隔震结构支座布置的两阶段优化方法

2022-07-06赵根兄田宏图

兰州理工大学学报 2022年3期

党育,赵根兄,田宏图

(兰州理工大学土木工程学院,甘肃兰州 730050)

目前常用的隔震结构设计方法为试算法,即通过不断调整隔震层及上部结构参数,以达到预定的设计目标.但实际设计时,仅隔震支座布置方案就涉及隔震支座的类型、型号、参数、设置位置和造价等众多因素,导致备选方案集数量巨大,很难通过简单的试算获得最优解.以一个仅20根柱的框架结构为例,每个柱底设置一个隔震支座,即使采用2种类型的隔震支座(天然橡胶支座和铅芯橡胶支座),并限制满足竖向承载力要求的支座型号仅为2种,则各柱可选择的隔震支座共有4种,该工程可能的隔震支座布置方案为420=1.1×1012种,因此,在这样一个庞大的区域内寻优,如何简化优化过程实现实际设计优化,是一个亟待解决的问题.

国内外学者针对隔震结构优化已有较多研究,Pourzeynali等[1]采用NSGA-Ⅱ算法,将隔震结构简化为剪切型,目标函数为结构顶层和隔震层位移均为最小,优化得到了隔震层的质量、刚度和阻尼比；Fallah[2]针对滑移隔震结构,采用NSGA-Ⅱ算法,确定了滑移隔震层的质量、摩擦系数和阻尼比；Fan等[3]将铅芯橡胶支座系统等效为线性,将目标函数定义为上部结构的能量最小和隔震支座的失效概率小于5%,采用SQP算法,得到了隔震层的最优屈服后刚度和屈服力.Nigdeli等[4]采用和声搜索算法,在近场和远场地震下,优化得到隔震层的刚度和阻尼比；杜永峰等[5]将隔震结构等效为双自由度体系简化模型,建立了计算简化体系等效参数的多目标优化参数识别模型,将简化结构与原结构主要随机响应的方差作为目标函数,用结构基本周期等效的条件确定简化体系优化初值,用复合形法进行交互式优化运算；李创第等[6]以隔震装置位移响应不超过其容许设计限值的动力可靠性为约束条件,用罚函数法,得到隔震装置的优化设计参数；张延年等[7]采用改进的混合遗传算法,确定了隔震层的最优水平刚度和阻尼比；潘鹏等[8]分析了组合隔震结构的隔震效果,并针对不同组合隔震方案,给出了隔震层参数的最优取值范围；周云等[9]针对广东科学中心E区的隔震设计,提出5种支座布置方案,通过对比各方案的隔震效果,给出了不同设计要求下优选方案的建议；赵丽洁等[10]针对简化的Bouc-Wen迟滞模型,提出了判断隔震支座进入非线性阶段时域演化特征的小波系数能量比指标,并采用小波多分辨分析理论进行隔震支座的非线性特性及参数识别.从以上研究可看出,无论采用随机分析方法还是确定性分析方法,实际隔震结构优化都是通过缩小寻优区域来实现,或者将隔震结构简化为剪切型结构,隔震层参数简化为2～3个线性或非线性参数,采用优化算法得到隔震层最优参数,或者依据工程经验给定多个隔震支座布置方案,由设定的设计目标,从备选方案中选取最优方案.第一类方法虽然可得到隔震层的最优参数,但对隔震结构模型进行了较多的简化,得到的也只是笼统的隔震层最优参数,与设计最终要求的各类隔震支座型号、参数和布置情况尚有差距,而第二类方法对隔震结构采用了三维有限元模型,且可直接得到设计要求的隔震支座布置,但由于备选方案数量限制,得到的并不一定是最优解.

因此,本文针对隔震结构的实际设计优化问题,提出一种两阶段的隔震支座布置优化方法,隔震结构采用三维有限元模型,基于SAP2000应用程序接口和多种群遗传算法,得到隔震层最优参数,再根据已得到的隔震层最优参数,采用线性规划法,确定实际设计所需的最优隔震支座布置方案,包括各类隔震支座型号、参数.

