应用型本科高校高等数学模块化教学研究

彭维才，刁亚静，查星星，秦喜梅

(巢湖学院 数学与统计学院，安徽 合肥 238000)

高等数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，课程的教学目标定位于培养学生的思维能力和应用能力，使学生能够掌握并应用高等数学的知识提出问题、分析问题并解决问题，为学生后续的相关专业课程学习打下基础[1]。2019年，科技部、教育部等四部委首次针对数学学科联合发文，要求加强对该学科的重视。然而在应用型本科高校中，学生的高等数学基础不理想，部分学生甚至对高等数学产生了恐惧心理。面临这一困境，许多学校已经行动起来[2-7]，对高等数学的教学进行改革。

一、应用型本科高校高等数学教学现状

高等数学课程一般都在新生入学第一年开设，通常是学生进入大学后接触的第一门基础课。经过调查发现，目前应用型本科高校高等数学教学面临着一些困境。

(一)学生数学基础较弱

应用型本科高校学生数学基础薄弱，抽象能力不足，学生对数学在现实生活中的应用缺乏认知。同时，当前可供学生参考的教材大多缺乏足够多的现实案例，几乎都是抽象的数学概念、性质、定理及其证明，学生对这些概念的来龙去脉缺乏理解。因此也很难对高等数学产生兴趣。

针对这一困境，应用型本科高校高等数学的授课教师需要深入挖掘知识点与现象结合的案例，让学生体会到高等数学的实际意义。同时，教师要高屋建瓴地指导学生理解高等数学中抽象概念，让学生理解现象背后的数学原理，知其所以然。

(二)教学模式较为传统

虽然许多应用型本科高校开始进行教学改革，但传统的以教师讲授为主的课堂教学模式仍是当前多数应用型本科高校的主要教学模式，教学内容只是注重高等数学知识的理论性和知识的系统性，缺乏对知识实践性和应用性方面的拓展。高等数学的教学模式亟待加大改革力度。为此，许多学校在积极推进翻转课堂教学模式，将课堂的主角交给学生，该模式在许多高校取得了很好的教学效果。然而，对应用型本科高校来说，许多学生的认知能力与自学能力还不足以很快将所学知识推广应用到相关领域，该模式的教学效果也大打折扣。

为此，在面向应用型本科高校的学生时，授课教师需要在学生掌握知识点以后，通过多种方式帮助学生将知识点提炼、抽象到理论层面。在多个相似、相近领域中，指导学生理解该知识点的应用。这种多角度、多领域的应用推广，有利于学生对概念的理解和掌握，同时也对教师的备课工作提出了更高的要求。

(三)课程考核方式不合理

在传统教学模式下，通常的考核成绩为“平时成绩×30%+期末考试成绩×70% =综合成绩”模式。在此模式下，平时的成绩由于占比不具有吸引力，导致学生平时上进心不足。学生“平时不学习，考试抱佛脚”，教师随意评定平时成绩，从而导致平时成绩机制失效。在传统的教师讲授为主的教学模式下，学生终评的成绩与其实际的数学分析与应用能力会出现较大偏差。

应用型本科高校的高等数学教学，一方面要强化监督学生的学习过程，让平时成绩真正体现学生的平时学习情况；另一方面，要通过改革创新教学模式，通过激发兴趣提高学生积极性；通过知识点的应用推广，让学生具有获得感，体验知识探索的乐趣。

二、 “案例+知识点+推广应用”模块化教学

案例式教学法最早起源于美国哈佛大学情景教学案例，后来逐渐得到全球的广泛认可，它是指采用应用型案例创设问题情境，以学生为中心，以问题和案例为导向，采用启发式教学的一种教学方法。该模式通过模拟或者重现现实生活中的一些场景，让学生把自己纳入案例场景，通过研讨案例来进行新的知识点的学习的一种教学方法，实现从案例到知识点的学习，即“案例+知识点”模式。基于此特点，应用型本科高校采用案例式教学法，有助于数学基础薄弱的学生对抽象数学知识的理解。

