核心素养指向的数学教学过程设计①

喻 平 徐时芳

(1.南京师范大学数学科学学院 210023；2.黔南民族师范学院数学统计学院 558000)

王策三先生认为：教学过程的理论所要回答和解决的问题主要有两个：一是关于过程的性质问题，包括教学过程与其他自然、社会诸过程的联系和区别问题等；一是关于过程的结构、环节、阶段、程序等即模式问题[1].与王先生在学理层面讨论教学过程不完全相同，我们这里把教学过程圈定在课堂教学范围，即基于某种教育理念设定教学目标，为实现这个教学目标而设计的教学程序和策略.显然，这涉及对教学本质的认识问题，也涉及与教学模式相关的问题.

在提倡发展学生核心素养的大背景下，教学目标发生了变化，学习理论基础也在嬗变[2]，那么，对数学教学过程应当如何认识和如何设计，这是需要认真思考的问题.在“教学过程是师生交往的动态过程、教学过程是教师指导下学生的特殊认识过程、教学过程是一个促进学生身心发展的过程、教学过程是教书育人紧密结合的过程”[3]这些对教学本质的宏观理解前提下，本文结合数学学科特点，按照发展学生核心素养的目标讨论数学课堂教学过程设计.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》在教学建议中的基本要点是：教学目标制定要突出数学学科核心素养；情境创设要有利于发展数学学科核心素养；整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展；既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习；重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合[4].这是一种“新教学”的要求，它不同于知识为本的教学理念.知识建构立意的教学设计、问题探究方式的教学设计、深度学习倾向的教学设计是实现“新教学”目标的有效途径.下面分别论述.

1 知识建构立意的教学过程设计

知识建构立意的教学，是指教学过程始终要考虑学生对知识建构因素的教学形式.这种教学过程设计的理论基础是建构主义.

知识立意的教学过程主要有两种样态，一是在新知识学习中体现知识建构；二是在问题解决过程中体现知识建构.

1.1 新知识学习中的知识建构教学设计

在新知识学习的教学中，其知识建构立意的教学设计，是指要把知识学习设计为一种由学生通过对知识的自我建构或共同体建构来获得知识的过程.

教师把概念直接告诉学生，给他们解释概念的内涵、外延，直到他们弄懂，这叫做知识的传授；教师给学生提供一个包含某个概念的情境，或者给学生关于这个概念的一组特例，由学生从这个情境中抽象或从这些例子中概括出概念，这叫做知识的自我建构；教师给学生的学习小组提供一个包含某个概念的情境，或者给学生关于这个概念的一组特例，由学习小组共同讨论，相互补充意见，从而在情境或特例中抽象出概念，这叫做知识的共同建构.当然，可以在情境或特例的基础上，先由个人独立思考，各人将自己思考的结果放到共同体中讨论，修正和完善个人观点，形成共同的意见，这个过程是个人建构与共同建构的结合.

简单地说，新知识学习中知识建构就是学生依据自己的经验和思维，采用由特殊到一般或特殊到特殊的认识事物方式，自己认识知识、理解知识、建构知识的过程.将这个过程写成一个流程图(如图1)，就是新知识学习中知识建构的教学程序.

图1 新知识学习中知识建构教学过程

在新知识学习的知识建构教学过程中，由于教学目标不是只让学生理解和掌握呈现结果状态的知识，而是将知识生成的过程融入教学环节，要求学生用数学的眼光看待情境，用数学思维分析情境中的数学问题，使学生经历知识产生和发展的抽象思维过程，采用归纳、类比的合理推理方式提出假设并用演绎推理去证伪或证实假设.因此，这个教学过程直接指向发展学生的数学抽象和逻辑推理，是培养学生数学核心素养的一种教学模型.

1.2 问题解决中的知识建构教学设计

一堂课可以分为两个阶段，第一阶段是学习知识，第二阶段是解决问题，两个阶段其实都与知识建构相关.

问题解决有不同层次之分，简单的问题解决主要是一种模仿，可以直接用所学的知识来解决.解决这类问题的行为主要是模仿或知识的简单迁移，其作用是通过解决简单问题逐步加深对新知识的理解和巩固，但这个过程不能叫作知识建构.如果解答一个问题需要用到多种知识、多个规则，或者这个问题是结构不良问题(比如开放性问题)，那么解答过程就与建构知识有关.

