基于模糊二叉树改进的自由现金流估价模型

韩晓晨，付佳君，赵 聪

（1.辽宁工程技术大学 工商管理学院，辽宁 葫芦岛 125105；2.辽宁工程技术大学 会计研究院，辽宁 阜新 123000）

0 引言

20 世纪70 年代，约翰·考克斯和斯蒂芬·罗斯通过研究推导期权定价公式，阐述了风险中性理论.该理论所表现的衍生证券定价微分方程中未涉及关于投资者风险态度的变量，特别是期望收益率变量[1].风险中性理论的思想主要在于构建风险中性环境，无论投资者个人的风险偏好程度是否相同以及期望收益率水平差异大小，均使用风险中性偏好以及无风险利率变量进行替换处理[2].李伟[3]等把模糊理论与传统二叉树模型进行结合，研究了不确定条件下期权定价问题.郑征[4]等将复合实物期权理论引入初创企业价值研究，优化传统估值方法.BARANOVA M P[5]等基于改进的Modigliani-Miller 模型对能源企业进行价值评估分析.曲心怡[6]将宏微观环境和商业模式等因素引入到传统自由现金流（FCFF，Free Cash Flow for the Firm）模型中，对在线教育行业进行适用性评估.虽然学者们关于价值评估问题做了一定研究，但有关改进零售企业价值评估模型的研究较少.将模糊二叉树期权定价引入到FCFF 模型中，将自由现金流进行动态化处理，并应用于武商集团这一零售企业，以确定改进模型能够提升零售企业价值评估的准确性.

1 传统价值评估模型分析

1.1 FCFF 模型分析

目前在对企业进行价值评估时应用最普遍、理论上最完善的模型是现金流折现模型，该模型体现增量现金流原则以及时间价值原则[7-8]，企业价值通过预测期价值和后续期价值进行评估为

式中，V0为企业价值，元；Ft、Fn+1分别为第t年和第n+1 年的企业自由现金流，元；W为加权平均资本，元；gn为第n年后长期增长率.

公司自由现金流等于息前税后利润加上折旧摊销费用，减去资本支出与营运资金增加额.

式（2）、式（3）中，Ke为权益资本成本，元；Kd为债务资本成本，元；E为权益市场价值，元；D为债务市场价值，元；tcit为所得税率；Rm为市场收益率；Rf为无风险利率；β为企业的系统风险系数.

尽管自由现金流评估法考虑了货币的时间价值，但是该方法依然是静态价值评估方法，忽视了自由现金流和折现率的动态变化.

1.2 二叉树期权定价模型分析

二叉树模型是一种动态模型，其构建基础是标的资产会根据时间离散情况展开价值运动，并且描述标的资产的价值变动情况[9].该模型原理图见图1.

图1 单期二项式定价模型原理Fig.1 schematic of single-phase binomial pricing model

二叉树期权定价模型中，S0为股票现行价格，Su为股票上行价，Sd为股票下行价，在下一期，资产的价值可能是Suu、Sud、Sdd，观察期内，股价上升与下降的概率与变动幅度不会变化.对企业价值评估时需要考虑市场环境、消费者需求倾向等影响较大的不确定性因素[10-11]，因此需要对评估模型进一步修正.

2 基于模糊二叉树改进的FCFF 模型

充分考虑评估中的多种不确定性情况，将FCFF 设置成为动态现金流，假定企业营业收入波动是模糊数.使用抛物型模糊数表现企业营业收入变动的上升和下降过程，同时获取风险中性概率，将其设定为一个模糊区间，从而有效评估出企业价值上升和下降的范围.投资者可以借助模糊二叉树模型寻找出能够接受的置信区间，因而拥有合适的模糊价格范围，依据相关数据选择恰当的投资策略.

根据二叉树期权定价理论，在风险中性假设的前提下，建立营业收入二叉树模型，确定上行乘数u与下行乘数d，并对其进行模糊区间的设定，因而能够充分考虑到零售业的不确定性，此外，还能估算出企业价值当前变动及未来发展的整体范围.单期二叉树原理的变动情况见图2.

