无限大板焊接温度场解析解的实例分析

王 毅,殷 翔,周 凯,王新民,王晓军

(1.甘肃建投兰州新区建设管理有限公司,甘肃 兰州 730087;2.兰州理工大学 材料科学与工程学院,甘肃 兰州 730050)

在焊接过程中，由于热的输入和扩散，工件先后经历加热、熔化和随后的冷却过程，即焊接热过程.焊接热过程贯穿于整个焊接过程的始终，温度梯度引起焊接变形和应力，对焊接质量有决定性的影响，是焊接过程分析的最重要的理论基础[1].最早研究焊接热过程解析解的是美国的Rosenthal[2-3]和前苏联的Rykalin[4-5]，他们于20世纪40年代提出了移动热源在固体中的热传导模型，推导出了焊接温度场的解析解，完成了焊接热过程计算的经典理论—Rosenthal-Rykalin公式体系.焊接工作者在此基础上推导出瞬时集中热源作用下的温度场和移动线热源作用下的厚板和无限大板焊接温度场的解析解[6].

由于解析解方程比较复杂，现在关于焊接温度场的研究基本采用数值模拟法[7-12].本文根据数形结合的思想，准确绘制了无限大板温度场的三维分布图形和二维分布图形，形象地显示了无限大板焊接温度场的等温线和等温面，从而更清楚地表达了焊接热过程的温度分布.

1 理论分析

1.1 瞬时热源下的热传导

假设母材是均匀且各向同性的连续体介质，并且其材料物理参数的数值与温度无关时，根据能量守恒定律和傅里叶定律，可得到如下的导热微分方程[4].

(1)

式中：ρ为热导率,J/mm·s·K；с为比热容,J/g·K；λ为密度,g/mm3.定义热扩散率a=λ/cρ,并引入拉普拉斯算子▽2，则上式简化为

(2)

焊接薄板时为二维导热微分方程，即

(3)

求温度场问题，实质上归结为对导热微分方程的求解，不仅要求出数学通解，还要求满足实际问题的特解.一般来说，瞬态导热问题的定解条件有两个方面：初始时刻温度分布的初始条件以及物体边界上的温度或换热情况的边界条件.

1.2 瞬时线热源作用于无限大板时的温度场解析

如图1所示，设瞬时热源是集中作用于厚度为h的无限大板上某点的线热源Q，即相当于热量在该点处沿板厚方向以平均线能量Q1(其中Q1=Q/h)均匀输入.假定无限大板初始温度为0 ℃，求解距离热源中心r远的某点经过时间t的温度变化，此时可用二维导热微分方程来求解，在板上取一微元体hdxdy，此微元体则是轴和Oz重和的无穷棱柱体(如图1).可以推导出薄板瞬时集中线热源作用下的传热计算公式:

图1 瞬时线热源作用下的薄板Fig.1 Sheet with instantaneous linear heat source

(4)

1.3 移动线热源作用于无限大板时的温度场解析

焊接过程中，热源一般都是以一定的焊接速度移动并连续作用于工件上，瞬时固定线热源传热为计算连续移动热源传热提供了基础.根据叠加原理，当一系列热源共同作用时，热传播过程中的温度就可以看作为每一热源单独作用时的温度的总和.因此可以从瞬时热源作用下的温度场计算公式，来推导移动热源作用下的温度场计算公式，因为连续作用的移动热源可看成是无数个瞬时作用热源在不同瞬间的共同作用[4].

如图2所示，具有功率Q的线热源在板厚h上均匀分布，并以等速v0在平面x0O0y0上移动，无限大板的上下边界平面z0=0 mm和z0=hmm以传热系数a向零点温度的周围介质散热(如图2).移动线热源作用于无限大板的准稳定态方程为

图2 移动热源作用下的薄板Fig.2 Sheet with moving linear heat source

(5)

式中：r为所考查点距离热源轴线的距离，r2=x2+y2，x为点的横坐标;b是钢板表面散温系数;函数K0(u)是第二类零阶改进型贝塞尔函数.

