风光不与四时同——我的数学教学四景

阎靖峥 (西安交通大学苏州附属初级中学 215000)

苏州园林早已闻名世界，正所谓“江南园林甲天下，苏州园林甲江南”．在历史的长河里，坐落在姑苏古城内的一座座园林熠熠生辉，拙政园、狮子林、留园等都以自己独特的方式散发着属于姑苏城的秀色可餐之景．走近造园大师，我们会惊喜地发现，他们的造景方式大致可以分为：引景—对景—框景—漏景等手法.反观自己的数学教学过程，或许也能够模仿大师们的技艺，努力让自己的教学形成更高效的精品课堂，寻找属于我的数学教学四景．

1 巧用“引景”，精准定位

在美丽的苏州园林里，景色多样，横看成诗侧成画．其实，在造园的时候，园林工匠们早已有意识地为游人的游览设定了特定的路线方式，引导他们更顺畅、更直观地感受园林之美，如图1的藤萝架、图2的鹅卵石小道、图3的别致长廊．游客们可以在特定的路线上感受到园林的婀娜多姿．

图1 图2 图3

在数学复习阶段，很多教师认真地为学生将每一份试卷中的题目逐一进行详细讲解，生怕遗漏了任何一个知识点．这样做，在弥足珍贵的复习时间里显得效率比较低下，而且学生一节课的注意力集中时间也是有限的，既浪费了时间，也很难做到重点突出．我们不妨适当“引景”，在课前下足功夫，将学生的错误进行统计，挑选一些共性的问题进行集中教授，同时更应该走近学生，了解学生错误的真实原因，而非以我们自己的观点去认定学生“不该错”“这么简单还在错”等．

例1

将14 400精确到千位约等于

．

解析 数14 400的千位为第一个“4”，故答案为1.4万或者14千或者1.4×10．

这是一道很简单的问题，但是一大部分学生在解答时候，给出的答案却是14 000．教师们可能会感到不可思议：为什么这么简单的问题学生都不会呢？笔者所在的班级此题错误率高达56%，随机采访了几位错误的学生，请他们分析自己错误的原因，好几个学生都说自己没有想到后面的几个零不可以加上去，不假思索地写出了错误答案．通过问题的分析，我们不难发现，学生做错的根本原因在于基本概念的理解偏差．所谓“近似值的精确度”，数字的最后一位数所在的真实数位即为该数的精确度．理解了基本概念后，学生可以很快发现自己写的答案14 000的最后一个数“0”是在个位上的，并不满足题目的要求．

例2

如图4，某县正在创建全国卫生城市，打算建立污水处理系统，计划在道路

l

，

l

两旁建立一个污水处理站

M

，使点

M

到两条道路

l

，

l

的距离相等，且

AM

=

BM

．(不写作法，保留作图痕迹)

图4 图5

解析 由

AM

=

BM

可知，连结线段

AB

，作线段

AB

的垂直平分线；由“点

M

到两条道路

l

，

l

的距离相等”可知，作

l

，

l

两条直线夹角的平分线，所作这两条线的交点即为所求．解题时，很少有学生能够将图象画完整，大部分学生都呈现了如图5的角平分线画法，遗漏了另一种情况．分析后发现，学生都在采用经验解题，条件反射般地画出了

l

，

l

两条直线所夹锐角的角平分线，却遗漏了所夹钝角的角平分线．我们可以在掌握这一讯息后引导学生做题的时候全方位思考，理解直线的夹角有两个．

以上两个实例都是教师在复习课上精准把握班级学情，准确定位应讲该讲的题目，同时能够了解学生的真实错因，从而在课堂将思维重现，学生可以在教师引的“景”上重新走一遍，发现自己的思维漏洞，领略到别样的精彩，有助于学生数学抽象核心素养的形成．