问题解决活动可以使学习者更主动、更广泛、更深入地激活自己的原有经验，理解分析当前的问题情境，通过积极的分析、推理活动生成新理解、新假设.而这些观念的合理性和有效性又在问题解决活动中自然地得以检验，其结果可能是对原有知识经验的丰富、充实，也可能是对原有知识经验的调整、重构.因此，在问题解决活动中，新旧经验间的相互作用得以更充分、更有序地进行，这使得学习活动真正切入到学习者的经验世界中，而不只是按照教学设计者预先确定的框架和路线来生成联系.问题解决为新、旧经验的同化和顺应提供了理想的平台.通过问题解决来学习，基于问题解决来建构知识，这是各种探索性学习活动的重要特征[5].

问题解决中的知识建构主要体现在两个方面.

其一，在解决问题中获得新方法.在解决一个复杂问题或结构不良问题的过程中，解题者需要充分利用自己的知识贮存，激活与当前问题相关的信息，将可能用于解决当前问题有关的知识进行梳理、筛选、提取、组合，可能形成与以往经验不同的路径，由此产生出新的解决问题的方法和策略.对于解题者而言，这些新的方法与策略就是一种新知识，是解题者自己建构的新知识.

其二，在提出问题中获得新结论.对问题解决应当作宽泛地理解，它不只是指解决一个现成的问题，也包括解决这个问题之后的反思并由反思生成新的问题.解题后的反思包括几种情形：(1)考虑问题的逆命题.把原来的问题看成是原命题，如果把它的因果关系颠倒过来，把原来的因变成果，原来的果变成因，那么会得到什么结论.(2)对问题的推广.把一个特殊情形的问题推广到一般情形，得到更有意义的普遍性结论.(3)将问题作变式.适当改变问题的条件或情境，去猜想或推导一个新的结果.显然，无论哪一种情况，解题者都可能得到一些新的结论，于是就形成一种自我建构的新知识.应当强调的是，通过解题反思并用了上述的手段，解题者并没有发现什么有意义的结果，这是无关紧要的，因为，他经历了知识建构的过程，过程有时比结果更重要.

问题解决中的知识建构教学过程设计如图2.

图2 问题解决中的知识建构教学过程设计

由于问题有各种不同的类型，因此，问题解决的知识建构过程设计可能涉及6个数学核心素养.数形结合的问题与直观想象相关、寻找新算法的问题与数学运算相关、数据问题与数据分析相关、模型问题与数学建模相关.但是，这种教学过程设计的主要指向还是数学抽象和逻辑推理，因为推广与变式本身就是数学抽象过程，其间又与合情推理和演绎推理如影随形.

2 问题探究方式的教学过程设计

问题探究方式教学，是指围绕问题进行探究学习的教学形式.这种教学设计的理论基础是布鲁纳的发现学习理论与萨奇曼探究学习理论.

数学探究学习包括哪些类型，需要作一个分类.就“探究”而言，包括：(1)解决问题或验证问题的探究.这类探究指问题已经明确，去验证一个结论的正确性，或者探究解决问题的方法和路径.这里所说的问题，是有一定难度或者解决这个问题有多种方法的问题，不包括可以直接使用规则、程序去解答的问题.(2)提出问题的探究.这类探究所强调的是通过探究，能够提出新的概念、问题、结论、方法.

把解决问题或验证问题的探究学习称为第Ⅰ类探究学习，提出并解决问题的探究学习称为第Ⅱ类探究学习.两类不同探究学习的差异见表1.

表1 探究学习的类型与功能

两类探究学习有不完全相同的思维方式.在第Ⅰ类探究学习中，问题的条件是明确的，问题的目标也是明确的，探究主要针对寻找解决问题的思路和策略，找到从条件到目标的一条或多条通路，与我们通常的解题意义相同，主要是演绎推理过程.第Ⅱ类探究学习的问题目标可能明确也可能不明确，关键是条件不充分，这就需要学习者通过对情境的理解和感悟，通过自己的猜想来确定问题研究的目标，因而在探究过程中需要发散性思维或直觉思维，同时伴随着一系列证伪的活动.另一方面，问题的条件不充分，需要解题者通过补充或删减问题的条件，使条件变成充分条件，这个过程既需要解题者具备扎实的知识储备，又需要解题者有良好的知识迁移能力，直觉思维与逻辑思维并重.

