用线性谐振子模型初步计算恒星纯氢大气中的热力学函数

陈彦辉

（1.楚雄师范学院 天体物理研究所，云南 楚雄 675000；2.楚雄师范学院 物理与电子科学学院，云南 楚雄 675000；3.中国科学院 天体结构与演化重点实验室，云南 昆明 650011）

量子力学是研究微观物理规律的科学。在微观领域有和宏观领域明显不同的物理规律，比如微观粒子的波粒二象性、测不准关系（坐标动量测不准关系、能量时间测不准关系、轨道角动量x轴分量和y轴分量测不准关系、自旋角动量x轴分量和y轴分量测不准关系等）、量子隧道效应、自旋等［1，2］。恒星中的核聚变反应就需要参加反应的微观粒子穿越库伦势垒，即发生量子隧道效应［3，4］。另外，屏蔽库伦势的物理规律也依赖量子隧道效应。热力学与统计物理可统计微观物理过程计算系统的宏观物态方程和热力学函数，是联系微观和宏观的桥梁［5，6］。热力学与统计物理计算了理想气体物态方程和电子简并结构的物态方程。致密天体白矮星的物态结构可以近似认为是电子简并中心核加理想气体大气组成，白矮星是检验极端物理规律的天然实验室。

作者在第一篇文章中详细计算了线性谐振子加空间转子模型的能量本征值、本征函数，分析了该系统的基态能量和能量本征值的简并度，并根据微扰理论计算了该体系在微弱外电场中l=0的非简并情况的能量一级修正、二级修正和波函数的一级修正［7］。作者在第二篇文章中详细计算了常温和高温时用该线性谐振子与空间转子模型模拟双原子分子振动和转动耦合情况下的粒子配分函数［8］。有了配分函数以后可以很方便计算系统的物态方程、热力学函数如内能、熵、焓、自由能、吉布斯函数等。

该工作尝试在前两工作的基础上用线性谐振子模型初步计算恒星纯氢大气的热力学函数。第2个板块中将讨论理想气体物态方程和态函数的计算，第3个板块中将讨论双原子分子的热容量计算过程和能量均分定理的应用，第4个板块中将计算恒星纯氢大气的物态方程和态函数，最后对该研究工作作出小节和展望。

1 理想气体物态方程和态函数的计算

理想气体模型是将分子抽象成质点（忽略体积、计算质量），忽略分子间相互作用、不计分子间势能的气体模型。另外，理想气体与容器壁的碰撞是弹性的，不损失能量。在普通物理热学课程中，根据气体实验定律和阿伏伽德罗定律获得理想气体物态方程如下：

其中，p为体系的压强，V为体系的体积，T为体系的温度，n为体系气体的物质的量，R为摩尔气体常数。在理论物理热力学与统计物理课程中计算孤立系的微观状态数、压强公式等可导出理想气体的物态方程如下：

其中，N为体系的粒子总数，k为玻尔兹曼常数。摩尔气体常数和玻尔兹曼常数通过阿伏伽德罗常数联系起来，公式（1）和公式（2）是一致的。

理想气体和分子内部运动没有关系，无论单原子分子理想气体还是双原子分子理想气体物态方程都是公式（1）和公式（2）。不管用线性谐振子模型模拟双原子分子的振动还是用空间转子模型模拟双原子分子的转动，只要热平衡以后气体相对稀薄采用理想气体模型近似时物态方程都是上述公式（1）和（2）。即粒子数为N体积为V的气体体系，达到热平衡后温度为T，采用理想气体模型近似，则体系的压强可由理想气体物态方程计算。