1 优化方法的思路和流程

两阶段隔震支座布置优化方法的思路如下：

第一阶段：优化目标为隔震层最优参数,称为隔震层参数优化.由于第一阶段优化仅需要得到隔震层参数,而实际的隔震层由铅芯橡胶支座(LRB)和天然橡胶支座(LNR)叠加而成,该系统的力学模型与铅芯橡胶支座的力学模型相同,因此,可将隔震层简化为仅布置了同一型号的铅芯橡胶支座,这样就能依据隔震层力学性能来确定各隔震支座力学性能,由此来减小优化变量,提高优化效率.优化过程中需要对隔震结构进行动力分析,同时还需要采用多种群遗传算法求解.动力分析采用SAP2000,优化求解用MATLAB遗传算法工具箱,动力分析和优化过程的结合用SAP2000应用程序接口SAP2000 OAPI实现.

第二阶段：优化目标为各隔震支座的型号、个数和布置,称为隔震支座布置优化.选取各型号的隔震支座个数作为优化参数,优化目标为实际隔震支座布置方案的隔震层参数与最优隔震层参数误差最小,同时该隔震支座布置方案的造价最低.因此,该问题是一个线性规划问题,优化程序用 MATLAB优化工具箱实现.

两阶段隔震支座布置优化方法的流程如图1所示.

图1 两阶段隔震支座布置优化方法的流程Fig.1 Flow of the two-stage optimization method for isolated bearing layout

通过以上两个阶段,可把一个复杂的优化问题,转化为2个较为简单的优化问题.在第一阶段,隔震结构采用较为精确的三维有限元模型,优化参数选定为3个参数,既可保证隔震结构动力分析的结果准确,又可限定寻优区域较小从而快速得到优化结果.在第二阶段,利用已得到优化参数确定实际设计所需的隔震支座布置方案,在满足实际设计要求的同时保证方案为最优.

2 优化方法的具体实现

2.1 第一阶段——隔震层参数优化

2.1.1优化模型

目前国内的隔震层多由铅芯橡胶支座(LRB)和天然橡胶支座(LNR)组合而成,两类隔震支座的力学性能如图2所示.其中,ke为天然橡胶支座的刚度,α、k1和keq分别为铅芯橡胶支座的屈服后与屈服前刚度比、屈服前刚度和等效刚度,x1、x2分别为屈服位移和极限位移.这样,整个隔震层为以上两类支座的线性叠加,隔震层力学性能如图3所示.

图2 LNR和LRB的恢复力模型Fig.2 Restoring force model of LNR and LRB

图3 隔震层的恢复力模型Fig.3 Restoring force model of isolated layer

因此,本文选取隔震层的设计变量为

X=[KeqXoXm]

(1)

式中：Keq为隔震层的水平等效刚度；Xo为隔震层的屈服位移；Xm为隔震层的极限位移.

隔震结构设计需保证设防地震时结构的水平向减震系数满足设计目标,同时罕遇地震时各隔震支座水平位移不超过限值,此外,为保证隔震建筑的震后损失和功能维持,在罕遇地震下,上部结构的层间位移应尽可能小.也就是说,隔震结构的设计要满足以上3个目标,对于这样一个多目标优化问题,可将3个目标进行归一化处理,并认为各目标同等重要,将3个目标值进行平均,因此,目标函数为

(2)

式中：β为设防地震下隔震结构的水平向减震系数；βmax为水平向减震系数的限值.通常与非隔震结构相比,隔震工程上部结构的水平地震作用减少不宜超过1/4,再考虑支座性能偏差的调整系数ψ=0.8[11],因此取βmax=0.25×0.8=0.2；u为罕遇地震作用下,隔震支座的最大水平位移；umax为隔震支座的水平位移限值,依据《建筑抗震设计规范》的要求[11],umax=min(0.55D,3tr),D为支座的有效直径,tr为支座内部橡胶总厚度；θ为罕遇地震作用下,上部结构的最大层间位移角；θmax为罕遇地震作用下,上部结构的层间位移角限值,依据《建筑隔震设计标准》[12],钢筋混凝土框架结构θmax=1/100.