2.1 第Ⅰ类探究学习的教学过程设计

根据第Ⅰ类探究学习的涵义，将教学过程表述为图3.

图3 第Ⅰ类探究学习教学过程设计

(1)教师提出一个问题，问题的条件和目标都是清楚的，学生的任务是探究一条从条件到目标的通路，本质是验证由这个条件可以推导出已知的结论.(2)教师引导学生探究适当的方法去解决问题，探究的目标是寻找方法.(3)探究结束后，教师组织学生汇报探究成果，相互交流，相互评判，最后由教师对这些成果进行评价.

一般说来，开始提供的多是目标清楚、条件充分的问题，学生的任务主要是寻求恰当的方法去验证结论.然后提供条件清楚，目标不明确的问题，让学生自由探索，可以先猜想后论证，也可以直接进行推理推出结论.同时注意对学生的探究结果作出恰当的评价.

2.2 第Ⅱ类探究学习的教学过程设计

根据第Ⅱ类探究学习的涵义，将教学过程表述为图4.

图4 第Ⅱ类探究学习教学过程设计

教师提供一个条件不充分(指或者条件不足，或者条件冗余，或者条件不准确)、目标清楚的问题，或者提供一个条件不充分、目标不清楚的问题(指可能完全没有目标，或者目标是模糊的，或者是只有大的目标而没有具体目标).

由学生自己进行探究.对于目标清楚、条件不充分的问题，学生需要补充、修正、完善问题的条件，然后选择适当的方法解决问题；对于目标不清楚、条件不充分的问题，学生首先要通过分析、辨认，概括出目标，然后根据目标寻找条件，选择可能与目标相匹配的条件，最后选择恰当的方法解决问题.在这个过程中，教师可以根据学生探究的情况作适当的提示.

在第Ⅱ类探究性学习教学过程中，要注意两个问题.

(1)提供的问题要具有探究性.教师提供的问题要有探究性，首先，探究的思路不是唯一的，可能存在多种途径.如果探究路径只有一条，那就是体现的特殊技能与技巧，缺少探究的性质.所谓“探”本意就是多方位、多角度地寻找，而不是只有一条路可走.其次，探究的结果可能不是唯一的，当探究得到一个结果后，还可以回过头来继续探究得到另外的结果.因此，问题设计质量的高低直接影响到探究性学习的质量.

(2)证实与证伪的有机结合.数学教学应当是一种由知识的不确定性到知识确定性的渐进过程.知识的不确定性阶段是提出问题的过程，此时，证伪扮演着重要角色；知识的确定性阶段，证实是主要手段，知识依托于逻辑去建立它的科学性，这个环节是必不可少的.探究性教学兼有证实和证伪二重性，是一种以证实为主、证伪为辅的结构系统.证实是培养学生逻辑思维能力的有效手段，具有证伪的不可替代性；但是反过来，证伪能训练学生反思意识和批判性思维，这又是证实力所不能及的.证实与证伪两者的融通才能充分发挥教育的功能.因此，教师要从传统的教学观向现代教学观转移，把课堂教学从证实充斥全部过程的束缚中解脱出来，整合证实与证伪，正确处理两者的关系.

根据探究问题的不同类型，探究学习教学可以覆盖6个数学核心素养，更主要的取向是逻辑推理和数学抽象.

3 深度学习倾向的教学过程设计

深度学习倾向的教学，是指教学过程指向深度学习的教学形式.这种教学设计的理论基础是深度学习理论.

深度学习有四个关键词：(1)深度理解.学习者对知识本质的理解，对事物或知识意义的理解及对自我生命意义的理解；(2)高阶思维.学习者在知识建构、问题解决的过程中，要有多种思维形式介入以及元认知的参与；(3)知识迁移.学习者能将在一个学科中习得的知识或方法迁移到另一学科情境或现实情境中去解决问题；(4)实践创新.学生具有一定的批判性思维意识与创新能力.