2 实例分析

设无限大钢板参数为：初始温度T0=0 ℃，板厚h=10 mm，热扩散率a=10 mm2/s，钢板表面散温系数b=0.002 8 s-1，热导率λ=0.042 J·(mm·s·K)-1，线热源热输入q=4.2 kJ/s，焊接速度v0=1 mm/s.将数据代入方程(5)，得

(6)

所以

(7)

方程(7)即为焊件表面上的温度分布函数，显然温度分布关于直线y=0 mm对称，即x轴对称.采用Mathematica 5.0软件的三维画图函数Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 画图.在Mathematica 5.0软件中输入Plot3D[5 000*Exp[-x/20]*BesselK[0,Sqrt[(x^2+y^2)*0.002 78]]/[Pi],{x,-100,50},{y,-40,40}]得到移动线热源作用于无限大板表面的温度分布，如图3所示.此图关于直线y=0 mm对称.

图3 移动线热源作用下焊件的表面温度分布 Fig.3 Surface temperature distribution of weldment under moving line heat source

在方程(7)中，令y=0 mm，利用Mathematica5.0软件的二维画图函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]作出T-x曲线.在Mathematica 5.0软件中输入函数Plot[5 000*Exp[-x/20]*BesselK[0,Sqrt[(x^2)*0.002 78]]/[Pi],{x,-100,50}]，得y=0 mm时的T-x曲线.同理，可以得出y=6 mm，y=12 mm，y=24 mm，y=36 mm时的T-x曲线，如图4所示.这些曲线均是图3与y=0 mm，y=6 mm，y=12 mm，y=24 mm，y=36 mm等平面的交线，类似于图3网格线中的水平线.发现这些曲线均先升高再降低，升高速度是先慢后快再慢，降低速度是先慢后快再慢，并且降低速度明显快于上升速度.最高点的位置随着y值的增大缓慢向左移动.

图4 焊件上表面不同位置沿x方向的温度分布Fig.4 Surface temperature distribution of weldment along x direction

在方程(7)中，令x=0 mm，利用Mathematica5.0软件的二维画图函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]作出T-y曲线.在Mathematica 5.0软件中输入函数Plot[5 000*BesselK[0,Sqrt[(y^2)*0.002 78]]/[Pi],{y,-60,60}]，得x=0 mm时的T-y曲线.同理，可得x=+6 mm，x=-36 mm，x=-60 mm，x=+12 mm，x=-120 mm时的T-y曲线，如图5所示.这些曲线均是图3与x=0 mm，x=+6 mm，x=-36 mm，x=-60 mm，x=+12 mm，x=-120 mm等平面的交线，类似于图3网格线中的竖直线.发现这些曲线均关于直线y=0 mm左右对称.当y=0 mm时具有最大值，左侧升高部分增大速度先慢后快再慢.

图5 焊件上表面不同位置沿y方向的温度分布Fig.5 Surface temperature distribution of weldment along y direction

在方程(7)中，取T=1 600 ℃，由于无法分离变量x和y，只有应用Mathematica5.0软件的函数FindRoot[lhs==rhs，{x，x0}]，首先求解超越方程y=0 mm时的特殊解x1，x2(假设x1

图6 焊件表面的等温度线分布Fig.6 Isotherm distribution on the surface of weldment

可以通过等温线求得液态熔池表面大小，假设熔池的边界温度是1 538 ℃，在Mathematica 5.0软件中输入函数FindRoot[5 000*Exp[-x/20]*BesselK[0，Sqrt[(x^2)*0.002 78]]/[Pi] =1 538，{x，1}]求得x=1 mm附近的值x=6.09 mm，再输入函数FindRoot[5 000*Exp[-x/20]*BesselK[0，Sqrt[(x^2)*0.002 78]]/[Pi] =1 538，{x，-1}]求得x=-1 mm附近的值x=-24.07 mm，这样就可以求得T=1 538 ℃等温线与x轴的两个交点坐标(-24.07,0)和(6.09,0)，也就是熔池前后端的坐标位置，计算得到熔池的表面长度L=6.09 mm+24.07 mm=30.16 mm.同理可得熔池的表面宽度为22.13 mm.

3 结论

1) 绘制了无限大板的焊接温度场的三维图形和二维图形,相关参数为：初始温度T0=0℃，板厚h=10mm，热导率λ=0.042J·(mm·s·K)-1，热扩散率a=10 mm2/s，焊接速度v0=1 mm/s，钢板表面散温系数b=0.002 8s-1，线热源热输入q=4.2 kJ/s.

2) 求得了无限大板的焊接熔池的表面形状和尺寸，相关参数为：初始温度T0=0 ℃，板厚h=10 mm，热扩散率a=10 mm2/s，钢板表面散温系数b=0.002 8 s-1，线热源热输入q=4.2 kJ/s，热导率λ=0.042 J·(mm·s·K)-1，焊接速度v0=1 mm/s.