图2 单期二叉树原理变动Fig.2 variation of single-phase binary tree principle

2.1 L-R 模糊数和抛物型模糊数

若M为L-R 型模糊数，其隶属函数为

式（4）中，L、R是参考函数，L是左枝，R是右枝；α、β表现的是左展形和右展形；为模糊数M中变量x取值范围的临界值.

抛物线模糊数是L-R 模糊数的一种特殊形式，梯形模糊数、三角模糊数是n次抛物型模糊数的特殊形式[3].

由于在股价波动率的估计中存在大量的不确定性，传统二叉树模型具有一定的局限性，更适合的解决办法是假设波动率是有上下限范围的赋权区间，在这个区间里波动率不同其可靠程度也不同，因此上行乘数和下行乘数同样是有范围的赋权区间，为了能够直观地表现出资产、收益等要素的变动情况，研究假设u和d都是抛物型模糊数.

2.2 模糊二叉树模型设定

根据传统FCFF 模型可知，其不足之处在于设定未来的营业收入是持续增长的状态，并未考虑到市场因素等带来的风险问题.在风险中性假设的前提下，构建模糊二叉树模型，对于企业的上行乘数和下行乘数进行模糊设定，找出波动范围，从而确定企业的整体发展情况.

在营业收入的预测过程中，基期的营业收入为S0，未来变动情况见图3，图中（max，min）表示在最大值最小值之间的波动范围.

图3 收入的二叉树Fig.3 binary tree of income

在进行自由现金流折现模型指标预测时，大多采用收入百分比法，所以对企业息前税后利润、折旧摊销、资本支出、营运资金，及自由现金流的预测采用营业收入的上行乘数、下行乘数，以及上涨和下跌概率的数值.企业价值评估公式为

式中，Vn为企业第n年末评估价值，元；V(n+1,u)为第n+1 年上行价值，元；V(n+1,d)为第n+1 年下行价值，元；C表示当年现金流，元.

改进后的模型充分考虑了营业收入存在下降的可能性，评估出来的结果更加精准可靠.

2.3 模糊概率设定

根据风险中性理论，市场收益率为无风险利率，可以推出

式中，Pu为上升概率；Pd为下降概率.

设u、d为抛物型模糊数，即

其α截集分别为

将式（6）中的u、d用其α截集表示，通过推导得出

通过解式（7）、式（8）得出Pu和Pd的α截集，即为风险中性概率的区间.

α=0 时，

α=1 时，

也就是说，α为0 时，可以取到u与d的极大值和极小值；α为1 时，取到u与d为中间值，若u2=u3，则成为传统二叉树模型.与此同时，还可以根据u和d的变动情况，预测出相应的概率波动范围.

2.4 模糊波动率设定

在对具体企业进行评估时，可以利用σ的设定来化解模糊性，以得到相对准确的企业价值的波动范围，为企业项目投融资、并购以及未来发展提供可靠性依据.化解模糊化方法的思路是找到一个与模糊数距离最小的实数，作为未来企业发展过程中营业收入波动率σ的参照值，定义波动率模糊数σ与实数x之间的距离为

以距离最小化为目标得目标函数为

对式（9）求一阶偏导并令其等于0，再进行模糊化后，得到

当n=1 时，σ为梯型模糊数，此时

可以将σ1至σ4之间的距离等分，便于确定σ在一定变动规律下企业价值的变动.还可以对企业价值波动范围进行预测，企业可以选取其可接受的置信度，对不同时段的波动率进行计算，通过差值、加权值等方法对波动范围进行预测和分析，更加准确地衡量企业的发展潜力，确定企业价值.

3 模型在武商集团价值评估中的应用

3.1 数据来源

武商集团主要从事购物中心和超市零售业务，2019 年企业总资产235.95 亿元，净资产95.10 亿元.从国泰安数据库获取武商集团2010-2019 年公开的财务数据，并查阅该企业的财务年度报告，以及通过浏览国家统计局等相关网站与查阅统计公报等方式，获取零售行业和社会发展的市场指标及行业数据.

