双重不确定下低碳多式联运路径优化研究

张 旭，张海燕，袁旭梅，郝迎春

（燕山大学经济管理学院，河北 秦皇岛066000）

一、引 言

随着人们应对全球气候变化意识的提高，低碳、绿色相关问题受到广泛关注。国际能源署（IEA）2020 年统计数据显示(1)腾讯网https：//new.qq.com/omn/20220129/20220129A0BNWV00.html，交通运输碳排放占比约为26%，是除能源发电外的第二大碳排放来源。2021 年3月，国务院在《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》(2)中华人民共和国中央人民政府网http：//www.gov.cn/zhengce/content/2021-02/22/content_5588274.htm中指出，要积极调整运输结构，推进多式联运，健全绿色低碳循环发展的流通体系。通过选择碳排放量较低的运输方式和路径完成货物运输、实现能源充分利用的低碳多式联运模式，有助于减轻环境负担并降低物流成本，促进运输服务高质量发展。

交通运输系统是包含多种不确定因素的复杂系统。例如，受多式联运计划制定的超前性、突发性补货或季节性需求等因素影响，承运企业在安排运输任务时难以明确具体货运量，需在需求不确定环境下进行运输任务的安排；在实际运输过程中，可能出现交通拥堵、设备故障或极端天气等不可控现象与问题，导致运输时间存在随机性。因而，综合考虑运输任务中可能出现的不确定性，有助于决策者提前部署规划，避免不确定因素带来的损失。基于此，本文探究不确定环境下的低碳多式联运运输方式及路径的选择与优化，以期能够有助于促进货物运输的经济性与低碳化、助力“双碳”目标的实现。

近年来，国内外学者主要从枢纽设施选择、市场范围确定、运输路径优化、供应链管理等方面对多式联运问题进行了分析和探讨［1-2］。具体地，对于多式联运路径优化中的不确定性问题，国外文献注重方法研究，如随机规划［3］、模糊规划［4］、鲁棒优化［5］等；国内学者多是基于经典方法针对具体问题开展研究，如胡辉等［6］（2017）研究不确定环境下的多式联运路径选择问题及其评价方法；彭勇等［7］（2021）考虑各节点间转运时存在的班期限制，研究时间不确定下的多目标路径优化问题。随着节能减排理念的深入和“双碳”目标的提出，越来越多的学者开始关注多式联运中的碳排放，研究低碳多式联运路径优化相关问题，或是基于实证研究分析多式联运运输路径在低碳环境下的优越性，如Santos 等［8］（2015）以比利时为例分析碳排放控制下铁路多式联运企业的竞争优势；李晓东等［9］（2021）以多式联运实例进行低碳运输的实证研究，确定运输方案并证明多式联运在减少碳排放方面的优势；或是基于不同碳排放政策建立多式联运路径优化模型并分析其影响，如Bouchery 等［10］（2015）研究强制碳排放控制下的多式联运运输方案，并分析排放限额对运输排放量及路径的影响；程兴群等［11］（2021）基于碳交易机制进行多式联运路径规划，分析碳交易政策对多式联运碳排放及成本的影响；张旭等［12］（2022）构建四种减排政策下的多任务多式联运路径优化模型，分析存在规模经济的低碳路径选择问题。

针对不确定条件下的低碳多式联运运输问题，现有文献有的从需求不确定视角开展研究，如Yu-Chung 等［13］（2018）、蒋海青等［14］（2020）；有的考虑运输时间的不确定性问题，如李珺等［15］（2019）、蒋琦玮等［16］（2020）；有的则探讨与低碳因素相关的不确定性对运输方案的影响，如Haddad-Sisakht 等［17］（2018）。然而，其中考虑双重或多重不确定情景的研究相对较少。因此，本文基于需求与运输时间均不确定的现实情境，建立混合鲁棒随机优化模型，设计基于随机采样的遗传算法，并通过算例分析不确定参数的影响，旨在解决双重不确定下的多式联运路径优化难题，以丰富含有不确定参数的鲁棒优化问题的建模与求解方法，为低碳运输决策提供参考。

二、问题描述与符号说明

（一）问题描述与假设

结合多式联运运输计划特点，本文的研究问题可以描述为：某企业拟将一批货物经由公路、铁路、水路三种运输方式组成的多式联运网络从出发点O 运输至目的点D，期间途经M 个中转节点，各相邻节点间存在成本、时间、碳排放各不相同的N 种运输方式可供选择。基于需求与运输时间均不确定的情境设计低碳多式联运路径优化方案，确定使总成本最小的运输路径与方式，为企业决策提供参考。

