一元一次不等式组的三种求解方法

吴雨桐

解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分.怎样找公共部分是同学们求不等式组解集的一个难点.突破这一难点的方法有三种：数轴法、图象法、口诀法.下面结合例题进行分析.同学们在做题时可以灵活选择不同的解答方法.

一、数轴法

数轴在解一元一次不等式组中有着重要的作用.利用数轴法求解不等式组的解集时，首先确定出每一个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出来.每个一元一次不等式的解集在数轴上的表示都是一条射线，这些射线都通过的部分就是这些不等式的解集的公共部分.如果公共部分不存在，那么不等式组就无解.

例1 已知 m 为任意实数，求不等式组{x（1） m（x）<-32（，），的解集.

解析：由不等式1-x <3化简得x >2，先在数轴上表示，如图1所示，

接着，在数轴上表示出解集 x 2，解得 m >4时，该不等式组的解集为2

当表示数 m -2的点在表示2的点的左边，或与2重合，即 m -2≤2，解得 m ≤4时，该不等式组无解

例2已知 m 为任意实数，求不等式组í ? x >2， x <5， x < m -2，的解集.

解析：和例1相比较，该不等式组中不等式的个数增加到3个，需求出这3个不等式解集的公共部分，此时借助数轴更能起到化抽象为直观的作用.

先在数轴上表示出第一、二个不等式解集的公共部分，如图2，

再借助数轴可直观地发现，当表示数 m -2的点在表示2的点上边或左边，即 m -2≤2，m ≤4时，3个不等式的解集没有公共部分，原不等式组无解;

当表示数 m -2的点在2和5之间，即2< m -2<5，4< m < x < m -2;

当表示数 m -2的点在表示5的点上边或右边，即 m -2≥5，m ≥7时，原不等式组的解集为2< x <5 .

说明：利用数轴来确定解集时，要特别注意两个端点处是空心还是实心.同时要牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.

二、图象法

一元一次不等式与一次函数之间存在着密切联系，因此，可根据一次函数图象确定不等式组的解集，具体步骤如下：（1）在同一直角坐标系中，把每个不等式的解集所确定的区间都表示出来;（2）利用函数图象求出上述各解集的交集所确定的区间;（3）写出不等式组的解集.

例3如图3，观察图象，可以得出不等式ì3x +1>0，

A.x <

B.-

C.0

D. -

解析：由图象知，函数 y =3x +1与x 轴交于点（- ，0），

即当 x >时，函数值 y 的范围是 y >0;

因而当 y >0时，x 的取值范围是x >- ;

函数 y =-0.5x +1与 x 轴交于点（2，0），

即当 x <2时，-0.5x +1>0，即0.5x -1<0;

因而当 y >0时，x 的取值范围是 x <2;所以，原不等式组的解集是-

故选：D项.

例4已知，函数 y =kx + m 和 y =ax + b 的图象交于点 P ，则根据图象可得不等式组

解析：由图象知，当 kx+m >0时，x >-2.

当 ax + b > kx +m 时，x <-1.

∴不等式组的解集为：-2< x <-1.

说明：利用图象法求解不等式组的解集，关键就要在图象上找到对应的部分，再由图象确定对应的 x 的取值范围，即为不等式（组）的解集.

三、口訣法

由两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组，变换为标准形式后，可分为以下表格所列出的四种基本类型，求不等式的解集即确定它们的公共部分.这时可利用口诀法，根据“同大取大，同小取小;大小小大中间找，大大小小解没了”这四句口诀，快速确定不等式组的解集.

例5解不等式组

解析：解不等式①，得 x ≤3;

解不等式②，得 x >-2.

两个不等式一个含有大于号，一个含有小于或等于号，并且是 x 大于两个数中较小的数-2，小于等于较大的数3.根据“大小小大中间找”，这个不等式组的解集是-2

例6解不等式组〈

解析：解不等式①，得 x <-3;

解不等式②，得 x >.

两个不等式的不等号方向相反，并且 x 是大于两个数中的较大的数，同时小于较小的数.根据“大大小小解没了”，所以这个不等式组无解.

说明：在填空题、选择题中运用口诀法可以提高解题速度;在计算题等大题中口诀法可以起检验的作用.所以，掌握好口诀法对同学们解答一元一次不等式组有着重要作用.