3.2 价值评估

（1）预测未来增长率及折现率

通过对宏观市场环境与武商集团的分析，预计在2024 年武商集团达到中国零售业宏观发展水平，进入可持续发展状态，设定未来持续增长率为2019年全国社会消费品零售增长率[12].设定武商集团实际的未来增长率可能会在行业宏观增长率8.0%左右出现一定幅度的变动，其变动区间为6.0%～10.0%.

选取β为国泰安数据库中武商集团2019 年的beta 值0.855；Rf为国家发放5 年期国债利率4.27%，债务资本成本Kd为筹资所借债务的利率，取中国人民银行5 年期贷款利率为4.75%；所得税率tcit为25%；Rm取2019 年深证市场年回报率6.89%.企业2019 年权益的市场价值为102.12 亿元，债务的市场价值为140.85 亿元.运用加权资本成本的计算公式，最终得出武商集团 2019 年预测折现率为11.98%.

（2）预测现金流模糊参数

计算2010-2019 年，武商集团的营业收入增长率的标准差σF为0.109，近2 年的标准差σi为0.100，作为临界值，表明未来营业收入的波动率会以当前的水平为基础，逐渐向参照值进行靠拢，并围绕参照值进行上下浮动；其差额0.009 作为偏离的水平，预测出σ两端的极值分别为0.100 和0.118.计算得最终的营业收入波动率σ的模糊数集为

根据二叉树模型公式确定出

α=0 时，u和d取极值，因此概率Pu和Pd也取极值，其区间为

α=1 时，u和d为中间值，因此概率Pu和Pd也都取中间值，其区间分别为

（3）评估过程

运用公式求出2024 年的营业收入，从而确定息前税后利润、折旧摊销、资本支出，以及营运资金增加额等数值，预测出企业自由现金流.再进行2024 年企业价值以及其他各个节点的企业价值的计算，应用公式为

式（11）～式（12）中，V2024、V2023分别为2024年、2023 年的企业价值，V(2024,u)、V(2024,d)分别为2024年上行与下行的企业价值.

以此类推，可求得2024 年、2023 年、2022 年、2021 年，及2020 年各节点的企业价值，从如下集中情况对企业价值进行评估.

（a）u、d取极值

① 当α=0，上行乘数与下行乘数取最小值时，u1=1.105，d1=0.905，运用式（11）、式（12），将各时段现金流进行折现，计算出1u条件下的初始企业价值.此外，以过去3 年所有者权益增长率的平均值来预测企业清算价值，2019 年的企业所有者权益值为95.10 亿元，近3 年平均增长率为16.26%.对各节点的企业价值进行调整，将低于预期所有者权益的企业价值的数值进行替换，得出最终的企业价值.结果见表1.

表1 u1 条件下二叉树各节点价值（单位：亿元）Tab.1 value of each node of binary tree under u1 condition (unit:108yuan)

由表1 可知，武商集团2019 年的企业初始价值为215.65 亿元，在1u条件下，若不考虑企业的清算价值，且企业发展一直良好，2024 年，企业价值将上升到415.74 亿元，若受市场风险等因素影响过大，最终结果将下降为153.20 亿元，下降幅度较大，极有可能导致武商集团无法承担企业的债务情况及运营成本，面临企业经营不善、亏损，甚至倒闭的风险.在1u条件下最终评估价值为216.01 亿元，到2024 年，若发展一直良好，则价值将上升到415.74 亿元，若呈现持续的下降趋势，则最终结果将为201.98 亿元.在企业持续经营的前提下进行价值评估，武商集团具有较好的发展潜力，但是仍然要做好应对市场风险的管理计划.

②当α=0，上行乘数与下行乘数取最大值时，u4=1.125，d4=0.889，计算武商集团初始企业价值与最终价值，结果见表2.

