怎样解答与数列有关的实际应用问题

罗超

与数列有关的实际应用问题比较常见，此类问题具有较强的综合性，重点考查分析能力以及建模能力.解答与数列有关的实际应用问题的基本思路为：

1.认真审题.提炼题目中的有用信息，把“已知信息”逐条“翻译”成“数学语言”;

2.列出各项，并明确前后项之间的规律;

3.根据等差数列、等比数列的定义构建数列模型;

4.灵活运用等差数列、等比数列的性质、通项公式、前n项和公式求得问题的答案;

5.检验所得的结果是否满足题意.

下面举例说明：

例1.随着时代的发展，出现了分期付款的新方式.某青年人利用这种付款方式在电器城购买了一件价格为1150元的家用电器.购买当天需先付款150元，以后每月的这一天都需要付款50元，并加付欠款的月利息.已知月利率为1%，分期付款的第一个月是指交付150元之后的第一个月.请问分期付款的第10个月该青年人需要交付多少钱？当付清全部的货款时，该青年人一共花费了多少钱？

解：购买时付了150元，则欠款为1000元，每月付50元，需分20次付完.

由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的金额依次构成一个数列，设每次交款的金额依次为

则分期付款的第10个月该交付的钱数为

求解本题，关键是先根据题意和等差数列的定义获知每个月付款的金额成等差数列，据此建立等差数列模型，将问题转化为求等差数列的第10项a10和S20+ 150，然后根据等差数列的通项公式和前n项和公式求得问题的答案.等差数列是一类比较特殊的数列，其特殊性体现在从第二项起每一项与前一项的差是同一个常数.若实际问题中涉及到这一类数列，且数与数之间满足等差数列的特性，那么我们就可以通过构建等差数列模型，来解决实际问题，

例2.某地投入大量资金进行生态文明环境建设，进而发展旅游业.根据规划，本年度投入800万元资金，以后每年投入的资金比上一年减少20%.本年度该地旅游業收入估计为400万元.该项建设对旅游业具有促进作用，预计今后旅游业的收入每年将会比上一年增加25%.

（1）将本年度作为第一年，设n年内该地区总投人的资金为an万元，旅游业的总收人为bn万元，写出an，bn的表达式;

（2）要使旅游业的总收入超过总投入，那么至少需要经过几年？

解答本题，要先根据题意和等比数列的定义，获知旅游业每年投入资金可构成等比数列、每年的收入也成等比数列;再根据等比数列的前n项和公式进行求解.等比数列是一类比较特殊的数列，其特殊性体现在从第二项起每一项与前一项的比是同一个非零常数.若实际问题中涉及到这一类数列，且数与数之间满足等比数列的特性，那么我们就可以通过构建等比数列模型，根据等比数列的定义、性质、公式来解决实际问题，

例4.已知某地区共有2200亩荒山.从1998年开始，该地区每年春季都会在荒山上进行植树造林，且第一年植树100亩，此后每一年植树比上一年多50亩.

（1）假设植树技术成熟，可保证全部树苗都成活，则到哪一年能够将荒山全部绿化？

（2）若植树要求树苗木材量为2立方米/亩，且树木木材量每年的自然增长率为20%，求全部绿化后的那一年年底，该山木材的总量S（单位：立方米）.（ 1.28 -4.3）

解答本题，需弄懂题意，将问题转化为数列的求和问题，利用等差数列的前n项和公式求得将荒山全部绿化的年数，采用错位相减法求得该山木材的总量.

与数列有关的实际应用问题往往会涉及到等差数列、等比数列的定义、性质通项公式、前n项和公式.在审清题意后，要学会将问题转化为常规的数列问题，合理运用数列中的知识、方法进行求解.这就要求我们增强数列知识的应用意识，学会将实际问题抽象为具体的数列问题，提高灵活运用数列知识、方法求解实际问题的能力.