关于多分结构极小集的一些性质

骆道忠， 王波， 李进金，2

(1. 华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021； 2. 闽南师范大学 数学与统计学院， 福建 漳州 363000)

1 预备知识

知识空间理论 (knowledge space theory，简称KST) 是由美国数学心理学家Falmagne和比利时数学心理学家Doignon于1985年首先提出的数学心理模型[1].KST建立了一套数学理论来反映教育规律，它通过分析学生对不同水平的一系列有关问题的解答情况，来确定学生在不同知识中的认知水平，从而为教育评价提供了一种有效的科学方法，也是一种测试学生知识水平和构建学生知识结构的理论[2-4]. 经过几十年的发展，该理论已经成为了自适应教学和测试系统中最有效的知识表示理论[5]，已广泛运用于辅助学习与自适应测评领域[6-11].

在KST中， 假设某个领域的知识都能通过一些问题来反应， 将这些问题组成的集合称为问题域，KST理论的一个核心假设是个体对问题的反应只有正确与错误、同意与不同意之分.然而，实际上很多情况并非如此，个体对问题的反应有多种可能.1997年，Schrepp[12]首次尝试将KST的主要概念推广到具有两个以上回答备选方案(比如同意、部分同意和不同意)的问题集上. 2020年，Stefanutti等[13]在Schrepp的工作基础上将二分知识空间理论推广到多分情形，引入多分知识状态和多分知识结构，从而扩展了KST的理论与方法.

设Q是一个项目(问题)集，(L，≤)是一个完备格(下文若无说明，L均指完备格)，称映射K:Q→L为一个知识状态.(Q，L，K)为一个多分结构，其中K是非空的知识状态集.Q到L上的全体映射记为LQ.定义LQ上的偏序关系为

基是经典知识空间理论极其重要的概念，可张成知识空间.它蕴含了知识空间的所有信息，反应了学生能掌握的最基本的问题集族， 为刻画整个知识空间及寻找学习路径都提供了依据[2].在二分知识空间框架下，若知识空间存在基，则任何一个知识状态都可表示成原子的并.Stefanutti等[13]定义了多分结构下q处的l-原子的概念，但要求反应水平l为不可约元，即l满足：对于任意的G⊆L，supG=l，则l∈G.当l为可约元时，原子的概念就没有意义了，而且在多分知识空间下，知识状态不能表示成原子的并.于是，Stefanutti将多分知识空间加强为粒状多分知识空间，这样由基(原子)可扩张成整个多分空间，与经典二分知识空间的情况多少有些不同.在二分知识空间中，并不一定需要粒状性，只需其基存在，就可以由其基(原子)扩张成整个知识空间.

本文将原子的概念推广到极小集上，去掉了不可约元条件，从而证明了在多分结构下，任何状态都能表示成极小集元素的并.

2 基本定义及例子

3 主要结果及其证明

另外，由上面的例2可以看到全体原子张不成K，但全体集小集却可张成K.

定义4[13]设≼是项目集Q上的拟序关系，一个状态K:Q→L称为与≼相容的，如果∀p，q∈Q，p≼q⟹K(q)≤K(p).所有的与≼相容的状态构成的集合K，称为拟序多分空间.

定义5[14]设(L，≤)是一个偏序集，如果对L中的任意的降链x1≥x2≥…≥xn≥…，都存在k，使得xk=xk+1=…，则称L满足降链条件(记为DCC).对偶的降链条件，称为升链条件(记为ACC).

注4由于有限格满足DCC，因此，若L为有限格，上述推论亦成立.

注5定理2给出了由极小集构建多分知识空间的算法，详细过程同二分情形下由基构建知识空间的算法，参考文献[15].

证明： 假设K∉B，对于任意的q∈Q，记K(q)=l，则必有下列两种情况.

注6注意到上述证明的情况2，定理3的逆不成立.另外，由于极小集的定义是原子概念的推广，因此，拟序多分空间的很多关于原子的性质都能推广到极小集上，证明方法同文献[13]完全类似，如下面的定理4，但此处给出了一个简单的证明.

4 结束语

在二分知识空间中，原子的概念扮演了相当重要的角色，而在多分结构下，由于存在可约元，如何更好地、恰当地定义多分结构下的原子便成为研究的一个重要课题.将原子推广为极小集，能将多分知识状态表示成极小集元素的并，但在二分情形下，与原子相关的理论还很多.今后的工作，将进一步用极小集来研究基于多分结构下的与原子相关的理论与应用.