用q-差分算子定义的某些解析函数的性质

王 波,刘金林

(扬州大学数学科学学院,江苏 扬州 225002)

0 引言

q-微积分由其重要的应用而影响了一些其他学科领域的发展,许多学者在这方面上做了大量研究.F.H. Jackson[1-2]引入并研究了q-导数和q-积分,H.M. Srivastava[3]在几何函数理论中利用q-微积分引入q-超几何函数,G. Gasper等[4]研究并定义了基本超几何级数.最近,一些学者[5-16]研究了用算子定义的解析函数的性质.在上述研究的基础上,本文利用q-差分算子和Janowski函数[17]定义多叶解析函数的一个新子类,给出类中函数的充分必要条件、系数估计、偏差定理、增长定理、凸性半径、星形性半径等几何性质.

1 预备知识

设Ap表示在单位圆D={z∈C:|z|<1}内解析且形如

的函数构成的函数类.特别地,当p=1时,记A=A1.

设f(z)和g(z)在单位圆D内解析,若存在Schwarz函数w(z),使得g(z)=f(w(z))(z∈D),则称g(z)从属于f(z),记为g(z)f(z).特别地,若f(z)是单叶解析函数,则g(z)f(z)⟺g(0)=f(0),g(D)⊂f(D).

定义1设函数p(z)在D内解析,p(0)=1.若p(z)(1+Az)/(1+Bz)(-1≤B

定义2设q∈(0,1),定义q-数如下:

特别地,当λ=0时,记[0]q=0.

定义3设q∈(0,1),f′(0)存在,定义q-差分算子

从定义3可以看出

其中[p]q=(1-qp)/(1-q)=1+q+q2+…+qp-1.

定义4设f(z)∈Ap,-1≤B

则称f(z)∈Sp,q(α,A,B).

由定义4可得如下等价关系:

([p]q[p-1]qf(z)))|<1.

(1)

特别地,当参数α、A、B、q、p取特定值时,Sp,q(α,A,B)分别为4个已知重要函数类:

(iv)当α=0,A=1,B=-1,q→1-,p=1时,f(z)∈S*,S*表示单叶星形函数类.

2 主要结果

(2)

证假设不等式(2)成立,要使f(z)∈Sp,q(α,A,B),只需不等式(1)成立.由于

从而f(z)∈Sp,q(α,A,B).

反之,若f(z)∈Sp,q(α,A,B),由定义4知,f(z)满足不等式(1),即

(3)

因为不等式(3)对所有的z∈D均成立,所以令z=Rez→1-可得不等式(2).

综上所述,定理1得证.

由定理1得到如下系数估计.

|ap+n|≤(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q/((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q)(n=1,2,…).

结果是精确的,极值函数为

f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+n/

((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).

[p]qrp-1-τ1rp≤|∂qf(z)|≤[p]qrp-1+τ1rp,

其中τ1=(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q[p+1]q/

((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).结果是精确的,极值函数为

f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+1/

((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q).

因为|z|=r<1,所以rp+n-1≤rp,故

(4)

同理可得

(5)

因为f(z)∈Sp,q(α,A,B),所以,由定理1得

从而

因此

从而

(6)

将式(6)代入式(4)和式(5),定理2得证.

利用定理2的证明方法可以得到如下增长定理.

rp-τ2rp+1≤|f(z)|≤rp+τ2rp+1,

其中τ2=(1-α)(A-B)[p]q[p-1]q/((1+B)·[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)·[p]q[p-1]q).结果是精确的,极值函数为

f(z)=zp-(1-α)(A-B)[p]q[p-1]qzp+1/

((1+B)[p+1]q(α[p]q-[p-1]q)+(1-α)·(1+A)[p]q[p-1]q).

有f(z)∈Cp(σ).

证设f(z)∈Sp,q(α,A,B),要使f(z)∈Cp(σ),只需

(1+zf″(z)/f′(z)-σ)/(p-σ)(1+z)/(1-z),0≤σ

上式等价于|(zf″(z)-(p-1)f′(z))/(zf″(z)+(1-2σ+p)f′(z))|<1,化简后得

(7)

由不等式(2)得

因此,若不等式(7)成立,则只需

即

|z|n

也就是

|z|<(p(p-σ)((1+B)[p+n]q(α[p+n-1]q-[p-1]q)+(1-α)(1+A)[p]q[p-1]q)/((p+n)(n+p-σ)(1-α)(A-B)[p]q·[p-1]q))1/n.

定理4得证.

利用定理4的证明方法可得到在Sp,q(α,A,B)中函数的星形性半径.

3 结束语

q-微积分在经典的几何函数论中有着广泛应用,如通过q-微积分研究q-超几何函数级数.本文利用q-差分算子和Janowski函数引入多叶解析函数的一个新子类,通过给出该类子族解析函数的充分必要条件,得到了该类子族的系数估计、偏差定理、增长定理和星形半径等几何性质.