对矢量网络分析仪频域至时域转换过程的探究

2022-07-18申龙

电子测试 2022年11期

申龙

（中国空空导弹研究院，河南洛阳，471009）

0 引言

矢量网络分析仪是一种在微波领域内目前被广泛使用的仪器,它通过扫频原理得到测试结果，工作频段宽且使用便捷，用户可以根据需求通过改变显示格式将散射参数转换为不同的显示形式如指数、驻波比和相位等表示出来，使测试结果简洁直观便于分析。同时，通过为矢量网络分析仪加装时域测试功能选件，能够丰富其应用范围，将原本的频域分析拓展至时间域内[1]。本文主要对矢量网络分析仪频域至时域转换过程进行探究，通过对离散傅立叶逆变换原理的探究推导出两种算法并利用MATLAB软件实现仿真及验证。

1 傅立叶变换原理

法国数学家傅立叶首先提出了傅立叶分析理论，证明了将周期信号展开为正弦级数的原理，并以此为基础发展出了傅立叶级数理论，而傅立叶变换则是基于傅立叶级数原理对非周期信号进行分析[2]。

通常来说，任何时域周期函数都可以描述为一系列谐波分量的叠加。通过使用函数f(t)和F(ω)作为在所有时间和所有频率上的傅立叶变换对，可将连续傅立叶变换定义为如下公式：

而在矢量网络分析仪中，测量值的幅度和相位都记录在离散的频率轴上，由于频率轴的离散性及限于频率范围0≤f≤∞，因此不可能进行连续傅立叶变换与逆变换，因此需要使用离散傅立叶变换。假设有限长序列x(n)的长度为N（范围为0≤n≤N−1），它的离散傅立叶变换X(k)也是一个长度为N的频域序列（范围为0≤n≤N−1），则离散傅立叶变换对为：

式中n代表离散的时间增量，k与频率相似，单位为采样点数/周期。需要注意的是，离散傅立叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式且变换两端的序列都是离散周期信号的主值序列。矢量网络分析仪频域至时域的转换基于离散傅立叶逆变换原理，同时在其基础上进行了变化与修正。

2 矢量网络分析仪频域至时域转换过程

需要首先说明的是，在矢量网络分析仪频域转换至时域时使用的是经过修正的傅立叶逆变换。如图1所示的一个三极点巴特沃斯滤波器的S11参数的解析变换，即反射频率响应是通过标准网络理论计算得到的并通过傅立叶逆变换计算出时间响应，与矢量网络分析仪的时域变换功能所得到的时域响应对比，可以发现尽管在结构上有一定的相似性，但是二者明显不同。矢量网络分析仪的离散数据点采样、频域测量数据的加窗和截断等原因导致了这种结果，所以在研究频域至时域转换过程时需要考虑这些因素[3]。

图1 三极点巴特沃斯滤波器的解析冲激反射响应与矢量网络分析仪时域变换响应

根据以上分析可知为了完成矢量网络分析仪由频域至时域转换的过程的仿真，需要基于离散傅立叶变换提出新的修正算法。在这种情况下，快速傅立叶变换（FFT）与快速傅立叶逆变换（IFFT）算法被提出，它们利用离散傅立叶变换的对称性和周期性将原来的N2复数乘法运算次数减少，合理地改善了离散傅立叶变换的运算时间。但是其在使用和表达数据上却存在限制，快速傅立叶变换与其逆变换要求采样数据和变换后数据具有相同点数并分布在变换后的时间范围内。

由于矢量网络分析仪时域分析的特殊性及灵活性，需要对任意时间步长的情况进行分析，因此引入线性调频Z（Chirp-Z，CZT）变换算法。它基于FFT算法并且改善了时域转换上的局限性，能够在Z平面上完成特定时间区间螺旋线上的均匀采样，具体算法定义如以下公式所示：