2 妙用“对景”，举一反三

苏州园林在景致坐落上特别讲究景观的“对”，即通过轴线去确定景观的位置，从而产生秩序、严肃或崇高的人体感受．苏州园林的景观从不讲究对称，每一处亭台楼阁、每一个石凳小桥都与园中的草木互相配合布置，别有洞天，各具特色，少了些刻板，多了些灵动．例如，图6的视角，园林的设计师巧妙地借了北寺塔的景，既解决了园林空间有限的问题，还节省了大量的经费；图7的视角，白色的四叶门与后面的假山融为一体，俨然是一副美丽的风景画；图8的视角下，亭台、水面、假山、荷花呈现一字排开的状态，给人一种和谐的美感．

图6 图7 图8

在复习阶段，题型众多，学生很容易就会陷入题海之中，教师在教学的过程中应当时刻注意题目的变化，引导学生多思考，切忌一味盲目地刷题．在解例3的时候，大部分学生做出来的答案都是38°，属于猜测的范畴．而这个题目的解决关键在于题干中不经意的一句话“点

A

，

B

恰好重合于点

P

处”，透过表象看本质，这个条件是在引导学生使用

AD

，

PD

，

BD

边相等，从而从角的关系出发，落脚点却在边的关系上．解决例3之后，可以转换视角，让学生在熟悉的背景下再进行线段长度的计算.通过例3、例4两个题目，可以让学生养成分析问题、类比的数学学习方式，有助于学生逻辑推理核心素养的形成．

例3

如图9，在△

ABC

中，∠

C

=90°，∠

A

=38°，

D

,

E

分别为

AB

,

AC

上一点，将△

BCD

,△

ADE

分别沿

CD

,

DE

翻折，点

A

,

B

恰好重合于点

P

处，则∠

ACP

=

．

图9

解析 由“△

BCD

,△

ADE

分别沿

CD

，

DE

翻折，点

A

,

B

恰好重合于点

P

处”可知

AD

=

PD

=

BD

，故

CD

是直角△

ABC

的斜边上的中线，可得

CD

=

BD

，故∠

B

=∠

BCD

=∠

PCD

=52°，所以∠

ACD

=90°-∠

BCD

=90°-52°=38°，于是∠

ACP

=∠

PCD

-∠

ACD

=52°-38°=14°．

例4

如图10，在Rt△

ABC

中，点

D

为斜边

AB

的中点，连结

CD

，将△

DBC

沿

CD

翻折，使点

B

落在点

E

处，点

F

为直角边

AC

上一点，连结

DF

，将△

ADF

沿

DF

翻折，使点

A

与点

E

重合，求折痕

DF

的长．

图10

解析 由“点

B

落在点

E

处”“点

A

与点

E

重合”可知，

CD

是直角△

ABC

的斜边上的中线．设

AF

=

EF

=

x

，在Rt△

CEF

中，利用勾股定理求出

x

，再在Rt△

DCF

中，求出

DF

即可．

俗话说“上山容易下山难”，而几何的学习本身就是一个“逆推”思考和“顺写”答题的过程．如果在教学的过程中，教师能够将题目进行巧妙的设计，使得学生能够从正反两个维度去理解题目，必定可以赢得学生的拍手称赞，帮助他们真正意义上做到举一反三、触类旁通，也一定会铸就一道靓丽的教学风景线．例5、例6也是这样的“一对”.