则约束条件为：

此外,隔震层的延性系数(μ=Xm/Xo)并不能随意选取,因此,对十多个实际隔震工程的隔震层参数进行统计,发现μ∈[10,30][13],故

10≤μ≤30

(4)

由此,可建立第一阶段隔震层参数优化模型,如式(1～4).

2.1.2优化方法及步骤

尽管以上优化模型中,目标函数和约束条件均与设计变量存在一定联系,但无法用函数关系式严格地表示出来,因此,难以构建出满足传统优化方法要求的数学模型,此外,对于复杂优化问题,传统优化方法很难给出全局最优解.因此,选用多种群遗传算法(multiple population genetic algorithm,MPGA)对该问题进行求解.多种群遗传算法通过扩展优化搜索种群,借助移民算子和人工选择算子,显著提高了遗传算法的局部和全局搜索能力,并增加了优化效率[14].

本文用MATLAB的Sheffield遗传算法工具箱和文献[15]给出的移民算子函数Immigrant()和人工选择算子函数EliteInduvidual()实现隔震层参数优化的MPGA求解,具体步骤如下：

1) 根据支座在重力荷载代表值下的竖向压应力限值要求,预判隔震支座直径大小,给出设计变量Keq、Xo及Xm的取值范围,用MATLAB的遗传算法工具箱,对各设计变量进行二进制编码形成位串,随机生成多个独立的初始种群；

2) 将各初始种群的参数解码后,传递到SAP2000,并与原上部结构组成隔震结构的三维动力分析模型,用SAP2000进行结构动力时程分析,求得各初始种群对应的结构响应；

3) 利用求得的各结构响应计算约束条件和目标函数值,若约束条件中有一个不满足,则采用惩罚策略,将目标函数值扩大数倍；

4) 将求得的目标函数值再传递到MATLAB遗传算法工具箱,经过编码得到种群中个体的适应度；

5) 对个体进行选择、交叉、变异以及移民运算,生成新种群,并在每个进化代中,借助人工选择算子筛选出各种群中的最优个体,保存在精华种群中；

6) 重复步骤2)～5),直至精华种群中最优个体的最少维持代数满足设定的终止条件,程序结束.

2.1.3SAP2000的动力分析及调用

隔震结构的动力分析采用三维有限元模型,因此,需要已知各隔震支座的力学性能参数.可依据隔震层力学性能来确定各隔震支座力学性能,本阶段优化目标为隔震层参数,故可假设隔震层仅布置了同一参数的铅芯橡胶支座,铅芯橡胶支座的力学模型为双线性,各隔震支座的力学性能与隔震层力学性能的关系为

式中:x1为隔震支座的屈服位移;x2为隔震支座的极限位移;N为隔震层的支座总数.

SAP2000在隔震支座参数设置时需要的给定支座的等效线性阻尼比和屈服前刚度,可依据以下公式求得[16]:

其中:α为隔震支座屈服前与屈服后的刚度比,一般为0.08～0.1[17],本文取0.1；μ为隔震支座的延性系数,μ=x2/x1.

这样,给定隔震层参数后,各隔震支座的力学性能参数就可按式(4～8)计算得到输入SAP2000,并与上部结构组成隔震结构的三维有限元模型,即可进行动力分析.

时程分析时需要输入地震波,在优化过程中,隔震层参数改变导致结构周期改变,为了满足输入地震动的频谱和持时等特征与结构模型匹配,需要不断改变输入的地震动,这不仅影响了优化效率,还使得时程分析的结果离散性较大.为了简化分析并保证地震波满足设计要求,本文在设防地震和罕遇地震时,分别输入一条标准人工波,标准人工波有足够的持时,且对应的反应谱与规范设计反应谱在各周期点的误差均小于5%,这样无论隔震层参数如何改变,标准人工波均可满足设计要求.

