“画”说解决问题 构建数学模型——以《植树问题》为例

文 管茂堂

植树问题是一类典型的应用问题，是一种应用广泛的数学模型。植树问题的数量关系比较复杂，解决问题的基础是理解除法的意义，核心是正确分析段数与棵数之间的关系。学生在解决植树问题时，常常难以进行有效的数量推理，本教学中是借助图画突破这个难点，引导学生认识数量关系，选择正确的计算方法。画图既是解决问题的手段，也是实现教学目标的抓手。

【教学过程】

一、画图初建数学模型

师：今天我们要学习植树问题，关于植树问题，你们有什么问题要问吗？

生：什么是植树问题？

生：为什么要学习植树问题？

出示：在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽）。一共要栽多少棵树？

1.数据分析，猜测结果。

师：读一读，在题中你读到哪些信息？谁来说一说？

生：100米是一共的长度，5米是两棵树之间的距离。

生：一边指的是路的左边或者右边。

生：两端都栽是起点和终点都要种。

师：猜测一下，你觉得要种多少棵树，怎样列式？

生1：100÷5=20（棵）。

生2：100÷5+1=21（棵）。

生3：100÷5+2=22（棵）。

师：这些方法有什么相同的地方，有什么不同的地方？

生：相同的地方都用100除以5，不同的地方有的不加、有的加1、有的加2。

2.化繁为简，画图验证。

师：到底是+1？+2？还是不加呢？我们可以用什么方法来验证？

生：可以画线段图来验证。

师：你准备怎样画呢？

生：我们用一条线段来表示100米，每隔5米种一棵，照这样画下去。

师：其他同学怎么看？你们有什么好的建议吗？

生：我们可以先想20米长的路种树是什么情况。

师：这个建议真不错。当我们用大的数据来寻找规律比较麻烦时，可以考虑先用小的数据找找规律，再推广到大数据中去。我们先截取100米中的一小段来研究，这种方法能够——化繁为简。

师：请各自在作业纸上画图，看一看，你有什么发现？

师：这是第一位同学的画法，你们怎么评价？

生：这幅图与条件不符，没有平均分完，总长与段数不符合。

生：总长20米，5米种一棵，种那么多肯定超过20米了。

师：这是第二位同学的画法，你们怎么评价？

生：这也不对，图中有5个5米，总长应该是5×5=25米了。

师：每隔5米种一棵，现在这幅图画的总长是多少米？怎么修改？

生：去掉一小段。

生：保留四段。

师：（画对的学生）你是怎么想的，怎么画的？

生：总共20米，5米分一段，所以一共只能分成4段。

师：那树有几棵呢？

生：5棵。

师：怎么得到的？

生：数出来的。

3.一一对应，分析规律。

生：也可以分析出来，棵数比段数多1棵。

师：你是怎么想的？

生：第一棵树对应第一段，第二棵树对应第二段……最后一棵没有对应的段，就是多出的那棵。

师：用对应的方法思考问题，真好。谁听懂了？

师：在画图的基础上，你能列式来表示这个分析的过程吗？

生：20÷5=4（段），4+1=5（棵）。

生：20÷5+1=5（棵）。

师：这两个算式都能看懂的同学请举手。谁来试试解释算式的意义？

生：20除以5，表示把20米5米5米地分，可以分4次，就是4段路。4+1是因为树的棵数比路的段数还要多1，最后1棵树没有对应的路段。

4.反复验证，总结规律。

师：我们得到了棵数比段数多1或者说段数比棵数少1的结论。这个规律是不是普遍存在？可以推广到更长的距离中吗？

师：大家各自截取一段路，再画一幅图。看看是否还是这样的规律？

出示学生画的图：

生：其实不用画图也可以。现在的段数比棵数少1，如果再增加一段，就要再种一棵树，这样一直增加下去，段数始终比棵数少1。

生：我们还可以这样想，无论你画多少，第一棵对应第一段，倒数第二棵对应最后一段，最后还有一棵，因此，段数总比棵数少1。

师：我们通过画图发现了规律，用推理解释了规律，现在我们可以得到的一个重要的结论——

生：段数+1=棵数。

师：现在你知道前面的三种算法，哪一种是对的？

师：如果列出一个综合算式，怎么列？

生：100÷5+1=21（棵）。

师：表示什么意思？

生：总长÷间距+1=棵数。

师：类似的问题，如果小路长1000米，两端都种，可以种几棵？

生：1000÷5+1=201（棵）。

师：我们再来看前面交流的另外两种算法，一种是不加，一种是加2，你觉得题目怎么改动一下，这样算就可以？

生：也可以第一棵不要种，只要一端种树一端不种就可以了。

师：你们的意思是，一端不种一端种的情况下，段数=棵数。

师：那有没有什么情况下，棵数等于段数加2呢？

生：没有，棵数不可能比段数多2。

生：棵数可能比段数少1，就是两端都不种的情况。

小结：植树方式不同，棵数与段数之间的关系就不一样。

【设计意图：画图发现数量之间的关系是解决问题的关键。让学生独立思考，通过画图分析数量关系、利用关系，把求棵数的问题转化为求段数的问题。求段数的方法是唯一的，即除法中包含除的意义。学生经历了观察现象、形成猜想、推理验证、结论变式、解决问题的过程，这种过程性的思维经验是可以迁移的。】

二、运用数学模型画图解决问题

出示：一盒9响鞭炮，从听到第一声爆炸声开始计时，到第二声响起时，经过2秒钟。当听到最后一声响起时，一共经过几秒钟？

师：老师带领大家做一个小游戏。对着钟面，当秒针走到1时，拍一下掌，表示鞭炮的响声；5秒后走到2时，再拍一下掌；走到3时……走到9时，拍最后一下。现在，你能把刚才玩的放鞭炮游戏画下来吗？

生：我是从钟面的1开始，到9结束，每个数字代表一次响声。

生：我把钟面拉直后，从1开始，数到9，一共隔了8个5秒。

生：我发现数字相当于树，9个数字就是9棵树，一共有8段，每段是5秒，所以一共是40秒。

生：我是用方程来做的。我把总时间当作总长，每个数字当作树，5秒当作间隔长。根据总长÷间距+1=棵数，可以得出：总秒÷间距秒+1=响数。列出方程：x÷5+1=9。

师：那你们知道生活中还有哪些也是植树问题吗？

生：敲钟也是植树问题。

生：还有排队问题，人就是树，人与人之间的距离就是间隔长。

【设计意图：引导学生结合画图，在图中找出鞭炮问题和植树问题的关联：声音是“树”，两响之间的间隔时间就是间隔长。进一步让学生举例生活中的植树问题，如装路灯、排队、敲钟等，真正建立数学模型思想。】

应用问题的核心是分析数量关系。本课教学，通过画图的活动，引导学生利用几何直观分析和概括数量之间的关系，有效解决问题。通过画图，把抽象的问题直观化，隐蔽的关系显性化，让更多学生更加主动地参与到学习活动中，不仅对植树问题生成更深层次的数学理解，而且积累到研究数学问题的具体经验，落实学生数学素养的发展。