受限颗粒体对制动系统非线性振动的影响

鄢晓宇, 刘小君, 魏道高, 刘 焜, 王 伟

(合肥工业大学 摩擦学研究所, 安徽 合肥 230009)

随着汽车设计对制动系统工作性能及摩擦力预测的要求日益增强[1]，制动系统的动力学建模也成为实现驾驶稳定性的重要一环.学者指出，在制动系统建模中，制动片的振动形式主要为切向振动[2].魏道高等[3]建立了制动片切向振动模型，发现制动系统在低速的情况下存在混沌和分岔等丰富的动力学现象，当制动片的结构为双层时，制动片的振动形式更加复杂.近期学者还发现，制动片的形状对制动系统的性能也有着重要的影响[4].由这些学者的研究可以总结，对制动系统的动力学建模必须考虑制动片、制动盘以及摩擦界面的动态变化.

摩擦副中的受限颗粒体主要是指粒径范围在1～104 μm之间，和摩擦界面产生接触的污染颗粒或磨损颗粒[5].和表面织构[6]以及安装误差[7]这类结构上的因素不同，受限颗粒体对运动副的影响具有较强的随机性.王超等[8]发现，摩擦副中的颗粒润滑剂在长时间工作后被过度消耗，会形成局部颗粒润滑状态，此时颗粒的存在形式主要为受限颗粒体，并且颗粒层的破坏形式丰富多样.Terrell等[9]建立了颗粒抛光的3D模型，发现当受限颗粒体介入较小的间隙中时，会产生较大的接触应力，产生较强的材料去除效果.Kchaou等[10]研究了沙粒环境下制动系统的噪声特性，发现在平均颗粒粒径较小时，低速容易导致噪声次数增加，增大颗粒粒径会使声压强度减小.Bergman等[11]发现，即使是极少的颗粒进入小间隙也会导致摩擦力的急剧上升.可见，受限颗粒体不仅会产生一定的材料去除效果，也会引发摩擦界面的非线性振动和噪音.

虽然已有许多学者对制动系统进行了动力学建模[12]以及FEM模态分析[13]，但是考虑受限颗粒体制动系统动力学的建模却较少.这是因为含受限颗粒体的摩擦行为是多体动力学问题，对所有颗粒进行细致建模将消耗大量算力，且无法很好地应用到制动机构的控制中.本文中基于制动片切向振动模型，提出了1个新的受限颗粒体随机摩擦模型，研究了制动系统在受限颗粒体影响下的非线性振动问题.

1 建模原理

1.1 动力学模型

制动系统的动力学建模中，制动片的振动可以简化为切向振动，其原理参见文献[3].考虑制动片的切向振动和制动盘的扭转，得到动力学方程：

θ和x分别为制动盘的扭转角度和制动片的切向位移；Jr、cr和Kr分别为制动盘的转动惯量，转动阻尼以和扭转刚度.mb、cb以及kt分别为制动片的质量、阻尼以及切向振动刚度.T和F为制动盘受到的力矩以及制动片受到的摩擦力.图1为弹簧-滑块-传送带形式的制动系统的动力学模型，其中转盘受到恒定的驱动速度w.

Fig.1 Spring-block-belt dynamic model of brake system图1 制动系统的弹簧-滑块-传送带动力学模型

1.2 摩擦模型

本文中使用经典的stribeck-type模型计算时变摩擦力.

其中：vr为制动盘和制动片的切向速度之差w-x˙，uk和us分别为动摩擦系数和静摩擦系数，α和σ为常数.此摩擦模型的优点是在速度接近于0时，摩擦系数曲线不存在断点，因此在制动系统动力学建模中得到了广泛的应用.

1.3 受限颗粒体摩擦模型

本文中提出了1个随机受限颗粒体的人摩擦模型，用以预测受限颗粒体高度分布变化引发的变摩擦系数效应.如果将所有颗粒的随机行为进行单独考虑，会耗费大量的算力，为此，将密度为ηa的受限颗粒体分为N份，可以得到N份颗粒的密度矩阵Aη.

ηi均值为摩擦界面中的颗粒密度η除以N，为了简化计算，本文中假设其服从平均分布.可以假设，每份颗粒的数量和单个颗粒的参数不变，但是由于表面的随机性，其在粗糙表面间的高度分布发生了变化.在H模型中，受限颗粒体的高度分布和微凸体高度分布相同，高度分布范围为Xmax～Xmin= -σ～σ.假设第i组颗粒的高度分布服从于分布Ci(0,σi), 且σi的初始值为定值σ.给第i组颗粒所处形貌高度的标准差σi在当前时步施加1个随机产生的形貌波动Δσi，Δσi服从于正态分布N(0,σ*σi)，得到：

其中σ*为颗粒高度分布波动系数，代表了颗粒的高度分布的变化趋势的强度.可设当前时步的颗粒体最大和最小高度矩阵：

可以得到，每份颗粒产生的摩擦力矩阵Fη为

其中，Fi可由H模型[14]计算：

其中Hs1、Hs2、Eas1以及Es1s2分别为上表面硬度、下表面硬度、颗粒和上表面的综合弹性模量以及上下表面的综合弹性模量；φa、Xmax和Xmin分别为颗粒高度分布函数、颗粒最大直径和最小直径.he为H模型中定义的特征间距，其计算流程见文献[14].可定义函数：

HP为根据H模型建立的摩擦力计算函数，ηi为每份颗粒的密度，这里PAR为其他颗粒有关参数，假设所有颗粒除了半径以外其他参数相等，可以认为PAR为定值集.两表面接触产生的摩擦力Fsur可以定义为

其中S(ηi,Xmax(i),Xmin(i))为

可以估算，静摩擦系数为

图2为此模型颗粒引发摩擦系数波动的机理图，表1所列为此模型的省缺参数表.

