外激波摆动活齿传动齿形设计与分析*

李建宏 王士军 李家鹏 王 剑 徐传法 王 冉

（山东理工大学机械工程学院，山东 淄博 255000）

活齿传动是一种用来传递两同轴间回转运动的机械传动，它具有结构紧凑、传动比范围广、承载能力强和传动效率高等优点[1]，应用领域十分广泛。

近年来，国内外学者对内激波活齿传动的中心轮齿廓方程及特性[2−4]进行了丰富的研究，对外激波形式的活齿传动研究相对较少。孙玉鑫等人[5]提出一种新型的外波式活齿减速器；宜亚丽等人[6]对摆线凸轮外激波摆杆活齿传动齿形进行了探究；廖振兴等人[7]研究了外激波滚柱活齿齿廓构建与特性。豆林瑞[8]对外激波摆杆活齿传动做了齿形构建与性能分析。但是目前尚未有文献对外激波摆动活齿进行研究。

外激波相比内激波活齿传动具有性能更加优良、便于加工以及传动效率更高等优点，对其研究将会十分有意义。本文提出了外激波摆动活齿传动并对其中心轮齿形展开研究。利用外激波与摆动活齿的等效机构和齿廓包络机理,推导出了中心轮的理论齿廓方程与实际齿廓方程,并解析了中心轮齿形变化与实际齿廓方程中各参数之间的关系。推导出了中心轮理论齿廓的曲率方程,并通过实例验证了曲率的规律性。

1 传动原理

如图1所示为外激波摆动活齿传动的结构简图。其结构组成包括H外激波器、K中心轮、G活齿架、T摆动活齿和M活齿柱销。输入轴与输出轴在同一轴线上，外激波器以偏心距离S与输入轴相连接，活齿架与输出轴同轴线相连接，中心轮的几何中心在输入、输出轴的轴线上，并固定安装。给输入轴一个驱动力，输入轴带动外激波器绕O旋转。因为此外激波器为偏心装置，径向尺寸会改变，导致摆动活齿绕转动中心O2旋转。此时，中心轮固定安装，会反推摆动活齿，摆动活齿又带动活齿架以等角速度ωk旋转。

图1 外激波摆动活齿传动的结构简图

以一齿差外激波摆动活齿传动为例进行研究，根据转角分析法得到外激波摆动活齿传动比为

式中：ZK为中心轮齿数；ZG为摆动活齿个数。

当ZG>ZK，即ZG−ZK=1时，，外激波器与活齿架同向；当ZG

2 中心轮齿廓方程的建立

对外激波摆动活齿传动进行高低副替代，并且保证替代后，机构的自由度、运动情况与替代前相同。根据结构原理和等效机构可知：激波器为曲柄，曲柄长度为偏心距S；激波器的几何中心O1到摆动活齿几何中心A为连杆b，b=R−r；摆动活齿的几何中心A到转动中心O2为摇杆c；激波器转动中心O到摆动活齿转动中心O2的距离为机架d。当四杆机构有这样的关系：b=d，S=c，则等效机构就演化成平行四边形机构。当外激波器转过角度θ1时，活齿架转过角度θ2。则摆动活齿几何中心A的轨迹为中心轮的理论廓线。由图2可得到A点的坐标方程，即中心轮的理论廓线方程式为

图2 外激波摆动活齿传动的等效机构

中心轮的理论齿廓是摆动活齿的几何中心扫过的曲线，而实际齿廓是理论齿廓以摆动活齿半径r为偏距的内等距曲线，根据齿廓包络机理可得中心轮的实际齿廓方程为

式中：r是活齿半径；ξ是摆动活齿和中心轮啮合处公法线与Y轴的夹角，ξ可由下式求得。

设激波器偏心距S=3 mm，传动比，摆动活齿半径r=15 mm，活齿架半径d=95 mm。运用MATLAB软件对式（4）和式（5）编程得到中心轮的理论廓线和实际廓线，如图3所示。此实例证明推导出的中心轮理论和实际齿廓方程是正确的。

图3 中心轮理论廓线与实际廓线

3 参数对中心轮齿廓的影响

3.1 外激波器偏心距S对中心轮齿廓的影响

如图4所示为外激波器偏心距S对中心轮齿廓的影响。从图中可以发现：当活齿架半径d=b=95 mm，传动比，摆动活齿半径r=15 mm，偏心距S由3 mm增加至7 mm过程中，中心轮齿廓齿顶变尖，齿根部分变凹。说明偏心距S的大小对中心轮齿廓影响较大，并且随着S增大，会发生顶切现象。所以外激波偏心距S的选取不宜过大。

图4 外激波器偏心距S对中心轮齿形的影响

3.2 活齿架半径d对中心轮齿廓的影响

如图5所示为活齿架半径d对中心轮齿廓的影响。在图中可以看到：当偏心距S=3 mm，传动比，摆动活齿半径r=15 mm，随着活齿架半径d增加，中心轮的齿廓曲线变得更加平滑，曲率半径增大，从而中心轮的接触强度也有所提高。

图5 活齿架半径d对中心轮齿廓的影响

3.3 传动比对中心轮齿廓的影响

图6 传动比对中心轮齿廓的影响

4 中心轮齿廓曲率分析

4.1 中心轮齿廓曲率方程推导

由式（4）和式（5）可以发现，如果直接求解中心轮齿廓曲率，计算过程极为复杂。中心轮的工作廓线为理论廓线的内等距曲线，所以其工作廓线的曲率半径与理论廓线的曲率半径相差摆动活齿的半径r，这样分析实际廓线曲率可以简化为分析理论廓线曲率。

根据曲率公式可得中心轮理论廓线曲率

式中：x′，x′′分别为式（3）中x的一阶导数和二阶导数；y′、y′′分别为式（3）中y的一阶导数和二阶导数。

由式（3）可以求出

代入式（6）整理得

则中心轮理论廓线的曲率半径为：

中心轮实际廓线的曲率半径为

其中：齿廓的凹线段取“+”，齿廓的凸线段取“−”。

4.2 中心轮齿廓曲率分析实例

设外激波摆动活齿传动齿形设计参数如表1所示，根据式（3）和式（7），利用MATLAB软件编程计算，得到图7所示中心轮理论齿廓曲率变化规律图。

表1 设计参数

图7 中心轮理论齿廓曲率变化规律图

从图7和图8可以发现：中心轮理论齿廓曲率在齿顶位置达到最大值0.035 7，在齿根位置达到最小值−0.002 7。得到最大曲率值后可以判断中心轮齿廓是否与摆动活齿发生干涉。

图8 中心轮实体曲率分析图

故可以判断以上中心轮齿廓符合要求。

5 结语

利用外激波与摆动活齿的等效机构和齿廓包络机理，推导出了中心轮的理论齿廓方程与实际齿廓方程，并对中心轮齿形展开研究，得到以下结论。

（1）其他参数不变，外激波偏心距S由3 mm增加至7 mm过程中，中心轮齿廓齿顶变尖，齿根部分变凹。说明偏心距S的大小对中心轮齿廓影响较大，并且随着S增大，会发生顶切现象。所以外激波偏心距S的选取不易过大。

（2）其他参数不变，随着活齿架半径d增加，中心轮的齿廓变得更加平滑，接触强度会得到增强。

（3）其他参数不变，当摆动活齿个数ZK增大时，中心轮齿廓齿顶逐渐变尖，曲率半径减小。

（4）根据曲率公式推导出中心轮理论齿廓的曲率和曲率半径公式，进而得到工作廓线的曲率半径公式。并通过实例分析了齿廓曲率的变化规律，验证了所设计的中心轮齿廓符合要求。