实施“案例+知识点+推广应用”教学模式，通过现实案例吸引学生的注意力，引导学生对知识点产生兴趣并进一步学习研讨；在教师的指引与提炼下，学生能够分析、理解并掌握知识点，最后将其应用于自身专业领域的实际问题中，并利用所学知识点举一反三地解决问题。该模式特点是在案例式教学法的“案例+知识点”模式基础上，增加“推广应用”的环节。在推广应用环节中，学生一方面能够巩固已学知识，另一方面能将所学新知识推广到其他领域中，进一步实现对抽象知识的具体化理解。其流程见图1。

图1 “案例+知识点+推广应用”模块化教学流程

(一)从实际案例引出抽象理论

引入案例内容来自大学生的所见所闻，要富有趣味性；引入案例要“接地气”，所示案例是大多数学生所熟知的，最好是那种让学生一知半解的案例——学生知道这个现象，但是又不知道该现象背后的原因。比如，让学生亲自测量一块不规则图形的面积，或者在条件允许的情况下，让学生测量一块土地面积。这能让学生深刻体会到“分割、近似、求和”的过程。这个过程，学生能求得近似面积，如何得到更加精准的面积需要深入了解“取极限”的过程，这一点需要教师引导。

案例要与学生现有生活或者学习经验相称，激起学生共鸣。适当的教学案例，能够帮助学生轻松进入预设教学环境，从而在愉悦中获取新知。案例教学可以将学生引入具体的数学情景中，实现师生互动，通过教学案例讲解，拉近数学与生活现实的距离，让学生能在学习和研究中深刻了解高等数学的重要性。

合理利用多媒体及现代计算机技术，让案例更直观。数学学科具有高度抽象性，尤其是高等数学[8]。教师在授课过程中合理使用多媒体及现代计算机技术辅助教学，能够使教学更加具体、形象、生动。通过不断地从具体到抽象的训练，能更好培养学生的抽象思维。

(二)培养数学建模意识

学生从接触新的数学概念，到区别该概念与其他数学概念的异同，再到熟悉并掌握此数学概念，最后到能熟练运用该数学工具，整个过程需要不断地进行习题训练。

教师在培养学生利用所引现实案例发现与理解抽象概念建立数学模型解决实际问题的整个过程中，应积极发挥“导演”作用，选择具有针对性的题目，认真设计做题与讲题的各个环节。对那些具有一定难度的题型，应该提前设计好梯度，一步一步地由简单到复杂，由易到难，并逐步提高训练强度。

通过习题训练，逐步培养学生类比的能力、分析的能力、归纳的能力、抽象的能力、联想的能力、演绎推理的能力、准确计算的能力、学习新知识的能力、运用数学软件的能力。通过训练，培养学生主动探寻并抓住数学问题中本质的能力，熟练地用准确、简明、规范的数学语言描述数学问题，从不同视角寻找解决问题的途径，善于对现实生活中的现象进行富有逻辑的简化和量化，建立数学模型。

(三)引导学生推广应用，举一反三

学生在学习了高等数学知识点之后，不仅要能解决简单的数学问题，还要能用它解决与学生专业相关的问题，将其应用于自身专业领域中。比如，在理解了积分的概念以后，进一步要求学生解释空间立体的体积、变力做功问题。从面积到体积是一个自然的延展，所以空间立体的体积问题大多数学生能想到使用“分割、近似、求和、取极限”的方法，但大多数学生都不会想到将该方法应用到变力做功问题中，这需要授课教师点拨。教师不仅要精通高等数学问题，还需要熟练掌握所授课专业的相关背景，将专业中的问题转化为必要的数学模型，用数学模型解决专业问题。比如，每年高教社杯全国大学生数学建模竞赛都会有涉及物理、化学与经济等相关的题目，其目的就是检验学生综合利用数学知识解决实际问题的能力。

然而，随着时代发展，越来越多的岗位对专业的要求不再单一，越来越多的毕业生会转身投向学科交叉领域，这些研究领域的核心或关键是数学，这些领域下的岗位也要求学生具有较强的数学功底。比如，传统的交叉学科有生物统计、体育统计、保险精算等，新兴的交叉学科有大数据、区块链工程、AI智能等，这些专业都对数学能力要求很高。教师要紧跟时代的步伐，在精通数学的同时，需要保持对先进技术的了解。

