内齿插齿刀的选算方法

周梅斌

泰尔重工集团股份有限公司 安徽马鞍山 243000

1 序言

鼓形齿产品的内外齿配合大多采用齿部大径定心，对内齿轮的齿根圆直径和棒间距都有严格的公差要求。多年来，很多客户的产品都是非标齿轮，齿形参数存在大量的非标设计。为加工这些非标齿轮，公司订购了大量的非标插齿刀，在日常加工中采用哪种插齿刀完成限定的任务就成为一个难题。

以前，制齿人员一般根据经验，采用首件试切法选刀，就是全齿高留余量，试切一刀后，测量内齿棒间距，如发现刀具不合适，再更换其他刀具试切。经常出现试切后，内齿根圆直径还没有到图样尺寸，而棒间距就已过大的问题，有时在试加工后，才发现刀具产生顶切。工人选刀费时费力，干活提心吊胆，稍不注意就会导致工件报废，而且有时即将加工才发现没有合适的刀具，而非标插齿刀订购周期又较长，造成交货延期。为同时满足齿根圆直径和棒间距要求，以及避免产生顶切，公司亟需解决插齿刀的选算问题。

2 分析计算

2.1 内齿轮分析计算

内齿轮图样都会给出这些数值：齿数z、模数m、压力角α、齿顶圆直径da、齿根圆直径最大值dfmax和最小值dfmin、量棒直径dp，以及量棒间距最大值Mmax和最小值Mmin，图样有时也会给定名义变位系数x、齿顶高系数ha*和齿根高系数hf*[1]。

偶数齿量柱（球中心）测量距M的计算公式为

若已知M值，则由式（1）可得量柱（球中心）所在圆的压力角为

奇数齿量柱（球中心）测量距M的计算公式为

若已知M值，则由式（3）可得量柱（球中心）所在圆的压力角为

量柱（球中心）所在圆的压力角αM的计算公式为

若αM已知，则可得变位系数x的计算公式为

如果齿数z为偶数、棒间距2为最大值Mmax，将M=Mmax代入式（1），即可求出量柱（球中心）所在圆的压力角最大值αMmax，再将αM＝αMmax代入柱量（球中心）所在圆的压力角计算公式，即可求出变位系数最大值xmax。同理，只要给定齿数z、棒间距最大值Mmax和最小值Mmin，由以上内齿轮计算公式，就可计算出变位系数最大值xmax和最小值xmin。最理想的内齿轮是棒间距和齿根圆直径都在中间公差值，非标插齿刀也是按这个要求进行设计。即：M中＝（Mmax+Mmin）/2，df中=（dfmax+dfmin）/2，x中＝（xmax+xmin）/2 ；内齿轮理想状态的齿根高系数应为：hf*中=（df中－mz－2x中m）/2。

2.2 插齿刀分析计算

根据渐开线齿轮啮合原理，相同模数、压力角的变位齿轮可以和不同变位系数、齿数的齿轮正确啮合。插齿刀的形状如齿轮（见图1），由前角γ和后角αe形成切削刃，用展成原理来插制齿轮。插齿时插齿刀有往复切削运动，插齿刀和齿轮有配合的啮合转动，此运动包络形成渐开线齿廓，同时此运动也是圆周进给和分度运动，从而把齿轮的全部轮齿切出。由于插齿刀的顶刃和侧刃都有后角，自前向后尺寸逐渐缩小，在不同端剖面齿形，相当于不同变位系数齿轮的齿形，在变位系数为零的0—0剖面称为原始截面。插齿刀每次刃磨后，齿顶圆直径da和变位系数x0都会相应减小，在跨测齿数k不变的情况下，公法线长度W0也会相应减小，而模数m、压力角α、齿数z0和齿顶高系数ho*是不变的。

图1 插齿刀示意

直齿插齿刀在工作截面上的齿顶圆直径da0和公法线长度W0，其计算公式分别为

对于现有的插齿刀，已知m、α和z0，只要能确定在工作截面上的公法线长度W0和齿顶圆直径da0，就可以计算出x0和ho*，其计算公式分别为

2.3 插内齿分析计算

当插齿刀加工内齿时(见图2)，相当于一对内啮合齿轮，根据以下内啮合计算公式，如果给定内齿轮齿数z2、插齿刀齿数z0，以及内齿轮变位系数x2、插齿刀变位系数x0，就可计算出啮合角α'，知道啮合角α'就能计算出中心距A，也就能确定内齿轮齿根圆直径df2，其值为:df2=2A+da0[2]。