下面讨论深度学习倾向的教学过程设计，主要围绕深度理解、高阶思维、知识迁移这三个概念来展开，将实践创新维度融入到高阶思维与知识迁移中去.需要指出，下面讨论的三种教学过程设计，它们并不一定是各自独立的，也就是说，它们既可以分别作为三种课型作独立设计，也可以在一堂课或一个单元的课程中相互穿插，形成复合式的教学模型.

3.1 指向深度理解的教学过程设计

简单地说，深度理解即对事物的理解达到了一定的深度.斯根普的“关系性理解”水平，SOLO的“关联结构水平”“拓展抽象水平”即为深度理解.从心理学的角度解释，就是建立了陈述性知识的图式，形成了程序性知识的双向产生式系统，构建了过程性知识的关系表征和观念表征[6].

指向深度理解的教学，就是把教学目标定位于促进学生对知识的深度理解，应围绕发展学生逻辑推理、直观想象的教学目标来设计.

(1)不仅知道“是什么”而且知道“为什么”

学习者只知道“是什么”，就是停留于工具性理解层面，如果他还知道“为什么”，就进入了关系性理解层面.直白地说，教学中教师不能只告诉学生“算法”还要分析“算理”.为什么有的学生只能模仿老师去解题，习惯于记忆一些固定的套路、固有的模式，面对不同于样例的问题就无从下手，不能举一反三，其原因就是只知其法、不知其理.事实上，这样的教学只是要求学生对知识的浅层理解而非深层理解.

在以深度理解为目标的教学设计中，教师应当把讲道理作为一个必要的教学环节.苏霍姆林斯基举了一个例子，可以说明这个问题.“我面前有关于‘光合作用’这一课的教材.应当给学生讲清楚，植物的绿色叶片里发生了什么变化.可以做到把这一切讲得在科学上有根有据，在理论上和教学法上头头是道，但这完不成使学生达到一定的智力积极性的任务.我对教材琢磨了一番，有因果关系的关键在哪里？有了，最关键的就是变无机物为有机物.这是一幅奇异而神秘的图景：植物从土壤和空气里吸收无机物，在自己的复杂机体中又把它们变成有机物.”[7]也就是说，要告诉学生这个东西是什么，这是容易做到的，但并不是教育的主要目标，关键是要告诉学生为什么是这样的，这样才可能达到对知识的深度理解.

(2)帮助学生形成知识体系

对知识的理解，不能只是停留在对这个知识本身的理解上，还应当对这个知识所在的知识体系有全方位的认识.例如，要理解一个概念，如果只是对它的内涵和外延的认识比较清楚，还不能说你就完全理解了这个概念.孤立地看待一个概念是没有太大意义的，因为概念之间总是可能存在某种关系，它只有存在于体系中方能体现出价值.换句话说，理解概念必须在概念体系中来理解.事实上，SOLO评价体系中的关联结构水平和拓展抽象水平，强调的就是知识之间的连通性.

例如，定义平行四边形要用到四边形和平行线概念，定义长方形要用到平行四边形概念，定义正方形要用到长方形或平行四边形概念，定义梯形要用到四边形和平行线概念，但要理解梯形概念又必须辨析它与平行四边形的异同.因此，要理解四边形、平行四边形、长方形、正方形、梯形，就必须在头脑中建立一个以“平行”“相等”和“垂直”概念为基础的网络，形成一个“要理解你必须理解我、要理解我必须理解你”的逻辑理路.

(3)加强知识的应用

知识的应用阶段需要研究的一些问题.其一，关于知识应用的数量如何把握.数学学科每天都有大量的作业，教师要思考的问题是，知识的基本应用、综合应用、迁移应用各阶段到底需要多大的练习量，当然这既与学习内容有关也与学生的能力水平相关.其二，关于知识应用的质量如何把握.选择怎样的练习能起到事半功倍之效？这涉及研究题目的质量，研究题目对于培养学生学科关键能力的作用.其三，知识的应用如何做到循序渐进.数学核心素养划分为三级水平，要研究如何设计知识应用的问题，使其能够由低水平向高水平过渡自然、进阶井然有序.

