不同角度探究均匀带电圆环环面内的电场强度分布

张国泉　王峰　王道平　房颐

摘   要：在高中学习电磁学知识过程中，学生常常会将“均匀带电球壳内部电场强度处处为零”这个结论错误地迁移应用于均匀带电圆环，认为“均匀带电圆环环面内任意一点的场强也为零”。虽然利用均匀带电圆环电荷分布的对称性可以分析得出“圆环圆心处场强为零”的结论，但环内其他点的场强并不为零。针对这个常见的认识误区，采用三种方法，从不同角度分析了均匀带电圆环环面内的场强特点，帮助学生正确认识该知识点。先巧妙运用等效法逆向证明“圆环上电荷均匀分布时，环面内不可能处处场强为零”;然后对比分析了利用微元法计算均匀带电球壳和均匀带电圆环内部电场强度分布时所取微元的差异，解释了不能将均匀带电球壳场强分布结论迁移应用到均匀带电圆环的原因;最后利用数学Desmos软件进行定量计算，给出了均匀带电圆环直径上的电场强度分布。

关键词： 均匀带电圆环;电场强度;等效法;微元法;Desmos 软件

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）6-0069-4

人民教育出版社出版的普通高中《物理》必修第三册第九章第三节“静电场及其应用”提到“一个半径为R的均匀带电球壳（球体）在球外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同”[1]，但教材并未给出球壳内场强的分布情况。郭今戈讨论认为“均匀带电球壳内部任意一点的电场强度均为零”[2]。近年来，基于这个结论命制的高考物理试题时常出现，如2014年山东卷第19题，2021年江苏卷第10题等。笔者在实际教学過程中发现，部分学生经常错误地将这个结论直接迁移到均匀带电圆环，认为“电荷均匀分布的细圆环，环内任意一点的场强也处处为零”。文献[2]只讨论了均匀带电圆环在垂直环面且过中心的轴线上的电场强度分布特征，而没有讨论环面内任意点的场强。利用电荷分布的对称性，可以分析得出圆环圆心处的场强为零，但环面内其他点的场强实际并不为零。针对学生这个认识误区，笔者分别采用等效法、微元法和Desmos 软件定量计算三种方法，抽丝剥茧，由定性分析到定量计算，从不同角度分析讨论了均匀带电圆环在环平面内的电场分布特点，帮助学生突破该认识误区。

1    妙用等效，逆向证明

笔者先从学生的错误认知出发，引导学生进行如下思考：均匀带电球壳内部场强处处为零，所以球壳内任一直径上各点的场强自然也为零。若要使得均匀带电圆环内任一直径上的场强也处处为零，那么带电圆环的电荷分布与均匀带电球壳的电荷分布是否存在某种等效关系呢？从球壳与圆环的几何对称性特点出发，引导学生作如下操作：用与直径AB垂直的平面分割均匀带电球壳，可以得到无数细圆环带（图1）。由于圆环带上的电荷相对于直径AB对称分布，所以可以得出结论“每个均匀带电圆环带在过环心且垂直环面的轴线AB上的任意一点M的电场强度方向一定沿轴线AB”。对于半径与球壳相同的圆环来说，如果环上电荷分布关于直径AB是对称的，那么关于直径AB对称的两个带电弧线微元P和P在M处产生的电场场强矢量和一定也沿AB方向（图2）。另一方面，若使得图2中的弧线微元P和P所带电量相等，均为图1中对应圆环带所带电量的一半[图1中细圆环带的宽度Δl对应图2中弧线微元的长度Δl，圆环带宽度与弧线微元P（P）对应的θ角相等]，则圆环面内直径AB上的场强与带电球壳直径AB上的场强分布特点是等效的，即处处为零。

这表明只有当圆环上的电荷分布满足（3）式时，才能使得直径AB上的场强处处为零。需要指出的是，（3）式表示的电荷分布满足的是轴对称分布，而不是圆对称分布。当直径AB在环面内绕圆心旋转任意角度成为新的直径A'B'，圆环上的电荷分布也需随之改变。只有当圆环上的电荷分布对新的直径A'B' 满足（3）式的轴对称分布时，方可使得新的直径A'B'上电场场强处处为零。反推之，如果圆环上的电荷均匀分布[也就是不满足（3）式]，环面内直径AB上的场强并不处处为零，那环面内任意点的场强更不可能处处为零了。

2    追根溯源，甄别细节

3    借助软件，定量分析

4    教学反思

《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》指出：物理学科核心素养主要包括“物理观念”“科学思维”“科学探究”和“科学态度与责任”四个方面。正确的物理观念形成途径之一就是具备问题意识，善于发现问题，能够基于事实证据对不同观点和结论提出质疑和批判，从不同角度思考问题，进行科学探究和思维加工，然后在此基础上检验修正，甚至创造性地提出见解。在问题的解决过程中实现各种思维方法的内化，提升使用科学证据进行推理论证的意识和能力，渗透科学态度与责任的培养。

作为一名物理教师，在日常教学过程中，对学生的一些错误认识不能简单否定之，而应该善于运用等效、类比、微元等思维方法引导学有余力的学生进行探讨分析，同时引导学生在分析问题时注意甄别不同方法的细节差异。对于需要通过复杂数学计算加以解释的问题，可以借助如Desmos、GeoGebra等数学软件给出定量结果，并将结果以图像形式呈现，帮助学生更加直观地认清问题。当学生经历了分析问题的全过程，不但能突破错误认识，加深对问题的正确理解，还有利于学生熟练运用和掌握各种思维方法，培养学生关注细节、主动从多角度思考问题的良好思维习惯，全面提升学生的物理核心素养。

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第三册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]郭今戈.均匀带电球壳、球体、圆环的电场强度探究[J].物理教学探讨，2016，34（2）：57-59.

[3]范小辉.新编高中物理奥赛指导[M].南京：南京师范大学出版社，2017.

[4]欧阳荣华，欧阳子琪.用Desmos直观展示均匀带电圆环中轴线上电场与电势分布规律[J].中学物理教学参考，2020，49（7）：47-50.

（栏目编辑    邱晓燕）