本文的研究假设如下：

（1）假设在运输过程中不存在货物分割现象，即相邻节点间仅可选择一种方式进行货物运输；

（2）假设在某一节点至多进行一次运输方式转变，且各节点的转运能力均能够满足货物运输要求；

（3）不考虑不同节点间转运时间和成本的差异。

（二）符号说明

研究中涉及的主要参数及其含义如下：M为节点集合；N为运输方式集合；T为运输总时间，包括直接运输时间和转运时间；Tmin和Tmax分别为运输时间的最小值要求和最大值要求；Cw和Cp分别表示提前到达的单位仓储成本和延迟到达的单位惩罚成本；C(T)为提前或延迟到达的总时间成本；Z为运输的总碳排放量，包括直接运输碳排放量和转运碳排放量；C(Z)为运输的总碳排放成本，由碳交易政策下确定的排放配额Q、碳交易价格ω和节点i，j的货物运输量qij综合确定；和分别为采用第n种运输方式时节点i，j之间的运输距离和运输时间，其与运输方式n的平均速度vn相关；和为在i处运输方式n1、n2转换的单位转运时间和总转运时间；和分别为运输方式n对应的节点i，j间的单位运价和总直接运输成本和表示在i处运输方式n1、n2转换的单位转运成本和总转运成本；和为运输方式n对应的节点i，j间的单位碳排放量和总碳排放量和分别表示在i处运输方式n1、n2转换的碳排放系数和总碳排放量。

研究中包含的决策变量为

：从节点i到j以运输方式n运送货物时该值为1，反之则为0；

：在i处，若从运输方式n1转换为n2则为1，反之则为0。

三、模型构建

（一）需求与时间的不确定性表示

对于货物需求的不确定性，采用鲁棒优化中的情景法予以表示。情景法是描述决策中数据不确定的工具，可用情景表示未来的几种可能情况。在基于情景分析法的鲁棒优化方法中，不需要过多依赖以往经验获取不确定参数的精确概率分布，而是通过采取离散情景或连续集合的方法设计相应的情景，构造数据的不确定性，并通过约束每个情景允许的目标函数值与其对应的最优目标函数值之间的偏差，建立相应的鲁棒优化模型［18］。由此，研究假设存在S个需求情景，每个情景下的不确定需求为qij(s)，发生概率为ps。

（二）混合鲁棒随机优化模型

基于上述分析，构建情景法和随机规划相结合的混合鲁棒随机优化模型。由情景法表示的低碳多式联运路径优化问题的目标函数如式（1），包括各需求情景s所对应的运输成本、时间成本和碳排放成本，其中运输成本包括节点间的直接运输成本和节点处的转运成本，时间成本分为提前到达产生的仓储成本和延迟到达产生的惩罚成本，碳排放成本基于碳交易政策计算。其中，碳交易的基本原理是在一定的空间和时间内，政府为实现控排目标将一定量的碳排放配额分配给下级政府和企业，当企业实际碳排放量超出排放配额时，需要购买排放差额；否则，可以出售未使用的碳配额，获得收益［11］。

式（2）约束了总时间T的范围，使其服从均值为E(T)，方差为D(T)的正态分布：

需求不确定性相关的关键约束如式（3），即通过最大遗憾值α，限定情景s下每个可行解Cs(x)与该情景所对应的最优值之间的差距：

各情景s出现概率约束如式（4）：

基于研究假设，分别限制两节点间至多只能以一种方式进行货物运输和某一节点至多发生一次运输方式转变，且运输方式在某一节点需前后对应，如式（5）-（7）：

式（8）限制决策变量为0-1 变量：

四、基于随机采样的遗传算法

针对含有不确定参数的混合鲁棒随机优化模型的特点［19］，研究基于随机采样方法构造适应度函数并设计相应的遗传算法，具体思路与步骤如下：

（一）染色体编码与种群初始化

多式联运路径优化问题包括运输路径和运输方式两类决策变量，属于组合优化问题，因此采用双层编码结构，以实数方式编码，如式（9）。种群中每个个体的长度为M+N，其中前M个数为运输路径的编码，后N个数为运输方式的编码。

将多式联运网络中的运输路线及走向转换为有向无环图，并采用基于全序的拓扑排序方式生成初始化种群，以抑制非法方案的产生，保证结果的稳定性和唯一性。

（二）基于随机采样的适应度函数构造

适应度函数对于遗传算法的性能与收敛速度具有显著影响。根据研究问题的特点，借助随机采样方法构造适应度函数。从概率密度分布函数U中随机采样获取不确定速度ξ，并据此计算各不确定速度下的目标函数值及其均值μ与方差σ2。由此，算法的适应度函数可以表示为式（10）的形式，以体现研究问题对于成本及其波动最小的追求。