(4)理解学科思想方法

只要有知识，就有潜藏于知识深层的思想方法，两者相互融合、共同流淌.对知识的深度理解，就是要教师揭开这层面纱，转隐性知识为显性知识，引导学生去领略学科思想方法的美丽容颜.基于数学知识的科学性和文化性双重成分，在设计对知识深度理解的教学过程中，要考虑知识教学与文化教学的有机结合，要充分揭示知识中蕴含的文化元素，让学生能够领略数学思想方法.知识可能被遗忘，思想方法却是长存的；知识是个性化的，思想方法却是通性化的；知识是树木，思想方法是森林.因此，缺乏对思想感悟和方法领会的知识理解，是一种残缺的知识理解.

3.2 指向高阶思维的教学过程设计

从思维角度看，高阶思维主要包括几个要素：逻辑思维、探索思维、批判思维、创新思维.指向高阶思维的教学过程设计，要思考如何将这些基本的高阶思维要素融入到课程教学之中，实现培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的数学核心素养目标.

(1)在知识讲解中建构逻辑推理链

逻辑推理链的建构，可以采用不断追因的方法，也可结合不断索果的方法，目标是构建一个完整的因果关系链.对于一个新学习的知识，可以引导学生向前追究原因，探求这个知识形成的缘由；也可以向后索果，追问这个知识会产生一些什么结果.其实，就是厘清知识的来龙去脉，知识从何而来，知识向何而去，认识知识的这两个动态过程，甚至与理解这个知识是什么有同等重要的意义，因为，“过程”在高阶思维训练中具有更独特的作用，它可为学生的思维、想象提供一种足够大的空间.

要强调的是，高阶思维不能脱离低阶思维而独立存在.涓涓小溪汇聚方能成河，我们可以把低阶思维视为小溪，高阶思维视为河流，这大概是一种恰当的隐喻，无小溪之水何来河流之源.高阶思维的材料是知识，知识的积淀依托于低阶思维，这是一条事实性因果逻辑链，离开低阶思维的高阶思维只是空中楼阁.例如，衡量高阶思维水平高低的一个重要指标是解决结构不良问题的能力，如果学生连结构良好的问题都解决不了，怎么可能解决结构不良问题？这个基本的道理告诉我们，不能脱离根基而一味拔高，追求所谓的高阶思维而放弃对学生基础知识和基本技能的培养显然是海市蜃楼.因此，在知识讲解中构建逻辑推理链时，要以低阶思维作为基础或作为高阶思维的起点.

(2)在课堂教学中创设探索思维情境

探索性思维情境的设计，首先，要为学生提供有探索价值的问题.有价值体现在几个方面：通过探索可以抽象出一些新的概念，通过探索可以归纳出一些新的结论，通过探索可以找到几种解决问题的路径，通过探索可以将问题推广为更一般的情形，通过探索可以将问题变式从而得到一串新的问题，通过探索可以发现隐藏在知识背后的思想方法等等.没有好的问题，探索过程可能变得毫无意义.其次，不能把难题与探索性问题混为一谈.所谓难题，是指可能需要用到多种知识、可能用到高超技巧来解决的问题.这类问题的解答有两个明显的特征，其一，在解答过程中，逻辑推理会进入一种较高层面，推理步骤会增多，逻辑链会加长；其二，解决难题也是一个探究过程，探究解决问题的方案和解决问题的方法.从这两个特征看，解决难题的确有高阶思维的成分.但是也必须清楚地认识到，解答难题的前提是必须运用已有的知识、规则和算法，不是在创新知识或创设算法，而且注重一些特殊的技能技巧，探究性思维显得单一.高阶思维与“难度”有关，但更与探究、批判、创新有直接的相关性.

3.3 指向知识迁移的教学过程设计

在教育心理学领域，迁移是指一种学习对另外一种学习的影响.这里所说的知识迁移是指将知识用于一种新情境中去解决问题.新情境包括其他学科情境、现实生活情境，也包括同一个学科中不同知识体系的情境.

指向知识迁移的教学过程设计，要思考如何设置情境，围绕培养学生数学建模、数据分析、逻辑推理、直观想象等数学核心素养为目标开展.

(1)加强学科知识与现实世界的联系

每个学科都有自己特定的知识内容和研究范畴，看上去呈现一种相对封闭的样态.但事实上，不论是什么学科的知识，都是对自然规律和社会现象的描述.自然科学知识是对自然现象、规律的揭示和描述；社会科学知识是对社会现象、规律的揭示和描述；人文知识是对人类文明发展的记录和反思.这些知识的来源是人类和自然，因此，现实世界就成为沟通不同知识领域疆界的中介.

