基于H2和H∞鲁棒优化的双馈感应发电机的二次调频策略

崔俊涛，许 岩，文福栓

（1.兰州资源环境职业技术大学，甘肃兰州 730021；2.浙江大学，浙江杭州 310027）

0 引言

在传统的最大功率跟踪控制（Maximum Power Point Tracking，MPPT）下，双馈感应发电机（Doublyfed Induction Generator，DFIG）失去了类似于同步发电机的惯性响应能力与调频能力，高渗透率风电接入电力系统势必导致电网惯性降低、调频能力不足等问题[1]。为此，国内外的电网并网导则中均明确指出并网风电机组须提供调频辅助服务[2]。

现有研究更多关注于风电机组的一次调频控制策略，鲜有文献报道风电机组参与二次调频控制策略。因此，合理解决变速风电机组的频率控制问题，在兼顾稳定性前提下使得风电机组具备类似于同步发电机的二次调频能力，将是未来风电调频技术需要进一步深入研究的方向[3]。

为了使风力发电机能够参与调频，首先要求风力发电机工作在偏离最大功率追踪点，即减载运行点[4-5]，使得DFIG 具有一定的备用容量。当扰动使得系统频率下降时，通过调节风机转子的转速提高风力发电机的有功输出[6]。目前，利用风力发电机参与调频的方法有2 种：（1）引入下垂控制[7-9]，并通过根轨迹分析法给出了使得系统稳定的下垂系数选择方法；（2）通过合成惯性系数[10-12]，使得风力发电机具有类似传统发电机的惯性响应特性。

当单个DFIG 参与调频时，可使下垂系数足够大从而使频率偏差恢复为0。但当多个DFIG 参与调频时，下垂系数只能调节各DFIG 参与调频的容量比例，无法实现理论频率偏差为0。因此，本文在下垂控制基础上引入辅助控制以实现二次调频，从而使系统的理论频率偏差为0。由于风速的随机变化会导致DFIG 有功输出的变化，在风电穿透率高的情况下会对频率造成很大影响。为了保证系统频率对风速变化的弹性，本文采用鲁棒控制[13]来实现二次调频功能。以H2和H∞为性能指标设计辅助控制器，减弱风速变化对系统频率的影响。并根据Lyapunov 稳定性分析，利用商业求解器Mosek 以线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）为约束条件，求解辅助控制器参数。最后，通过对单区域负荷频率控制模型的仿真计算，分别在恒定风速和变风速情况下验证了所提辅助控制器的有效性。

1 DFIG下垂控制

本文假设DFIG 与传统同步发电机并联运行。此时由于DFIG 不参与调频，工作在最大功率运行点如图1 所示，其中，P为风力发电机功率；ωr为风力发电机转子转速。

图1 DFIG运行点Fig.1 Operation points of DFIG

目前大多数汽轮发电机和水轮发电机都装设有调速装置。该调速装置的功能是监控发电机转速并控制节流阀。节流阀可以调节汽轮机的进气量或水轮机的导叶位置，从而改变两者的输出机械功率，进而影响系统频率的变化。因此DFIG 并不对频率变化产生响应[14-15]。

为了使得风力发电机具有一定的备用容量实现调频，可以设置风机运行在非最大功率点[16]。假设最大功率运行点处的输出功率为Pw，如图1 所示为10%减载运行点，减载系数为Kde。则风机减载运行点输出功率Pde表示为：

稳态时风机输入的最大机械功率Pm表示为：

为了实现DFIG 的下垂控制，可使DFIG 的有功输出与系统频率呈线性下垂关系：

式中：Kd为下垂系数，且Kd＜0；和ωm分别为系统额定频率和实际频率；Pg为风力发电机的输出的电功率。

当负荷增加时，由于系统功率不平衡导致额定频率下降。此时可调节下垂系数来调节输入DFIG的机械功率，使系统频率恢复到额定值。在只有1台DFIG 参与调频时，下垂系数的绝对值可大于1，此时通过调节下垂系数可使系统频率偏差为0[17-18]；当多台DFIG 参与调频时，令下垂系数的绝对值小于1，可使各台发电机按比例分担负荷的变化参与调频，此时，调节下垂系数只能使系统频率偏差在一个预设范围内。

风电场由若干台风力发电机组成。忽略对单台风力发电机的调频控制，把风电场等效为一个DFIG 模型。由于电压调节环节与调频为弱相关，因此可忽略无功控制。另外，桨距角控制环节只在风力发电机输出有功达到额定值时起作用，这里假设风力发电机的转子速度不超过额定转速，从而忽略桨距角控制。

