一题多解在初中数学教学中的应用

山东省邹平市梁邹实验初级中学 张婷丽

一题多解指采用不同的解法解答同一道习题。初中数学教学开展一题多解教学活动时既要做好相关习题的筛选，又要根据例题的难易程度给学生预留一定的时间，鼓励学生思考、讨论，激活初中数学课堂教学，使学生在活泼愉悦的氛围中，找到更简便的解题方法。

一、用于比较分式大小

比较分数大小是初中数学中一类非常重要的题型。常用的解题思路有三种：第一种，将两个分数作差，比较差与0的大小；第二种，将两个分式做商，比较商与1的大小；第三种，选取一个中间的分式，以中间的分式为媒介进行比较。

A.M＜N B.M＞N C.M=N D.不确定

解法一：作差法

解法二：特殊值法

两种方法都能选择出正确答案。第一种方法为传统方法，比较容易想到，但是计算稍微复杂。第二种方法通过简单的计算便可得出正确答案，需要学生具备灵活的思维。

二、用于解答绝对值方程

解一元一次方程是学生必须掌握的一个基本知识。初中数学部分一元一次方程的习题中带有绝对值，难度较大。该类习题的解题思路并不唯一。在教学中为了更好地拓展学生的视野，使学生能具体问题具体分析，选择高效的解题方法，提高解题效率，教师应运用一题多解给学生带来解题启发。

例：解方程｜2x＋19｜=7x＋31

解法一：分类讨论

解法二：对比分析法

解法一是学生非常容易想到的解题思路，先分类讨论，而后对方程的解进行合理的取舍，相对来说计算较为复杂。解法二通过观察给出的方程，巧妙地加以切入，有效避免了分类讨论，解题效率明显提高。教师在教学中要引导学生多注重应用解法二解题。

三、用于证明几何问题

几何证明题常出现在初中数学各类测试中的大题中，占有较高的分值。该类习题的解题思路多种多样，常用到知识点有全等三角形、相似三角形等。在初中数学教学中为使学生掌握几何证明问题的相关思路，教师应结合具体的习题，鼓励学生不满足于一种解法，注重一题多解，更好地拓展学生的思维与解题能力。

例：如图1所示，等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任意一点，过点P分别作AB，AC的垂线，垂足为点D、点E，过点B作AC的垂线，垂足为点F。求证：PD＋PE=BF。

图1

证法一：三角形全等法

过点P作BF的垂线，垂足为点H（见图2）。因为BF⊥AC，PE⊥AC，则四边形HPEF为矩形，所以HF=PE。又HP∥FE，所以∠C=∠HPB，而在△ABC中AB=AC，所以∠C=∠ABC，所以∠ABC=∠HPB。又∠BDP=∠PHB=90°，BP=PB，所以△BHP≌△PDB，所以BH=PD，而BH＋HF=BF，所以PD＋PE=BF，得证。

图2

证法二：面积法

图3

证法一虽然涉及的知识点较多，但学生非常容易想到，在教学中要求学生掌握该种方法。证法二虽然较为简单，但是不容易想到，教学中应多给予学生引导，使其在以后的证明中尝试着应用。

四、用于突破抛物线难题

抛物线难题常出现在压轴题中。教师在教学中为提高学生解答该类习题的自信心，应结合具体的习题进行一题多解，为学生剖析不同解题方法的解题思路，进一步提高学生认识，使其把握解题的关键。

图4

解法一：割补法

解法二：平行线法

图5

第一种解题方法较为简单，但是不容易想到。第二种解题方法难度较大，应用的知识点较多，对学生的综合能力要求较高。教师在教学中要求学生根据自身的实际情况，掌握其中一种解题方法即可。

五、结语

初中数学教学中为提高学生的一题多解意识，更好地锻炼学生的思维与解题能力，应结合学生实际选择由易到难的习题，循序渐进，为学生展示不同习题的多种解法，拓展学生视野，使其能够结合自身的实际情况加以掌握、应用。