（三）选择、交叉与变异

1.选择操作

遗传算法中的选择操作通常依托染色体的适应度选出一定数量的个体。本文采用轮盘赌方法进行选择操作，根据其规则，每个个体被选择的概率为p(vi)［20］，见式（11）。

2.交叉与变异

本文以单点交叉进行所选定个体的交叉操作，即按照一定的交叉概率pc从父代种群中选择两个染色体，并以随机匹配法对其进行交叉运算，形成新的编码串，基于拓扑排序规则以及适应度函数值判断其是否可行。同样地，以单点变异进行变异操作，按照一定的变异概率pm在新产生的、满足要求的编码串中随机选择两个基因进行位置交换，以增加种群多样性，降低“早熟”收敛的现象。

五、算例分析

（一）算例数据

某提供多式联运运输服务的企业要将一批货物由包含15 个节点的联合运输网络从出发点南宁运输至目的点哈尔滨，节点编号O、1、2、…、D依次为南宁、贵阳、重庆、南昌、长沙、武汉、合肥、上海、徐州、济南、郑州、太原、北京、大连、哈尔滨。通过高德地图、火车票网、轮船票网得到各城市间不同运输方式的运输距离数据，见表1。运输时间的最小值和最大值要求分别为55 小时和65 小时，提前或延迟到达产生的单位仓储费用和惩罚成本分别为15 元/h·t 和30 元/h·t。参考全国碳排放交易市场对碳排放配额的分配方案(3)中华人民共和国中央人民政府网http：//www.gov.cn/xinwen/2021-07/14/content_5624921.htm，设运输任务的碳排放配额为4t，基于“碳K 线”统计数据，取碳交易价格ω为30 元/吨。

对于货物需求的不确定性，情景法涉及的相关数据为每个情景相对应的不确定需求和发生概率，考虑到实际中货运量的日常数据以及为了突出高、低货运量的情况，设货物运输量及其对应的情景概率qij（ps）分别为：150t（0.36）、85t（0.5）、40t（0.14）。

对于时间的不确定性，设运输时间和转运时间为服从正态分布的随机数，所涉及的数据包括与之相关的均值和方差，通过查阅IPCC 国家温室气体清单指南(4)https：//www.ipcc-nggip.iges.or.jp/public/2006gl/chinese/pdf/2_Volume2/V2_1_Ch1_Introduction.pdf，并参考相关文献［21］中不同运输方式下的运输货物种类基价，各运输方式直接运输和转运的相关运输参数见表2 和表3。其中，运行基价中的三个参数对应的距离分别为［0，500km］、（500km，1000km］、（1000km，+∞）。

表1 不同运输方式下两节点间的距离（单位：km）

表2 不同运输方式的运输参数

表3 不同运输方式的转运参数

（二）算法有效性检验

为了验证所提出的基于随机采样的遗传算法的性能，依托算例数据，将算法参数设置为：种群规模为80，迭代次数为200，交叉与变异概率分别为0.8、0.3，鲁棒优化中的最大遗憾值α=0.2。借助Matlab程序求解所提出的混合鲁棒随机优化模型，并与传统遗传算法进行对比。

根据复杂度理论，计算任务所使用的时间资源是衡量算法效率的重要指标。本文所设计的基于随机采样的遗传算法中，交叉算子中的个体修正部分的复杂度最高，为O(n2×m2)；其次为种群初始化和变异操作，复杂度为O(n×m)。然而，个体修正是遗传算法中的经典进化算子，故本文所提出的随机采样并未造成算法时间复杂度的明显增加。具体运行结果显示，基于随机采样的遗传算法由于对较差的个体采取了概率接受操作，结果的波动性更加显著，能够扩大搜索范围以降低局部收敛，但由于操作更加复杂，终止条件更难达成，使得寻优时间略长于传统遗传算法。因此可知，本文针对构建的混合鲁棒随机优化模型所设计的基于随机采样的遗传算法具有较高的全局搜索能力，能够获得比传统遗传算法更高质量的优化解。