风力发电机从风能中获取的功率可表示为[19]：

式中：νw为风速；θP为桨距角；ρ为空气密度；CP为风能利用系数，Ar为转子扫过的区域面积；λ为叶尖速比，并且数值上等于ωrr/νw，r为桨叶半径。

DFIG 的转子运动方程可表示为[20]：

式中：Hm为转子惯性常数。

将式（1）—式（3）带入式（5）可得：

式（6）即为DFIG 实现下垂控制参与调频的转子方程，该方程为非线性方程。为了研究下垂系数对系统频率的影响，假设DFIG 运行在减载运行点Pde，将式（6）线性化得到：

式中：ΔPw为风力发电机从风能中获取的功率变化；ΔPg为风机输出电功率的变化；Δωr为DFIG 转子转速增量；Δvw为风速的变化。

其中，α1，α2，α3分别为：

2 单区域负荷频率控制模型

本文通过单区域负荷频率控制模型[21]验证DFIG实现下垂控制和辅助控制的有效性，如图2 所示。

图2 单区域负荷频率控制模型Fig.2 Single zone load frequency control model

其中，KP为电网模型增益，TP为电网模型时间常数，TT为汽轮机时间常数，TG为调速器时间常数，R为用百分值表示的发电机组的调差系数，Δf为频率偏差增量，ΔPd为负荷干扰，ΔXg为调节阀位置增量变化，s为复参变量，u1，u2为辅助控制输入信号，F为满足H2性能和H∞性能的传递函数矩阵。

为了在下垂控制的基础上实现辅助控制使得系统频率偏差为0，式（3）改写为：

式（11）等号右边第二项为通过下垂控制实现的一次调频功能；第三项为辅助控制实现的二次调频功能。实际中，Pm是通过转子侧逆变器电流的控制获得的DFIG 输入机械功率。因此，在转子侧逆变器控制中加入式（11）等号右边第二项和第三项就可以实现DFIG 参与调频的功能，如图2 中红色部分所示。

3 DFIG辅助控制器设计

当多台DFIG 参与调频时，下垂控制实现功率在各DFIG 的分配。为了实现频率偏差为0，需要额外的辅助控制。另外，由于风速和负荷的随机变化[22]，需要辅助控制器抑制这些扰动对调频的影响。因此，采用H2/H∞控制方法设计控制器，有效兼顾系统抗干扰能力和闭环控制性能，确保在负荷等外部因素扰动下系统鲁棒稳定性，保证闭环系统具有动态稳定性能。

3.1 H2与H∞性能指标

控制系统设计的基本任务是求一个反馈控制器的传递函数矩阵使得闭环系统保持稳定性和具有满意的系统性能。闭环系统首先必须是稳定的，在稳定的基础上，再追求系统满足一定的性能要求[23]。

图3 所示为标准控制系统模型。其中，d为扰动输入信号，z为输出评价信号，y为输出量测信号，u为控制输入信号，各信号均为向量值信号，G为广义被控对象的传递函数矩阵。

图3 标准控制问题框图Fig.3 Block diagram of standard control problem

基于图3，在使闭环系统在稳定的同时，使从d到z的闭环传递函数矩阵G（s）的H2范数达到极小，对于线性时不变系统，其状态空间描述为：

式中：x为系统状态向量，如发电机转子角、调速器阀位置等，如负荷变化或风速变化；y为系统的测量输出向量，如节点功率，节点电压幅值和相角等；A为系统矩阵；B为控制矩阵；C为输出矩阵。

则有：

式中：（SI-A）-1B为输入-状态传递函数矩阵。

求解以下Lyapunov 方程：

式中：X为系统状态矩阵。

并将解代入可求得G(S)的H2范数为：

其中，X满足方程:

对于一般扰动输入信号d，系统输出信号的能量表示为:

式中：‖y‖2为系统的H2指标；‖d‖2为扰动信号的能量；γ为系统的H∞指标。

由式（17）可以看出，γ越小，系统对扰动信号能量的放大作用越小，可以利用该指标使得系统频率对风速变化造成的功率不平衡具有一定的弹性。

3.2 系统的H2与H∞混合控制

根据图2 单区域负荷频率控制模型，可将线性反馈控制系统的空间状态描述为：

式中：z1为H∞性能指标输出信号；z2为H2性能指标输出信号，这里取为系统频率偏差信号；B1为H∞的控制矩阵；B2为H2的控制矩阵；C1为H∞的输出矩阵；C2为H2的输出矩阵。

根据设计思路，使系统在式（18）的基础上满足如下目标函数：

根据Lyapunov 稳定性分析，式（19）优化问题可以转化为[24]：

式中：I为单位阵。

其中，Acl=A+B2FC；式（20）为满足H∞性能指标的线性矩阵不等式；式（21）和（22）为满足H2性能指标的线性矩阵不等式；“＜0”或“＞0”表示矩阵的特征值小于0 或大于0。