在整个优化过程中,需要优化算法和动力分析相结合,本文采用SAP2000应用程序接口SAP2000 API来完成.SAP2000 API是以函数库的形式组成,并支持C#、MATLAB和Python等多种编程语言,用户仅需调用SAP2000 API中函数即可完成有限元分析[18].因此,整个程序采用MATLAB进行编程,首先用MATLAB遗传算法工具箱,生成多个独立的初始种群,传递至SAP2000,利用SAP2000 API中的函数来实现打开已创建的上部结构模型、定义质量源、设置荷载工况、设定节点约束、定义支座属性、运算分析和输出结果等操作,再将结果传递至MATLAB,完成MPGA优化过程.

2.2 第二阶段——隔震支座布置优化

2.2.1优化模型

经过第一阶段的优化后,隔震层最优参数已确定,但在实际隔震工程中,各隔震支座并不完全相同,因此,需要根据已知隔震层最优力学性能参数,配置出不同型号隔震支座的参数和数量.因此,本文选取隔震支座布置的设计变量为

(10)

式中:zi表示第i种类型的隔震支座个数.支座类型由设计人员按照竖向压应力限值来选定.

要使实际的隔震支座布置达到最优效果,则实际的隔震层参数应与最优参数一致,且造价最低.对于这样一个多目标优化问题,本文取目标函数为隔震层造价最低,而将实际的隔震层参数与最优参数一致作为约束条件,使多目标优化问题转化为单目标优化问题.

目标函数为

(11)

式中:pi为第i种类型隔震支座的单价,支座价格与支座型号对应,从目前国内隔震支座市场报价来看,同直径的铅芯橡胶支座与天然橡胶支座价格基本相同,各型号的隔震支座价格约为15倍的支座直径,即直径400 mm的支座价格为6 000元,直径600 mm的支座价格为9 000元,以此类推.

实际隔震层参数是各隔震支座参数的线性叠加,要保证实际隔震层参数与最优参数一致,约束条件可写为

其中:Keq、ζeq和K1分别为隔震层等效刚度、隔震层等效粘滞阻尼比和隔震层屈服前刚度.Keq为第一阶段优化的结果,ζeq和K1需要依据第一阶段结果[KeqXoXm],依据式(8)和式(9)求得.

取屈服前刚度K1的误差不超过15%是为了避免约束条件过于严格,难以得到最优解.

此外,限定一个框架柱底仅设置一个隔震支座,即各型号隔震支座的总个数与柱总数相同,且选定的各型号隔震支座的个数不小于0,即：

由此,建立第二阶段隔震支座布置优化模型,如式(10～16).

2.2.2优化方法及步骤

从建立的优化模型可以看出,这是一个典型的线性规划问题,同时考虑求解的支座个数为整数,因此,可采用整数规划进行求解,具体步骤如下：

1) 根据支座在重力荷载代表值下的竖向压应力限值要求,初步选定隔震支座类型,并通过厂家给出的隔震支座参数表,确定初选的各型号隔震支座参数；

2) 依据式(10～16),建立该优化模型,用MATLAB优化工具箱的整数规划函数Intlinprog()解得各类型隔震支座的个数,若无解,返回1),重新初选隔震支座型号或参数；

3) 根据优化结果,设计人员确定隔震支座最优布置方案.

3 工程实例及优化分析

3.1 隔震工程概况

某实际隔震建筑为乙类建筑,地上5层,建筑高度18.6 m,上部结构为钢筋混凝土框架结构.设防烈度8度(0.3g),设计地震分组为第二组,场地类别II类.该结构的有限元模型如图4所示.隔震支座的力学性能参数如表1所示.原设计隔震支座布置如图5所示.

图4 隔震结构的有限元模型Fig.4 The finite element modes of the isolated building

表1 隔震支座力学性能参数Tab.1 Seismic performance parameters of seismic isolated bearing

图5 原设计的隔震支座平面布置图(mm) Fig.5 Original isolated arrangement of the isolated buildings(mm)

考虑到该设计结果要与优化结果进行对比,因此,选用优化时采用的标准人工波进行计算,得到上部结构的水平向减震系数为0.34,罕遇地震下各隔震支座的最大位移不超过248 mm,均小于容许位移0.55D=0.55×500=275 mm.同时,罕遇地震下各隔震支座均受压.