物态方程虽采用通用公式，但是内能等热力学函数可采用更接近实际的双原子分子的模型的统计计算值。假设双原子分子的振动频率为v，线性谐振子的本征能量为：

其中，h为普朗克常数。热力学与统计物理课程中计算双原子分子的振动热容量时粒子的配分函数为［5］：

系统的态函数内能（振动能量）为［5］：

系统的态函数熵为：

其中，m为单个粒子的质量。系统的态函数焓、自由能、吉布斯函数可分别由下面的式子计算：

2 双原子分子气体热容量计算和能量均分定理的应用

双原子分子热容量的计算可参考热力学与统计物理教材［5］先计算粒子平动、转动、振动配分函数，再分别计算平动、转动、振动能量，再计算双原子分子的热容量。该方法和能量均分定理计算获得的双原子分子的能量和热容量是一致的。平动有三个自由度、转动有两个自由度、振动有一个自由度（但是包含振动动能和势能），所以粒子的总能量为对应的等体热容量值约为1.286，和多数双原子分子的实验值γ=1.4［9］不符。经研究发现常温下热能kT远远小于线性谐振子的激发能ℏω，振动被冻结在基态，对热容量无贡献。因此，不考虑振动自由度，粒子的总能量为E=等压热容量理论值为1.4，与实验值相符。

由分子光谱确定的氢分子振动特征温度大约为6000K［5］。该温度相对常温和实验室温度比较高，但是在恒星大气中很容易实现。比如，太阳表面有效温度约为5777K［10］，DA型脉动白矮星（纯氢大气）的有效温度约为12000K［11］。即计算高温恒星大气中的热力学函数如能量时，不采用经典的能量均分定理来计算双原子分子的振动能，而用微观量子模型的统计计算。微观量子模型会给出更精确的态函数能量值。

3 恒星纯氢大气中的物态方程和态函数计算

恒星中的纯氢大气可用理想气体模型近似。氢气分子是双原子分子，可用线性谐振子模型近似。前面已经提到理想气体和原子内部作用无关，纯氢大气理想气体的物态方程就是公式（1）和公式（2）。但是态函数能量中的振动项可以采用更精确的量子描述。平动项贡献3个自由度，平动动能为。转动项由于转动特征温度远远小于恒星氢大气温度，能级准连续，量子力学计算结果和经典能量均分定理给出的结果一致，转动动能为E r=NkT［5］。双原子分子的振动能量由公式（5）给出。

因此恒星纯氢大气的热力学函数内能（平动加转动加振动的总能量）为：

另外，该总内能也可由平动动能加转动和振动的耦合总能量计算。在第二篇文章［8］中介绍振动和转动的耦合配分函数为z=带入到能量计算公式中同样可算得转动与振动耦合总能量为公式（8）中的后两项。再加上平动动能得出和公式（8）一致的结果。该公式（8）计算的内能和单纯依赖经典能量均分定理得出的内能明显不同。

体系的内能有了改变，带入到公式（6）和公式（7），对应的热力学函数熵、焓、自由能、吉布斯函数都会有所改变。热力学函数熵、焓、自由能、吉布斯函数的计算公式中均直接或者间接包含体系的内能，采用公式（8）计算的恒星纯氢大气中的内能是更精确的内能，该内能将带来恒星纯氢大气中热力学函数熵、焓、自由能、吉布斯函数等热力学函数的更精确的数值。而更精确的态函数数值有助于在数值模拟工作中构建更符合物理条件的恒星模型，进而更准确地研究恒星。

4 小结与展望

该工作采用理想气体模型和线性谐振子模型初步讨论了恒星纯氢大气的物态方程、热力学函数内能、熵、焓、自由能和吉布斯函数。利用量子力学知识计算微观模型，再由统计物理知识计算宏观统计的热力学函数，最后再应用到具体实例中，这是理论物理研究工作的典型思路。本文只是初步的将线性谐振子模型应用到恒星纯氢大气中。具体的恒星大气还要计算粒子的部分电离或全电离、能量的辐射转移、辐射与物质的相互作用等诸多复杂物理过程。后续的研究工作将以此为基础开展更深入的恒星大气热力学函数研究。