表1 省缺参数表Table 1 Default parameters table

2 结果与讨论

2.1 受限颗粒体对制动系统振动时变信号的影响

取时步104以后的信号进行分析，图3为在不同σ*下(w=1.5)制动片切向运动的相图(第1列)和频谱图(第2列)，以及制动片切向振动(第3列中黑线)和制动盘扭动角可能出现的时变信号.当σ*=0时，模型为不考虑受限颗粒体随机行为的准静态颗粒模型，可以发现此模型下制动片的切向运动及制动盘的扭转运动呈稳定的周期运动；当σ*=0.001时，相图出现多个稳定轨道，制动片振动呈拟周期运动；当σ*=0.01时，由图3(c)可知，受到受限颗粒体随机行为的影响，从时变信号可以看出制动片呈现混沌运动，且时变信号图3(c3)表明制动盘在8×103～1×104时步范围内呈发散状态；当σ*=0.03时，图3(d1)中制动片做混沌运动，由制动片和制动盘的时变信号图3(d3)可知，制动盘转动先为拟周期运动最后呈发散状态.图4为σ*=0.03时，第二组制动盘扭转角的时变信号图，从中可以发现，在同一样本中，制动盘的扭转运动依次呈发散、收敛及拟周期波动等状态，并且此样本与图3(d3)中有较大的差异.可见颗粒的随机运动不仅仅影响了制动系统在相同参数下不同时间序列的差异，还影响了每组时间序列中不同部分之间的差异.

Fig.2 Calculation of total friction force and time varying characteristics of particles from group i图2 第i组颗粒总摩擦力计算及时变特性

图5(a～d)分别为和图3(a～d)对应的摩擦模型参数us波动图以及颗粒摩擦力和表面摩擦力之比fp/fs的时变信号图.可以发现，在受限颗粒体高度分布不发生波动的假设下，摩擦模型参数us的波动为0；当σ*=0.001，us和fp/fs会发生明显的波动，但是颗粒产生的摩擦力和两表面产生的摩擦力相对比较小，fp/fs基本保持在0.1～0.2之间；当σ*=0.01时，从图5(c)可以发现，us波动较大，fp/fs也显著增大且增至3以上；当σ*=0.03时，从图5(d)可以发现，fp/fs上升到了12，us也上升到0.55左右.可见，微小颗粒高度分布的波动可能会导致摩擦系数的巨大差异.

2.2 系统分岔特性的研究

取每个驱动速度下制动片切向振动速度的极大值作分岔图，可以直观地分析制动片振动周期性随驱动速度的变化.图6为在文献[3]条件下，以w为分岔参数的制动片切向运动分岔特性图，可以发现，图6(b)中分岔区的分岔点只对应10个转速，但是呈现边界分明的单周期区、Hopf分岔过渡区和四周期区，可以通过研究波动系数对3个区域内分叉曲线形态的影响，来分析受限颗粒体高度分布对制动片振动稳定性的影响.

图7为不同颗粒波动系数σ*下以w为分岔参数的滑块切向运动分岔特性图，与图6相比可以发现，当颗粒高度分布存在波动时，滑块切向运动的分岔特性发生了明显的变化.当σ*=0.000 5时，图7(a)中原本纯粹周期运动的考察区域出现了明显的混沌区域；在图7(b)和(c)中，此时分岔曲线仍保持较好的周期性，但是其运动性质为拟周期运动；图7(d)中，虽然考察区域大部分区域仍为拟周期运动，但是分岔曲线的结构发生了明显的变化，单周期区域变大，多周期区域变为三周期运动；图7(e)中虽然最后出现了明显的多周期运动，但是却出现了大面积的混沌区域.当σ*=0.001时，图7(f)中的分岔曲线呈现出从单周期过渡到双周期运动，再到混沌运动的形式；图7(g)和(h)中含有明显的周期运动区间，但是大部分为混沌运动；当σ*=0.003时，由图7(i)中已难以观测到运动的周期性.可见受限颗粒体能够明显地影响制动片振动的分岔特性，并且其影响具有随机性，相同σ*下制动副的切向振动会呈现不同的分岔特性.

Fig.3 Possible forms of vibrations under the influence of random behavior of particles图3 受颗粒随机行为影响可能出现的制动系统振动形式

Fig.4 Second time varying signal of torsion angle under the condition of σ*=0.03图4 在σ*=0.03条件下，第二组扭转角的时变信号

Fig.5 The time varing signal of us and fp/fs corresponding to Fig.3(a～d)图5 图3(a～d)对应us和fp/fs时变信号图

3 结论

提出受限颗粒体高度分布波动系数，将受限颗粒体的随机行为和摩擦力的时变特性相联系，分析不同波动系数下制动系统的非线性振动特性，为受磨损颗粒或污染颗粒影响的制动系统稳定性研究提供参考.主要结论如下：

Fig.6 (a)Bifurcation diagram of the tangential motion of pad using w as bifurcation parameter and (b) Local enlarged graph of the graph in blue rectangluar图6 (a)以w为分岔参数的滑块切向运动分岔特性图及(b)蓝色方框内局部放大图

Fig.7 The bifurcation diagram of tangential motion of pad under different σ*图7 不同σ*下以w为分岔参数的滑块切向运动分岔特性图

a.受限颗粒体的高度分布波动能够影响制动系统的时变信号稳定性，使得制动片的振动由周期运动转变为拟周期运动甚至混沌运动.

b.受限颗粒体高度分布的随机波动能明显影响制动系统的分岔特性，其影响具有随机性，在特定的参数下使原本的周期运动区域变成拟周期甚至混沌区域.