3.2 两阶段隔震支座布置优化过程及结果

对该工程采用两阶段隔震支座布置优化方法进行隔震支座布置方案设计.

首先,该建筑为乙类建筑,各支座竖向压应力限值为12 MPa,依据各柱底的重力荷载代表值,初选得隔震支座直径为400、500、600、700 mm,且各直径的支座可以采用两种类型：LNR和LRB,再依据已有的隔震支座参数表,确定出隔震层参数范围为：

(17)

其中,隔震支座布置中,各参数最小的情况是所有支座均为LNR400,各参数最大的情况是所有支座均为LRB700.

由于在实际隔震设计时,输入的隔震支座参数是以支座剪切变形为100%的滞回曲线为计算依据.当所有支座布置为LNR400时,隔震层的等效刚度为

当所有支座均为LRB700时,隔震层的等效刚度为

目标函数为

(18)

其中,由于初步选定的最大的隔震支座直径为700 mm,最小的支座直径为400 mm,umax取最小隔震支座对应的容许值,即min(0.55D,3tr),由表1可知,直径为400 mm的隔震支座橡胶总厚度为68.6 mm,则umax=min(0.55×400,3×68.6)=205.8mm.

约束条件为

(19)

将以上模型进行MPGA优化,最终MPGA进化代数和目标函数的关系如图6所示.

图6 MPGA进化过程Fig.6 Evolution process of MPGA

从图6可看出,优化结果运行7代后基本趋于稳定,说明该方法的优化效率较高.

最终得到的隔震层最优参数为

Keq=68.280 7 kN/mm
Xo=11.2 mm
Xm=119.9 mm

则隔震层等效阻尼比ζeq=0.208 4,隔震层屈服前刚度K1=325.375 kN/mm.

再进行第二阶段优化,考虑到直径700 mm的支座对应的压应力过小,因此,将实际布置的隔震支座类型限定为LRB400～LRB600和LNR400～LNR600,则第二阶段优化的设计变量为

Z=[z1z2z3z4z5z6]T

(20)

其中z1、z3、z5分别LRB400～LRB600的个数,z2、z4、z6分别为LNR400～LNR600的个数.

第二阶段优化的目标函数为

(21)

第二阶段优化的约束条件为

(22)

整数规划后得到的结果为

Z=[6 0 0 0 32 0]

(23)

即6个LRB400和32个LRB600.设计人员依据各隔震支座的竖向压应力,同时尽量对称均匀布置,使隔震层的偏心率较小,就可得到该工程优化后的支座布置方案,如图7所示.

图7 优化后的隔震支座平面布置图Fig.7 Optimized isolator arrangements of the isolated buildings

3.3 优化结果分析

与原设计方案相比,采用该优化的隔震支座布置方案后,上部结构的水平向减震系数由0.34减小至0.30,减小幅度为12%,罕遇地震下各隔震支座的最大位移由248 mm减小至195 mm,减小幅度约为21%.罕遇地震下各隔震支座均受压,因此,该优化的隔震支座布置方案除满足设计要求外,还可同时减小上部结构的层剪力和隔震支座位移,减震效果优于原设计方案.

优化方案与原设计方案的上部结构在罕遇地震下的最大层间位移角比较如表2所示.从表2可知,除1层X向外,优化方案各层的最大层间位移角均比原设计方案小,说明优化设计方案在罕遇地震下,对上部结构的保护要优于原设计方案.

表2 优化方案与原设计方案在罕遇地震下的最大层间位移角Tab.2 Inter-story drift ratio in the optimal and original schemes under strong earthquake

两方案的隔震层造价对比如表3所示.从表3可以看出,相比原设计方案,优化方案的隔震层造价增加约14%.但考虑到上部结构的减震优势,隔震层增加的造价仍可接受.由于本文给定的目标函数为隔震层造价及各减震参数权重相同,设计人员也可依据设计要求,调整目标函数中各参数的权重值,以得到更低造价的隔震支座布置方案.