小学数学建模教学的“模型”优化策略

周萍

【摘 要】小学数学建模教学的重点与难点之一，在于如何有效地帮助学生完成一个“数学化”的抽象过程。本文结合实例，提出“变式优化、题组对比、多元应用、理论建构”四种课堂实践策略。这四种策略是逐层推进、循序渐进的。教师通过运用这些策略，让学生思维中初步构建起来的“模型”得到确立与优化，从而让学生在主动建构中形成模型意识，建立模型思维。

【关键词】变式优化 题组对比 多元应用 理论建构 数学建模

数学建模其实是建立数学模型解决实际问题这一过程的简称。目前，学术界对数学模型（Mathematical Model）还没有一个较为统一的定义。张奠宙认为，广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫作数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。按照比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构的才叫作数学模型[1]。我们认为小学数学教学更多地属于广义层面的理解。如一年级学生认识的自然数“1”是“1个人”“1件物品”等抽象的结果，这里的“1”就是反映这些事物共性的一个数学模型。

数学建模的过程是一个实践活动的过程（建模），也是一个不断优化、深化的心理过程（优模）。数学模型的建立不是最终目的，而让学生对模型不断完善与优化，促进对模型的认识与深化，从而加深对数学的理解，形成初步的建模思想，才是数学建模的目标所在。小学数学建模的教学是一个循序渐进的过程，在教学实践中，教师可以采用如下策略。

一、运用变式优化策略，让“模型”更完善

变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于让学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念[2]。数学模型的建构需要学生有足够强的创造性思维，能将抽象的问题去除非本质的特征，建构出最基本的数学模型。而变式教学能让学生透过现象看出本质，使建构出的数学模型更完善。

苏教版数学二年级上册“六、表内乘法和表内除法（二）”，在教学完练习十一的第7题，学生们建构了本节课的数学模型之后，教师设计了如下环节。

师：今天，我们认识了3个新朋友，并知道了它们之间的关系，下面我们就用这样的数量关系式来解决一些实际问题。

（板书数量关系式：总数÷每份的个数=份数;

总数÷份数=每份的个数）

（出示题目：参加跳远比赛，二年级一班有17人，二班有15人。每8人一組，可以分成几组？）

（学生尝试独立完成，教师巡视并对有困难的学生进行指导，指名汇报）

生：17+15=32（人），32÷8=4（组）。

师：对比一下，这一题和之前解决的问题有什么相同点和不同点？

生：相同点是我们都依据“总数÷每份的个数=

份数”来解决;不同点是条件中只告诉我们每份的个数是8，却没有直接告诉我们总数，所以要先用17+15=32（人）算出总数，然后再依据“总数÷每份的个数=份数”算出可以分成4组。

师：说得真好！掌声送给他。

师：在解决问题时，我们要学会根据问题寻找适合的数量关系，再根据数量关系去找一找哪些条件是已知的，哪些是未知的，未知的条件又可以通过哪些已知条件得到。

在解决实际问题的教学中，我们通常采取的变式训练为扩缩性变式，即把一个只需一步或两步计算的实际问题改变成需要两步或三步计算才能解决的实际问题，抑或反之。在上一环节中，学生已经清晰建构了与本题相关的数学模型：总数÷每份的个数=份数，并能运用模型直接解决实际问题。此环节的设计使数学问题的结构由简单到复杂地发生了变化，在运用模型解决问题时，原模型中的总数并没有直接给出，需要用加法模型求出总数，然后再运用刚刚建构的模型解决问题。通过这样一步计算到两步计算的变式训练，学生对模型的理解不再是狭隘的，并且问题解决的方向是明确的，即：总数÷每份的个数=份数。变式优化扩展了学生的思维，进一步完善了初建的数学模型。从问题出发确定数量关系（数学模型），再依据数量关系（数学模型）寻找条件，并能感悟到未知的条件可以通过已知的条件得到。这样的变式优化能让学生感受到问题发展和变化的本质，有利于学生完善数学模型。

二、运用题组对比策略，让“模型”更清晰

题组教学就是将不同的但有内在联系的问题组合在一起，以沟通相关知识，促进学生对数学知识的理解，提高学生分析和解决问题的能力。题组教学可以为学生创造一个理解数学知识的结构。正如布鲁纳所说，获得的知识，如果没有完满的结构把它联系起来，那是一种多半会被遗忘的知识[3]。因此，教师在组织教学时，需要精心设计相似的题组，使学生在数学学习中获得某种具有“模型”意义的数学结构，并使这种“模型”更加清晰。

