定出具体类型，或者将题目内容构造成等差或等比数列，让他们采用数列性质解答难题.

例3 已知数列an中，a1=5，a2=3，an=2an-1+3an-2，n≥3求该数列的通项公式.

解析 如果学生采用直接求解法，极易出现错误，教师可以提示他们运用构造法，使其对题干中提供的信息与条件展开适当的变换和构造，最终形成准确、清晰的解题思路.

解 依据an=2an-1+3an-2

得到an+an-1=an-1+an-2，

由于a1+a2=5+2=7，

an+an-1n≥2就形成首项为7，公比为3的等比数列，

则an+an-1=7×3n-2①，

又因为an-3an-1=-an-1-3an-2 ，a2-3a1=2-3×5=2-15=-13，

an-3an-1就形成一个首项为-13，公比为-1的等比数列，

an-3an-1=（-13）（-1）n-1②，

①×3+②得到4an=7×3n-1+13×-1n，an=74×3n-1+134×-1n，

经验证上式对n=1也成立，

综上所述：an=74×3n-1+134×-1n n∈N*.

4 巧妙利用构造法解答向量难题

基于数学视角来看，向量指的是同时具有方向与大小的量，能形象化地表示成带箭头的线段，箭头所指代表着向量的方向，线段长度则代表着向量的大小.在高中数学解题教学过程中，向量的运用也相当广泛，当遇到一些难度较大的题目时，教师可以指导学生认真分析题目中的信息，巧妙利用构造向量的方法解题，让他们形成更为简单且清晰的解题思路.

例4 求解函数fx=3 2-x+3 x+2的最大值.

解析 假如学生直接对该函数进行求解，需要利用导数等计算量较大的运算方法，他们在计算过程中极易出现错误、失去耐心或是在考试时浪费时间.此时教师可以提示学生利用构造法构造出平面向量，对原函数fx进行表示，再利用平面向量的相关知识和性质对该问题进行简化计算，不仅可以有效降低计算难度，还能大大减少完成题目所需要的时间，使他们在考试过程中占得先机，加快解题的速度.

解 构造平面向量a（3，3），b（2—x，x+2），运用向量的数量积公式求a和b的数量积，获得的结果刚好是待求函数f（x），再利用向量的基本性质进行比较运算，则有a·b≤ab=6 2.这样就以向量形式实现对函数最大值的求解，其中构造平面向量a，b是解决该题目的关键所在，同时也是构造法的具体体现.

5 借助构造法解答几何方面难题

在高中数学解题教学中，不仅可以运用构造法处理代数难题，同样也能够用来解决几何难题，无论是平面几何，还是解析几何、立体几何方面的难题均可应用构造法.高中数学教师带领学生进行几何方面的习题训练时，可让他们依据实际情况借助构造法的优势，且有机整合数形结合思想，使其利用直观化的图形分析几何难题，最终快速、准确的解答难题.

例5 已知三个锐角α、β和γ满足cosα2+cosβ2+cosγ2=1，求证tanα？tanβ·tanγ≥2 2.

图1

解析 學生通过对题目内容的阅读，发现这是一道有关锐角三角函数的题目，仅仅利用题干中提供的已知信息，很难直接、快速地证明出这一结论，容易影响他们的解题信心.这时教师可以指导学生采用构造法分析题目中给出的式子cosα2+cosβ2+cosγ2=1，使其根据长方体对角线的方式连接起来，就构造出以下图形，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，把∠α、∠β、∠γ看作成长方体对角线BD1与三条侧棱所形成的夹角，其中三条侧棱AB、BC与BB1的长分别是a、b、c，当且仅当a=b=c时，不等式取得最小值2 2，原问题中的结论就能够得到证明.如此，学生通过构造法的运用将抽象的数学问题变得直观化与具体化，他们可以快速找到准确的解题思路与方法，从而轻松处理难题.