（三）结果分析

1.结果对比

表4 不同模式下运输路径、方式与成本

由表4 可知，与确定模式相比，不确定模式下的运输路径与方式均发生改变，运输路径由“O-1-3-8-10-D”转变为“O-1-3-7-10-D”，对应的运输方式由“水路、水路、公路、公路、公路”变化为“水路、水路、铁路、铁路、铁路”。从成本方面看，双重不确定的模式III 中成本最大，为125507.59 元，相较于确定模式I 增长13453.2 元，其中需求不确定导致的成本增长（模式II 与模式I 相比）为12859.72 元，时间不确定导致的成本增长（模式III 与模式II 相比）仅为593.48 元，因此，需求不确定对成本变化的影响更加显著。产生这一结果的主要原因是需求和时间不确定对成本影响机制的不同：需求的不确定性主要通过鲁棒优化的最大遗憾值约束对成本产生影响，求解时相对保守；时间的不确定性则通过随机优化中随机数的设置直接使成本发生改变。

2.双重不确定下参数影响分析

（1）最大遗憾值α影响分析

在模式III 下分析最大遗憾值α变化的影响，验证鲁棒优化对解的稳定性的追求，结果如图1 所示。其中，随着最大遗憾值α的增大，总成本以不同速率减小：当0 ≤α<0.25 时，成本以较快速度下降；当α≥0.25 时，成本的下降相对平缓。由此可知，系统鲁棒性的设置会影响多式联运的成本控制与效率提升。

图1 总成本随最大遗憾值的变化

（2）时间方差灵敏度分析

探究双重不确定模式中，在需求不确定的前提下，时间的不确定性对总成本的影响，参照图1 的调整比例将模式III 中时间方差的基础数值分别变化50%、75%、100%、125%、150%，对应的总成本变化如图2 所示。可以看出，需求与时间均不确定的模式III 中，时间的不确定程度对总成本的影响呈现波浪形变化趋势，无明显规律。分析其原因，主要是由于正态分布的方差参数仅仅能够约束时间的变化程度，而针对某一具体算例，时间的取值具有明显的随机性。然而，对比图1 与图2，与模式III 中最大遗憾值分析结果相比，相同变动幅度下，时间不确定的变化对总成本的影响更明显、趋势更模糊，这提示企业在关注自身业务需求的同时，也要注意由于道路拥堵、设备故障等紧急情况导致的运输时间的波动。

图2 双重不确定模式下时间方差的变化对总成本的影响

六、结论及启示

（一）主要研究结论

本文基于实际运输中存在需求与运输时间不确定的情境，建立混合鲁棒随机优化模型，设计基于随机采样的遗传算法，以解决双重不确定下的多式联运路径优化难题，并通过算例分析不确定参数对多式联运运输路径、方式及成本的影响，研究结果表明：

1.需求和时间的不确定性均会影响低碳多式联运运输决策。与需求和时间确定模式相比，时间确定而需求不确定以及需求和时间双重不确定模式下的运输路径与运输方式均发生改变。

2.需求的不确定性会增加低碳多式联运的总成本。需求不确定性采用的鲁棒优化方法主要通过最大遗憾值对总成本产生约束与影响，由于其求解结果相对保守，且更加注重目标的稳定性，导致总成本变化明显。

3.时间的不确定性对总成本的影响显著但规律模糊。时间的不确定性通过随机优化中随机数的设置直接使成本发生改变，呈现无明显规律的波浪形变化趋势。

（二）管理启示

根据上述模型分析结果，对多式联运承运企业决策的启示如下：

1.承运企业应综合权衡不确定性对成本的影响，合理配置运输资源。在实际多式联运网络中，运输路径与运输方式的选择对成本、碳排放量和货物到达时间具有直接影响，承运企业应关注需求、时间等相关不确定问题，提升复杂市场情境的应变能力，及时满足客户需求。

2.承运企业可以通过对最大遗憾值的优化选择提高系统稳定性，降低风险。鲁棒优化中需求不确定的最大遗憾值与成本之间具有一定的作用关系，不同遗憾值等级下的总成本变化速率不同，企业可以借助其作用关系选择合适的最大遗憾值，降低需求不确定带来的风险，提升不确定环境下多式联运运输效率。

3.承运企业可以通过约束时间或设置时间阈值防范由各种原因造成的运输延迟或中断。在时间关切度较高的现代物流环境中，考虑时间波动对多式联运的影响不容小觑，企业在实际运输过程中不仅要关注自身业务需求，同时也要注意由于道路拥堵、设备故障等紧急情况导致的运输时间的波动，加强对时间的约束，提高成本效益及货物运输的经济性。

由于所构建模型的复杂性，本研究未分析碳交易价格变化对运输决策的影响，下一步的研究重点应是建立更加符合实际的优化模型，并在双重不确定条件下对运输时间的约束能力与影响机制等问题进行深入研究。