苏教版数学六年级上册“六、百分数”中，在教学完例题10和练一练第1题后，笔者设计了如下题组对比练习。

1.马山粮库要往外地调运一批粮食，已经运走了60%，还剩48吨。这批粮食一共有多少吨？

2.西林小学六年级有男生94人，女生人数占全年级总人数的53%，六年级一共有多少人？

1.解：设这批粮食一共有x吨。

x – 60%x=48

40%x=48

x=120

答：这批粮食一共有120吨。

2.解：设六年级一共有x人。

x – 53%x=94

47%x=94

x=200

答：六年级一共有200人。

师：观察这两道题，有什么不同和相同之处？

生：不同之处是它们的问题情境不一样;相同之处是这两道题都是单位“1”的量未知，已知部分量占总量的百分之几和另一部分量，求总量，我们解决问题时方法是一样的。

师：说得真好！你们又是如何解决这类实际问题的呢？

生：设单位“1”的量为x，依据“总量–一部分量=另一部分量”这一数量关系列方程解决。

教师通过例题10和练一练第1题的对比，让学生总结出解决这类题的经验，使学生进一步感知解决这类问题是有一个“模型”的，即：先理解题意，找出题中的数量关系，当单位“1”未知时，设单位“1”的量为x，然后列方程解答。此环节从求“这批粮食一共有多少吨”到求“六年级一共有多少人”，这个相似题组的设计只是换了问题的“外壳”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质—数量之间的结构关系是不变的。教师追问：“观察这两道题，有什么不同和相同之处？”“你们又是如何解决这类实际问题的呢？”让学生经历对比、联系、分析、总结，对问题的本质进行类推与抽象。学生在对比、总结的过程中认识到这两道题都是：（1）单位“1”的量未知;（2）已知部分量占总量的百分之几和另一部分量，求总量。逐渐形成在解决这类问题时设单位“1”的量为x，依据“总量–一部分量=另一部分量”这一数量关系列方程的解题策略，使得刚建构的数学模型更加清晰。

三、运用多元应用策略，让“模型”更稳固

在人们的潜意识中，“模型”与“模具”是相对应的，有一成不变的含义，这与创新思维的培养是相违背的。鉴于此，我们进行“数学建模”教学时，要杜绝将学生引入“固封”“窄化”的境地。“数学建模”教学应紧紧抓住基本“模型”这条思维主线，结合学生的认知发展规律和生活实际，创造性地整合、充实和完善学习内容，不拘泥于教材，充分挖掘教学资源，有效选择不同情境的练习内容，将“模型”向更深、更宽处拓展。从多元应用的层面让学生领会“模型”的内涵，提高学生对“模型”的价值认同，在多元应用中不断巩固初建的数学模型，从而促进学生数学建模思想的形成。

如苏教版数学四年级上册“五、解决问题的策略”，在学生自主完成练一练第2题并全班交流后，教师设计了如下环节。

师：刚才我们总结了一些列表整理条件的方法。列表整理时，要一一对应，除了看清条件，还要看清问题。可以从问题出发选择相关的条件整理到表格中，也可以从条件出发将所有的条件都整理出来。接下来我们一起挑战这道题。

（出示题目：有3种小游船，分别限乘3人、4人、6人。我们班级如果全部租用4人船，恰好要12条;如果全部租用6人船，要多少条？根据问题，选择信息整理并解答）

（学生尝试自主整理并解答，教师巡视并对有困难的学生进行指导）

师：我们一起来看一看他是如何整理的。

一生上台展示并说出自己的想法：题目中告诉我们如果全部租用4人船，要12条，所以在列表时我将这两个条件整理出来。问题是如果全部租用6人船，要多少条？所以我将每船人数6人和需要几条船也整理在表格中（见表1）。

生：前面的题目只是列表整理出了条件，这一题在整理的时候是根据问题选择性地整理出了有用的条件，而且还将问题整理在了表格中。

师：看来我们在列表整理时除了要看清问题和条件，将条件整理在表格中之外，还要根据题意去想一想除了条件还有哪些有用的内容需要整理在表格中，要学会根据题意选择性地进行整理。

在学生经历了列表整理出题目中的所有条件、选择性地列表整理有用的条件解决实际问题之后，教师让学生再次尝试独立列表整理去解决实际问题。学生在尝试的过程中，发现刚才的模型不仅能整理条件，还能结合题目将问题也整理在表格之中。教师通过一句追问“同样是列表整理，这道题和之前有何不同”，让学生小组交流，并进行全班交流。在交流中，所有学生都聚焦此题和前面列表整理的不同之处，即在整理时根据问题选择性地整理出了有用的条件，还将问题整理在了表格中。此处的应用完全是从上一环节的模型之中提升而来，即从只整理条件走向了选择性地整理条件和问题，在这样的多元应用之中学生形成的数学模型才更稳固。教师稳固“模型”时要注意，多元应用的内容一定要对“模型”具有优化与丰盈的作用，不能为了稳固而稳固，那样反而会有画蛇添足之嫌。在数学教学中，多元应用的机会并不是无处不在、无时不有的，只有在需要链接拓展的环节展开多元应用，才能产生事半功倍的效果。