在新知识的教学中，作教学设计时要思考：这个知识的产生是否有现实背景？它的现实背景可能不是唯一的，我应当选择哪一种背景才能产生更好的教学效果？用什么方法来展示这个知识的现实背景使得知识的生成显得更加自然？需要指出的是，教材上在引入一个新知识时也可能提供了一个现实背景，但老师应辩证地对待，尽管这个情境是编者颇具匠心的设计，还是要思考它是否适合自己的学生学习，这个情境对学生来说是他们熟悉的吗？对他们来说是有意义的吗？这样的反思会促使你去评价从而作出更好的选择.

数学建模、数据分析是直面现实生活中的问题，用数学的眼光审视这些问题，用数学的思维分析这些问题，用数学的语言表述这些问题，本质上就是将数学知识迁移到现实情境中去解决问题.

对教材上的例题和习题，可以适当地进行改造，将问题放到具有现实的背景中考察.进一步地说，对题目的改造不只是在现实情境的加入层面上思考，还可能在现实情境的社会意义层面作思考.也就是说，在情境的设置中，完全可以考虑将品格和价值观的教育渗入其中，使题目的解答发挥出更大的教育功能.

(2)突出数学学科内部迁移的训练

知识迁移发生得更多的情形是在学科的内部.因为，每个学科的知识也是分体系的，将一个体系中的知识或方法用于解决另一知识体系中的问题，就是一种内部的知识迁移.如果把知识在学科内部的迁移视为一种近迁移或中迁移，那么不同学科之间的迁移就可以认为是一种远迁移.

突出数学学科内部迁移训练的教学设计，要考虑以下几个方面.

第一，要考虑促进学生形成完善的认知结构.现代迁移理论指出，个体的认知结构是影响迁移的决定因素，优良的认知结构可促进迁移的发生.Schunk认为，知识迁移涉及对记忆网络中知识的激活……记忆中的各个信息块相互联系得越多，那么一条信息的激活就越能成为其它信息激活的导火索.由此，学习者只有根据条件、提示信息或意义相近的命题来激活知识，才能在知识网络中找到与问题相关的知识或与学习者的计划、意图有关的信息，才能有效实现知识的迁移[8].优良的认知结构建立，取决于学习者对知识的深度理解，取决于学习者能否将知识结构化、系统化，并将其内化在自己的认知结构中去.因此，数学教学的一项重要任务就是帮助学生形成完善的认知结构.

第二，要组织不同迁移类型题目进行训练.一般说来，学科内部问题解决的迁移，往往是指先前解答的问题对后面问题解答产生的影响，先前问题叫做源题，后面的问题叫做靶题.源题A与靶题B之间存在四种关系：表面内容相同内在结构相同、表面内容相同内在结构不同、表面内容不同内在结构相同、表面内容不同内在结构不同.表面内容是指问题的背景、情节、对象等具体内容，内在结构指解决问题要用到的思想、原理、方法等.一般说来，在教学设计中要思考如何编制近迁移问题(表面内容相同内在结构相同)、中迁移问题(表面内容相同内在结构不同、表面内容不同内在结构相同)、远迁移问题(表面内容不同内在结构不同)来训练学生，以提升他们的问题解决迁移能力.

第三，要注重样例的多形式设计.①样例的变式设计.包括图形的变化、规则变形、问题的条件强化或弱化等方法的运用.变式的目的是促使学生在头脑中形成完整的知识结构，从而促进迁移的产生.②样例的数量变化.不同的知识点其练习量是有区别的，就每个知识点的特性，教师应当研究究竟需要多少题目的训练学生就能够掌握这个知识，太多的练习无疑是一种对学生时间的浪费.③样例的组织形式.这同样是教师需要研究的问题，不同的内容其源题的组织形式可能是有差异的，而不同的组织形式又可能带来教学效果的差异.例如，成组地组织样例(一次性讲解一组样例，然后学生再练习)与分散地组织样例(讲解一个样例后学生练习，再讲解一个样例学生再练习，……)，这两种方式到底适合于哪些内容？这需要教师在教学实践中去认真研究和总结.