表2 u4 条件下二叉树各节点价值（单位：亿元）Tab.2 value of each node of binary tree under u4 condition (unit:108yuan)

由表2 可知，2019 年的企业初始价值为215.87亿元，在u4条件下，到2024 年价值将上升到455.15亿元或者下降为140.13 亿元.在4u条件下武商集团最终评估价值为216.72 亿元，到2024 年，若持续上升，则价值将达到455.15 亿元，但是若企业持续性下降，则最终清算价值将为201.98 亿元.

（b）u、d取中间值

由于文章篇幅原因，u2条件下、u3条件下企业初始价值与最终价值具体数值不再列示.

当α=1，上行乘数与下行乘数取中间的较小值时，u2=1.112，d2=0.899，2019 年的企业初始价值为216.06亿元.到2024 年价值将上升到432.16 亿元或下降为148.19亿元.集团最终评估价值为216.57亿元，到2024年，若持续上升，则价值将达到432.16 亿元，但是若企业持续性下降，则最终结果将为201.98 亿元.

当α=1，上行乘数与下行乘数取中间的较大值时，u3=1.1 19，d3=0.8 94，2019 年的企业初始价值为215.67 亿元，且以此持续到2024 年企业价值将上升到441.76 亿元或下降为144.11 亿元.最终评估价值为216.35 亿元，到2024 年，价值将达到441.76 亿元或下降为201.98 亿元.说明在u3条件下武商集团依然要注重自身经营，以免出现被清算的情况.

（4）评估结果有效性分析

2019 年武商集团发行7.69 亿股，收盘价为13.28 元/股.而企业净债务值为120.30 亿元，评估的企业价值减去债务值的差额为企业的股权价值，可以通过与2019 年的收盘价格进行比较，从而确定其合理性.

表3 评估结果合理性比较Tab.3 rationality comparison of evaluation results

增长率g为6.0%时，评估结果误差的绝对值分别为54.63%、53.76%、53.45%、52.86%和53.67%，均高于20%，说明该增长率下对武商集团的企业价值评估结果过低；增长率g为10.0%时，评估结果误差极大，说明该增长率下对武商集团的企业价值评估结果过高. 增长率g为8.0%时，评估结果误差在合理范围内，因此最终选取零售行业宏观增长率8.0%作为武商集团企业价值评估的后续增长率，最终评估企业价值为216.42 亿元.通过比较可以看出，误差最小的为增长率最高的u4条件，这主要是由于改进模型考虑到企业未来发展的不确定性，使得价格越高的模型越靠近于收盘价格.

3.3 模型对比分析

传统FCFF 模型设定未来的营业收入是持续增长的状态，而企业在经营过程中面临着各种风险，行业整体大环境变差或者企业自身经营出现问题等都会影响企业的收入状况.改进后的FCFF 模型对企业的上行乘数和下行乘数进行模糊设定，能够计算在不同条件下企业价值存在的波动情况.运用模糊二叉树期权定价改进后的FCFF 模型对武商集团进行企业价值评估，证明改进的模型能够修正传统模型在企业价值评估过程中出现的虚高，评估结果更加科学有效.

4 结论

在分析传统的FCFF 估价模型的基础上，结合模糊二叉树模型对其进行改进，并应用到武商集团进行具体的零售企业价值评估研究，主要结论如下.

（1）对传统自由现金流折现模型进行改进，建立了基于模糊二叉树改进的FCFF 估价模型，该模型充分考虑了被评估企业的不确定性因素，在合理的波动区间进行估价，拓展了模型应用条件，提高了模型估价的准确性.

（2）运用改进的FCFF 模型，对武商集团进行企业价值评估，根据零售行业总体发展情况设定不同的企业未来增长率，确定出相关参数的模糊数集，测算出武商集团的企业价值为216.42 亿元，价值整体变动范围为216.01 亿元至216.73 亿元.对评估结果进行有效性分析，进一步证实改进的FCFF估价模型评估结果具有较强的科学性与真实性，对零售企业进行准确的价值评估具有借鉴意义.