四、持续理论建构策略，让“模型”更深刻

思维定式，也被称为“惯性思维”，是一种特殊形式的活动心理准备或活动倾向，是由以前的活动造成的。在不变的环境条件下，该准备能使人们运用所掌握的方法快速解决问题;当情况发生變化时，就会妨碍人们采用新的方法。在培养学生数学建模素养时，最怕学生受到思维定式的消极影响。消极的思维定式会束缚学生创造性思维的形成。因此，在数学建模优化的过程中，要持续进行理论建构。在教学中教师要善于打破学生初步建构的数学模型，从“破”中“立”，让初建的数学模型以不变应万变，使数学模型在学生的理解与应用中变得更为深刻。

如苏教版数学六年级上册“五、分数四则混合运算”例题2，学生初步建构了本节课的数学模型之后，教师设计了如下环节。

师：回忆以前学过的分数乘法实际问题，今天学习的分数乘法实际问题跟以前有什么不同和相同之处？

生：不同之处是以前学习的是一步计算的分数乘法实际问题，今天学习的是两步计算的分数乘法实际问题;相同之处是我们发现在解决这类问题时都要用到“单位‘1’的量×分数=对应数量”这个数量关系。

师：接下来，同学们能不能独立解决一些实际问题？

（出示题目：红光印刷厂两天用纸吨，其中吨是第一天用的，第二天用了多少吨）

（学生独立解答;教师巡视寻找错误资源，指名汇报）

生1：–×=（吨）。

师：和他一样的请举手。

（生2小声嘀咕：他们不对）

师：你来说说你是怎么想的。

生2：这里的是具体的数量，应该直接列式

–=（吨）。用总量减去第一天用去的等于第二天用去的。

师：如何修改题目就可以列式–×=

（吨）？

生：改为“红光印刷厂两天用纸吨，其中是第一天用的，第二天用了多少吨”。

由于受年龄、能力等方面的影响，学生分数意义模型（可以表示量，也可以表示率）的建构其实并不牢固，而这样的不牢固直接影响此次模型的构建。为此，教师在对比教材中例题2和练一练第3题，让学生初步建构了本节课的数学模型“单位‘1’的量×分数=对应数量”之后，从学生的错误资源出发，设计了上述优化练习，让学生深刻地体会到此题的模型和原来所建构的模型的本质区别，明确解决这类问题应该用减法模型，即“总量–一部分量=另一部分量”。再通过“改一改”这一持续优化设计，使得原来的数学模型在学生的知识系统中更加明晰、稳固、定型。这样的持续理论建构，从学生的模型薄弱处入手，打破了以往数学模型的消极影响，突破学生先前活动经验的不足，在持续的理论建构中让数学模型更为深刻。

模型优化的过程，其实也是学生对数学本质理解再优化的过程。优化时，教师从不同的事物出发，通过变式优化策略加深学生对数学模型的感性认识，促进模型的进一步完善;通过题组对比策略，在对比分析中帮助学生进一步清晰模型;在多元化的问题情境中，运用模型解决问题，从而深化对模型的理解，进一步稳固模型;在持续的理论建构中，打破影响模型建立的消极思维定式，让模型更深刻，从而帮助学生养成数学建模的思维习惯。这四种优化策略依据不同的学习内容，教师可单个使用，也可组合使用，从而达到对数学模型优化、对数学理解优化的目标。数学教育，从“关于数的科学”“关于数量关系和空间形式的科学”一直到今天的“关于模式的科学”，经历着不断的发展与创新。今天的小学数学顺应发展的需要，开启数学建模的探索之旅，还有很多需要教师再研究、再探索的空间。

参考文献

[1] 赵升龙.关于在数学教学中落实《数学课程标准（2011年版）》10个核心概念的思考与实践（二）[J].黑龙江教育·小学，2013（11）：42.

[2] 吳国磊.浅析变式教学在数学课堂中的应用[J].中学教学参考，2013（34）：68-69.

[3] 奚瑄铎.题组练习在小学数学教学中的实践与思考[J].中国校外教育·下旬刊，2020（2）：94.

本文系江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“差异教学理念下小学数学解决问题的教学研究”（课题编号：C-c/2016/02/92）的阶段性研究成果之一。

（作者单位：南京师范大学附属邗江实验小学）

责任编辑：赵继莹