通过Mosek 软件采用内点法求解基于式（20）—式（22）的优化问题即可求得满足H2性能和H∞性能的传递函数阵F。

4 仿真分析

本文针对单区域负荷频率控制模型进行研究，模型参数为：Tp=20 s，Kp=120，TT=0.3 s，TG=0.08 s，R=2.4。风速νw=14.5 m/s，此时等效DFIG 的减载运行点输出有功功率为11.43 MW；减载系数Kde为10%。其他与DFIG 有关的参数为：θp=0，ρ=1.225 kg/m3，r=75 m，Hm=3 MJ/MVA，Cp=0.45。通过仿真验证所提辅助控制的有效性。

4.1 下垂控制分析

图4 给出恒定风速时，不同下垂系数对DFIG参与调频的影响。

图4 风速为14.5 m/s时下垂系数Kd对频率偏差的影响Fig.4 Effect of Kd on frequency deviation with constant wind speed of 14.5 m/s

从图4 可以看出，当DFIG 不参与调频时，由于负荷在0 时刻增加0.2 p.u.，系统频率偏差无法回到0，并且偏差保持在0.5 Hz 左右；当DFIG 参与一次调频，Kd=10 时，系统频率偏差变小，为0.4 Hz 左右；当Kd=0.005 时，系统在0 附近发生振荡，并最终为0。尽管下垂系数选取小于1 的值时可使频率偏差为0，但当多台DFIG 参与调频时无法实现负荷分配。当下垂系数选取大于1 的值时，DFIG 参与调频可减小系统频率偏差，但无法使得频率偏差为0。因此，当多台DFIG 参与调频时，需要考虑辅助控制使得频率偏差为0。

为了研究风速变化对下垂控制的影响，本文采用韦布分布生成风速序列。韦布分布表示为：

式中：vw为风速；c为标度因子，设为5；k为形状因子，设为2。

图5 为由韦布分布生成的风速随时间的变化序列。由于风速下降导致DFIG 有功输出减小，对系统频率稳定影响较大[25-26]，因此选取红色圈出部分作为最坏情况研究风速下降对DFIG 调频的影响。由图5 可以看出，圈出部分风速在3 s 内从14.5 m/s 降低到7.5 m/s，降幅最大。

图5 韦布分布生成的风速序列Fig.5 Wind speed series generated by Weibull distribution

图6 给出了风速从14.5 m/s 跌落到7.5 m/s 时系统的频率响应。

图6 风速为从14.5 m/s跌落到7.5 m/s时下垂系数Kd对频率偏差的影响Fig.6 Effect of Kd on frequency deviation with wind speed decreasing from 14.5 m/s to 7.5 m/s

由图6 可以看出，在DFIG 不参与调频时，系统频率偏差最大为2 Hz 左右。在DFIG 参与调频时，通过调节相应的下垂系数，如Kd=10 和Kd=0.005，系统的频率偏差分别缩小到1.7 Hz 和0 Hz 左右。因此DFIG 经过下垂控制可对系统频率起到调节作用。

4.2 辅助控制分析

图7 给出了当风速从14.5 m/s 跌落到7.5 m/s时，DFIG 增加辅助控制时的仿真结果，其中下垂控制系数Kd=10。当无辅助控制输入信号时，通过下垂控制作用，使得系统频率偏差减小为0.16 Hz。当辅助控制作用时，系统频率偏差可保持为0。因此，系统加入辅助控制有利于系统频率恢复，系统频率偏差可以恢复到0。

图7 风速为从14.5 m/s跌落到7.5 m/s时辅助控制对频率偏差的影响Fig.7 Effect of supplementary control on frequency deviation with wind speed decreasing from 14.5 m/s to 7.5 m/s

图8 给出当风速从14.5 m/s 下降到7.5 m/s 的同时，在0.5 s 负荷需求增加0.2 p.u.的仿真结果。由图8 可以看出，增加的负荷需求进一步恶化了系统频率偏差，使其最大达到2.5 Hz 左右。在增加辅助控制后，系统频率缩小到0.01 Hz 左右。因此，辅助控制可以实现减小频率偏差的作用。

图8 风速为从14.5 m/s跌落到7.5 m/s并且负荷扰动为0.2 p.u.时辅助控制对频率偏差的影响Fig.8 Effect of supplementary control on frequency deviation with wind speed decreasing from 14.5 m/s to 7.5 m/s and load disturbance 0.2 p.u.

5 结语

本文研究了DFIG 接入电网时的频率稳定问题。多台DFIG 参与调频时，下垂控制并不能使频率偏差为0。因此本文在DFIG 转子模型引入了辅助控制环节，实现多台DFIG 参与调频时频率偏差为0。此外，将辅助控制器的设计问题转化为以H2和H∞为性能指标的优化问题。通过仿真研究验证了该辅助控制器可使系统的频率偏差在受到负荷扰动时为0；当风速在短时间大幅跌落时，该控制器仍能维持系统频率。