由一道高考题引发的思考

吴天德

解析几何一直是历年高考重点考查的内容.解析几何中的取值范围问题在高考试题中比较常见.这类问题往往对同学们的分析能力和运算能力有较高要求.本文主要探讨了2021年全国高考乙卷数学（理）选择题的第11题的解法.

题目给出的条件较少，要解答本題，需仔细研究椭圆的性质以及关系式IPB1≤2b，根据椭圆的定义、方程、图形来寻找解题的思路.

思路一：利用函数的性质

圆锥曲线中的取值范围问题在本质上是求目标式的取值范围.在求得目标式后，我们可将问题转化为求目标式的最值，通过研究函数的解析式及其性质，便可利用函数的单调性和有界性来求得目标式的取值范围.解答本题，需先将IPB1≤2b转化为关于a、b、c的式子，然后根据不等式构造函数式，利用函数的性质来求得离心率e=-的取值范围.

该解法与解法1较为相似，主要利用了二次函数的性质.区别在于，本解法是根据|PB|≤2b恒成立这一条件，发现当P点在下顶点时，|PB|取得最大值，建立关于y0的二次函数式，利用二次函数的性质求得问题的答案.

圆锥曲线的取值范围问题，往往可通过构造函数，利用弦长公式构造不等式，引人参数来构造三角函数式，将问题转化为函数最值问题、不等式恒成立问题、三角函数最值问题来求解.因此在解答圆锥曲线的取值范围问题时，同学们要学会将所学的知识融会贯通，展开联想，从多角度进行思考，从而寻找到不同的解题思路.

本文系甘肃省教育科学“十四五”规划2021年度重点立项课题“基于核心素养下的人教A版高中数学新旧教材比较的研究——以必修1为例”阶段性成果之一，课题立项号：GS[2021]GHB2114.

（作者单位：甘肃省天水市田家炳中学）