其中A0和θ0代表起始位置的半径和相角，W0与Φ0确定了螺旋线的伸展率和相邻相角间隔。其采样原理如图2所示。

图2 线性调频Z变换采样原理图

通过以上公式及采样原理，可以得到Z平面上单位圆内任意频段内等间隔的抽样点[4]，实现特定时间区间CZT变换算法。同时，根据傅立叶变换的基本原理，即对共轭后的频域数据做CZT变换后得到的数据再做共轭可以推导出线性调频逆Z变换(ICZT)如公式（7）所示：

因此，通过使用ICZT算法，可以实现由已知的频域响应数据得到任意时间段内的时域响应数据。

3 仿真与分析

根据前面的分析可知，矢量网络分析仪频域至时域转换过程理论上可以使用IFFT和ICZT这两种算法来进行仿真，本文基于矢量网络分析仪的实际测试数据，搭配使用美国MathWorks公司的数学软件MATLAB分别对两种算法进行仿真运算及分析验证。

3.1 IFFT算法

使用型号为N5245B的矢量网络分析仪对一段电缆进行测试，频率范围为3GHz～6GHz,点数为201个，通过测试得到一组包含实部、虚部的S21参数的复数形式，利用MATLAB软件使用傅立叶逆变换的方式将这组频域数据进行变换到时域。

MATLAB软件中内置有FFT和IFFT函数，可以对测试数据进行快速傅立叶变换及逆变换，但是在实际使用中，IFFT函数只对于经由FFT函数转换后的数据具有较好的适配性，即对一组已知的时域数据使用FFT函数后得到的结果再使用IFFT函数能够重新得到正确的时域数据，而对于已知的一组频域数据而言，直接使用IFFT函数所得到的结果与实际结果误差较大。

图3 构造后的共轭对称实部及虚部值

由图4可见，IFFT转换后所得到的时域数据其实部值在一时间点处有明显的冲击响应，根据传输线长度计算公式

图4 IFFT转换后的时域响应幅度值

其中l为传输线长度，k为传输线的相对传输速度，c为光速，t为传输线中的传输时间。

可以推测出被测电缆的实际长度，从而验证此算法的正确性。在时域响应信号附近的震荡是由于逆变换之前的频域数据的截断误差所造成的振铃效应。

但是，通过时域响应dB值计算公式

可以得到图5显示的图像，其所包含的大部分数据属于无用信息，并且分辨率极低，与矢量网络分析仪的测试结果差别极大，无法应用于之后的数据分析工作。

图5 IFFT转换后的时域响应值（dB）

3.2 ICZT算法

使用型号为N5245B的矢量网络分析仪对一段电缆进行测试，频率范围为3GHz～6GHz,点数为201，通过测试得到一组包含实部、虚部的S21参数的复数形式，利用MATLAB软件使用ICZT的方式将这组频域数据进行变换到时域。事先通过观察矢量网络分析仪时域的实际测试数据可知，时域的冲激响应发生在1ns～3.95ns之间，因此，再做ICZT时，选择起始时间为1ns～3.95ns。

图6 网络分析仪测得的时域响应

由图7可以看出，原始的频域数据点数为201个点，而通过ICZT转换后的图像仍然保持了201个点数不变（ICZT甚至允许输入输出点数不同）。在实际时域数据结果中1ns～3.95ns区间包含60个点，对整个数据做一个interp1插值运算，将其扩充至201个点，之后与ICZT的结果做对比，如图8所示，时域响应信号主瓣基本吻合，旁瓣峰值也吻合。以上仿真结果可以证明ICZT算法得到的时域数据与矢量网络分析仪得到的实测数据的对比结果满足误差要求，可以用于之后的数据分析工作。

图7 使用ICZT算法仿真得到的时域响应

图8 仿真结果与实际结果对比

综上所述，对采集的频域响应信号直接使用IFFT算法后，所得到的时域响应包含的信息太过冗杂，且由于数据点数被平均分配至时域区间内图像分辨率很低，导致仿真结果利用价值低，无法进行后续数据分析。而使用ICZT算法的方式能够得到清晰、准确的时域图像，完整实现了矢量网络分析仪频域至时域转换过程，可以作为研究及分析时所使用的主要算法。