当代大学生，不仅要掌握必要的高等数学知识，还要能将其用到自身专业中去，并逐步发现这些数学知识在其他领域中的应用，做到举一反三，触类旁通。

三、教学实例

以某应用型普通高等学校机械设计制造及其自动化专业大一学生为教学对象，以定积分的概念这一教学内容作为实例来分析模块化教学的实践。学生的高考数学成绩平均分约为92分(总分150分)。在学习定积分概念的内容之前，学生已经完成了极限和微分内容的学习，学会了近似值转化为精确值和以直代曲的数学思想。但学生难以将有限思维上升到无限思维，因此，对教材内容作适当的取舍与组织。

基于专业的培养方案，设计出本节教学目标为：通过求曲边梯形面积，理解定积分的概念；将实际问题转化为定积分问题；能用定积分形式表示平面图形的面积等问题，服务于专业课程；通过对极限思想的理解，将有限思维上升到无限思维；通过介绍我国古代数学家的割圆术，增强文化自信，提升课程思政效果。

本节课以直观性教学法为主，以案例教学法和问题驱动法为辅，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性，教师引导并提炼升华。利用引例，可以变抽象为具体，加深对定积分概念和思想的理解。

(一)教学过程

第一阶段：案例引入。课程前3分钟情景引入，先展示一张防洪堤坝侧面的图片导入情境。采用的是学生身边的时政新闻——防汛保卫战，引发学生的共鸣，感受祖国和人民在面对灾情时，众志成城，沉着应对的顽强精神。大坝的截面是一个曲边梯形，用该图片对学生植入曲边梯形面积的概念，从而引出了这节课所要学习的内容——定积分的概念。

第二阶段：知识点学习。学生对问题已经明确，开始思考解决方法。在思考解决问题的方法时，提示学生采用我国古代著名数学家刘徽的割圆术，通过割圆术的方法，不断对学生进行启发引导。最终，在教师的引导下，学生深入学习“分割、近似、求和、取极限”的过程，并得出大坝的侧面的曲边梯形的面积。在这一过程中，以博大精深的中华文化培养学生的爱国主义精神和民族自豪感，加强民族自信。在教师的引导下，学生对引例进行总结分析，概括求解问题的方法“分割、近似、求和、取极限”的四个步骤，该步骤适用于一般的类似问题。教师在此基础上概括出定积分的概念。

第三阶段，利用所学方法，举一反三，推而广之。比如，结合时事简要计算我国神舟飞船脱离地球轨道需要做功情况——这样的应用既可以让学生体会到机械设计制造及其自动化的专业知识价值所在，学有所用，又可以激发学生的民族自豪感，可谓一举两得。最后对这节课的内容进行小结。

(二)效果分析

实验组为某应用型普通高校机械设计制造及其自动化本科专业一年级2班，共49人，采用“案例+知识点+推广应用”教学模式；对照组为同专业同年级1班学生，共50人，采用传统讲授式教学模式。平时成绩与期末成绩的权重分别为0.4与0.6。

从平均成绩来看，采用“案例+知识点+推广应用”教学模式的2班，平均平时成绩、平均期末成绩以及平均综合成绩均略高于采用传统教学模式的1班。从方差角度来看，采用“案例+知识点+推广应用”教学模式的2班平时成绩方差235，显著高于传统教学模式的1班的方差。这说明，在“案例+知识点+推广应用”教学模式下平时成绩的区分度更大， 这也进一步使得综合成绩的区分度更高。此外，从回归分析来看，“案例+知识点+推广应用”教学模式下的综合成绩显著高于传统教学模式的综合成绩(显著性水平为5%)。

相比较于传统教学模式，“案例+知识点+推广应用”教学模式能够更好区分学生的平时成绩与综合成绩，因此能够更好地发挥激励学生学习的作用。“案例+知识点+推广应用”教学模式下学生的综合成绩显著更高，因此能够更有效提高学生成绩。

四、结语

鉴于应用型高等学校学生的实际情况，高等数学的教学改革是一项十分必要且艰巨的任务。以激发学生学习兴趣为目的， “案例+知识点+推广应用”教学模式通过实际案例引起学生共鸣，从而激起学生自主学习的驱动力，并将所学知识应用到专业领域，做到触类旁通，提高了课程教学效果。