例谈证明两直线垂直的条件甄别与构建

欧阳先平

【摘要】垂直的证明是高考空间几何体的热点问题。两直线垂直的证明问题，是空间几何体中证明垂直问题的核心，也是基础。证明两直线垂直的方法不是单一的。那么，如何培养学生对条件的甄别能力，以快速、合理地选择方法，并对不足的条件进行必要的构建，使问题得以顺利解决呢？这是本文要努力解决的问题。

【关键词】高中;两直线垂直;条件甄别;条件构建

两直线垂直的证明问题，是空间几何体中证明垂直问题的核心，也是基础。线面垂直与面面垂直的证明最终都得归结到线与线垂直的证明。证明两直线垂直，通常有以下三种方法：

方法一：通过计算，由勾股定理得出结论

条件情境：给出某些线段的长度或某些线段的关系，两条直线共面或平移后共面，且能确定一个可求三边长度的三角形。

方法二：转证线与面的垂直关系，根据线面垂直的性质定理获证

条件情境：直接给出一些垂直关系，如矩形，直角或面与面的垂直等，或间接给出一些垂直关系，如菱形或等腰三角形等。

方法三：向量法，通过数量积的计算，来证明两直线的垂直关系

条件情境：从条件出发，能够比较容易确定三条相互垂直的直线，以及可以直接建系，并确定相关点的坐标，用坐标法求证;如果能求出共顶点的三条线段的长度与夹角，以此三条线段所对应的向量为基向量构造基底，就可以应用基向量的关系进行数量积的计算求证。有时可以把两条线平移至同一平面，构建平面向量的基底进行求证。

教育不是简单的复制，也不是简单的模仿，如何让学生知其然，并知其所以然，才是教育之真谛。下文通过例题的讲解，引导学生通过甄别情境条件合理选择方法，并通过构建必要的条件情境以保障方法得以顺利实施。

例，《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体。如图，羡除ABCDEF中，ABCD是边长为1的正方形，且△EAD，△FBC均为正三角形，棱EF平行于平面ABCD，EF=2AB，求证：AE⊥CF.

证明：【甄别与构建一】条件中给出了所有线段的长度，参照条件情境，可以运用方法一，即先进行线段的平移，使之相交，然后通过构建三角形并通过计算三边，用勾股定理直接求证。

证法I：设P为EF的中点，边结PB，PD，易证EA//PB，PD//FC，根据夹在两平行线间的线段相等，可知PB=EA=1，PD=FC=1，∵ABCD是边长为1的正方形，BD为对角线，∴BD=，显然：PB2+PD2=BD2，∴PB⊥PD，即EA⊥CF.

证法II：延长AB至G，使得AB=BG，连接FG，CG，计算过程与方法（1）基本相同，此处略。

题后反思（1）：此题三角形确定后，三条边都是可求的，可以直接用勾股定理进行求证。而有些题可能只知道三边其中的一边，而另两边都与某一不定边的长度有关系，此时可以设不定边为参数，然后用参数表示另外两边，但勾股定理是一定存在的。

【甄别与构建二】此题条件既有直接的垂直关系，如ABCD是正方形，也有间接的垂直关系，如⊿EAD，⊿FCB都是正三角形，可以考虑转证线面垂直。由于图形不是规则的几何体，且两异面直线之间的距离比较远，不易直观发现点、线、面的位置关系，可以考虑“拉近距离”重构几何图形，即将一条线进行平移，近距离地观察几何图形中点、线、面的位置关系。其实不难发现，几何体P-ADE是一个正四面体，那么AE与PD的垂直关系是显见的。

证法III：如图，设P是EF的中点，连接DP、PA，易证DP//CF，要证EA⊥CF，只需证EA⊥DP。设Q是EA的中点，连PQ，DQ.∵DE=DA，PE=PA，∴EA⊥DQ，EA⊥PQ，又∵DQ∩PQ=Q，∴EA⊥平面PDQ，∴EA⊥DP，∵DP//CF，∴EA⊥CF.

题后反思（2）：构建线与面的垂直关系，通常会涉及到双向选择，“线”垂直于“面”，那么两条线中哪一条是“线”？“面”如何确定？这也是构建线面垂直模型需要突破的关键。往往是先判断哪一条线涉及到的垂直关系较多，多的是“线”，少的是面中的一条线，定面的方法往往根据“两条相交直线或平行直线确定一个平面”。因此，还需从与“线”垂直的直线中找出确定平面的另一条线。

【甄别与构建三】本题条件中数据比较充足，各棱之间的关系固定，可以考虑构建空间直角坐标系，用坐标法求证。坐标法的关键是建系与求点的坐标。本例中ABCD是一个正方法，可证线段EF的投影刚好与正方形的中位线重合。因此，空间直角坐标系的原点可以选择正方形的中心，中心与相关中点的连线作为x，y，z轴建立坐标系。

证法IV：设M，N分别是AD与BC的中点，O为线段MN的中点，P是EF的中点，Q是AB的中点，则MN//AB.连接OP，OQ.∵EF//平面ABCD，据线面平行的性质定理知：EF//AB，∴EF//MN，即EFNM四点共面。易证AD⊥EM，AD⊥MN，EM∩MN=M，∴AD⊥面EFNM，即面EFNM面ABCD. 易证OM，OP，OQ两两垂直。分别以OM，OQ，OP为x，y，

z轴建立空间直角坐标系。则A（，，0），E（1，0，）， C（-，- ，0），F（-1，0，） .

∵ =（，-，）， =（-，，）， ∴ =0 ，即AE⊥CF.

【甄别与构建四】题目条件提供了共顶点的三条线段EA、ED、EF的长度，且能求出彼此之间的夹角，可以构建共顶点的三个向量为基向量，应用基底法来进行证明。

证法V：在等腰梯形ABFE中，过点A作AP⊥EF，垂足为P，则EP= ，cos∠AEP=

=，∠AEP=60o ，同理，∠DEP=60o.

∵ ，∴ cos60o=0.所以EA⊥CF .

题后反思（3）：基底法主要应用平面向量基本定理与运算法则，并结合数量积公式计算求证。基底法中完全条件是六个量——三边、三角，如果所证两线中恰有一条是三线之一，那么，条件可以不完全;建系法，通过选择建立坐标系，并求点的坐标，然后应用坐标运算实现求证目标。两种方法各有优劣，孰优孰劣需视具体条件情境而定。

归纳小结：证明线与线垂直的方法与条件双向细目表。

总结：方法的选择，因题而异，因条件而异。条件与方法的双向联系与条件情境的准确构建离不开教师平时的引导，也离不开学生認真的甄别与归纳。同一种方法所适用的条件情境大同小异，甄别异同并合理构建，就是证明空间线与线垂直的思路与策略。对于某一种方法中存在的困难，如何引导学生克服是解决问题的关键，也是情境构建的关键。

变式训练：

1.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，O，M，N分别是BC，AA1，BB1的中点， P为线段AC1上的动点，AA1=16，AC=8.

（1）若AO= BC，试证：C1N⊥CM;

（2）在（1）的条件下，当AB=6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大。

2. 在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=2m，点E、F、分别为DD1、BD、的中点。

（1）若m=1，求证：EF⊥平面B1CF;

（2）若三棱锥B1-CEF的体积为，求AA1的长。

责任编辑  陈  洋