内啮合总变位数x∑的计算公式为

由式（11）可得啮合角α'的计算公式为

中心距A的计算公式为

图2 插齿刀加工内齿示意

如图2所示，当插齿刀齿顶离开中心线的距离b大于内齿轮齿顶离开中心线的距离a，即b>a时，插齿刀齿顶在进刀时会把齿轮齿顶角切去，这种切入顶切现象，一般在内齿轮齿数和插齿刀齿数差（z2－z0）较小时发生。根据金属切削刀具设计手册，要想插齿刀不发生切入顶切，则必须保证φ'a0≥φa0[3，4]。

用以下公式计算出φ'a0和φa0的值，当φ'a0<φa0时，发生切入顶切。

先根据式（14）计算φ'a0＋λ0

式中，i＝z0/z2；ŋ＝ra2/ra0；ra2为内齿圈齿顶圆半径（mm）；ra0为插齿刀齿顶圆半径（mm）。

再根据式（15）计算λ0

式中，φ＝（W2/m z2）＋invα－invαa2；W2＝m[（π/2）＋2x2＋tanα]；αa2为内齿圈齿顶圆处压力角（°）；W2为内齿圈分度圆齿槽宽（mm）。

最后根据式（16）计算φa0

式中，s0为插齿刀分度圆齿厚（mm）；αa0为插齿刀齿顶圆处压力角（°）。

通过以上分析计算，只要内齿轮给定齿数z2、模数m、压力角α、齿顶圆直径da2、量棒直径dp和棒间距最大值Mmax和最小值Mmin，以及插齿刀的齿数z0、变位系数x0、齿顶圆直径da0，在保证棒间距公差的情况下，就可以计算出加工齿轮的齿根圆直径的最大值和最小值。再与图样给定的齿根圆直径最大值dfmax和最小值dfmin进行比较，就可以知道插齿刀是否合适，同时还可以通过计算判断是否发生顶切。

3 解决方案

在Excel表中建立齿轮刀具动态清单表格，输入必要的刀具参数：模数m、压力角α、齿数z0、齿顶圆直径da0、跨测齿数k、公法线长度W0，能自动带出变位系数x0和齿顶高系数ho*。对现有能用的齿轮刀具大径和公法线进行测绘，将数值录入到刀具清单，并对每一把刀具进行激光打码标记，再贴上条形码（见图3），以便刀具管理。

根据上述计算公式编制插齿刀选算软件，按插齿刀选算软件和插齿刀清单选择计算插齿刀。

图3 插齿刀贴上条形码

按要求输入内齿轮齿形参数，软件会计算出内齿轮的齿根高系数，在刀具清单中利用漏斗过滤，快速查找刀具齿顶高系数和工件齿根高系数接近的插齿刀，输入该刀具的齿数、变位系数和大径，即可计算出齿根圆直径。选刀过程如图4所示，内齿插齿刀选刀软件界面如图5所示，根据示例数值过滤后的插齿刀清单如图6所示。

计算的结果有两种：一种是齿根圆直径符合图样，刀具合适；另一种是齿根圆直径不符合图样，用逼近法选用其他刀具再计算。

反复重新计算的结果又有三种：第一种是齿根圆直径符合图样公差要求，刀具合适；第二种是齿根圆直径比图样大，可选用，但需要偏齿加工，即齿根圆加工到位后，插齿刀不再径向进给，只圆周进给，每个刀齿只是单刃切削，选最接近的插齿刀，就可以减小偏齿量，从而节约加工时间；第三种是齿根圆直径比图样小，无刀具可以加工，需要订购刀具。

图4 选刀过程

图5 内齿插齿刀选刀软件界面

图6 过滤后的插齿刀清单

理论上，插齿刀无论是新刀还是刃磨过的旧刀，都可以加工任意齿数和任意变位系数的齿轮。但对内齿根圆直径有严格要求的就不可行，有时定制的插齿刀还未到报废，就已不能满足要求，插齿刀必须定期测量，动态维护刀具清单。

4 结束语

经实践验证，采用此方法计算、选择插齿刀，简单、方便又快捷，不仅同时满足了齿根圆直径和棒间距的要求，而且可避免产生顶切现象，保证了产品质量。这种方法也能提前订购刀具，确保了交货期。如需要偏齿加工，可以优选刀具，节约加工成本，创造很好的经济效益。