例5

如图11，在Rt△

ABC

中，∠

C

=90°，点

P

为

AC

边上的一点，延长

BP

至点

D

，使得

AD

=

AP

，当

AD

⊥

AB

时，过点

D

作

DE

⊥

AC

于

E

．

图11

(1)求证：∠

CBP

=∠

ABP

；(2)若

AB

-

BC

=4，

AC

=8，求

AB

和

DE

的长度．解析 在(1)中，利用“等角的余角相等”即可证得．(2)中首先根据

AB

-

BC

=4，利用勾股定理求得

BC

=6，

AB

=10．作

PF

⊥

AB

于

F

，可证得△

BCP

≌△

BFP

，△

PAF

≌△

ADE

，进而求得

DE

的长．

例6

如图12，在Rt△

ABC

中，∠

C

=90°，点

P

为

AC

边上的一点，延长

BP

至点

D

，使得

AD

=

AP

=5，当

AD

⊥

AB

时，过

D

作

DE

⊥

AC

于

E

，若

DE

=4，则△

BCP

的面积为

．

图12

解析 直接求

BC

,

PC

的长度比较困难，△

ADE

的三边长已知或者可求．过点

P

作

PH

⊥

AB

，可证得△

ADE

≌△

PAH

，△

PHB

≌△

PCB

，最后在Rt△

ABC

中，利用勾股定理求得

BC

,

BH

的长度，进而求得△

BCP

的面积．

3 擅用“框景”，巩固提升

优秀的摄影者会在园林中拍摄出令人如痴如醉的作品，而园林的设计师又何尝不是顶级的摄影者呢？所谓“框景”，就是设计师们有意识地在园林中设置很多框洞式的结构，引导游览者在特定的位置上通过框洞来观赏美景，更加方便地呈现园林之美．如图13、图14、图15均是摄影爱好者站在既定的位置上拍摄出来的优秀作品，也体现了设计师高超的“框景”技艺．

图13 图14 图15

在教学的过程中，教者也可以学习这样的“框景”手法，在平时的教学过程中努力为学生创设更多的“机位”，让学生能够在教师的引导下获取更加完整、更加美丽的“拍摄视角”，从而产出优秀的作品．比如“线段的最值问题”，一直是学习的难点，对于部分学生来说更是“谈最值色变”，这就需要教师给学生搭建平台，归纳概括出最值的常见解决方案，从而从心理和知识层面分别战胜“最值问题”．面对例7这样的题目，学生往往是茫然的，无从下手，教师应该在平时的教学过程中给学生提供一定的“脚手架”．

例7

如图16，∠

MON

=90°，已知△

ABC

中，

AC

=

BC

=10，

AB

=12，△

ABC

的顶点

A

,

B

分别在射线

OM

，

ON

上，当点

B

在

ON

上运动时，点

A

随之在

OM

上运动，△

ABC

的形状始终保持不变，在运动的过程中，点

C

到点

O

的最小距离为

．

图16 图17

解析 如图17，取边

AB

的中点

H

，连结

OH

，

OC

，

CH

．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得

OH

=6，由等腰△

ABC

可求

CH

=8，在△

OCH

中，由“三角形的三边关系”可得，

CO

的最小值为2．

例8

如图18，在△

ABC

中，∠

ACB

=90°，∠

A

=30°，

AB

=5，点

P

是

AC

上的动点，连结

BP

，以

BP

为边作等边△

BPQ

，连结

CQ

，则点

P

在运动过程中，线段

CQ

长度的最小值是

．

图18 图19

解析 如图19，取边

AB

的中点

E

，连结

CE

，

EP

．可证△

QBC

≌△

PBE

，实现了线段

CQ

到线段

EP

的转化，再利用“垂线段最短”来求得线段

EP

的最小值．

这两个例题有很多的相似之处，都是学生的难点，例7采用的是“三角形的三边关系”模型解题，而例8所采用的是转化条件后的“垂线段最短”手段，方式截然不同．如果平时不注重方法的总结，最容易出现“看起来会，做起来错”的情况，甚至可能没有任何思路．教师为学生选定了两个相近的题目进行辨析解题，有助于学生辩证思维的发展，总结出求线段最值的常用方法：①将军饮马模型；②垂线段最短；③两点之间，线段最短；④三角形三边关系；⑤利用函数模型解题等．当学生再次遇到求线段最值的问题时，可以依次尝试，找到适合的方法．若要实现以上效果，均要求教师能够给学生同时见识不一样的模型，“框”定基本的图象模型，在固定的位置上总结反思解题方法，以期达到巩固提升、“精准打击”的良性循环．同时，这样的培养方式也有利于学生数学抽象、数学建模等核心素养的形成．

4 活用“漏景”，自主探究

您一定欣赏过苏州园林的美丽窗花，她们通过窗芯的弯曲变化形成了不同的图案，精致、典雅，定胜纹、六角景、冰裂纹、鱼鳞纹、古钱纹、海棠花纹等，数不胜数．融合了古代士大夫文人文化与民俗民间文化，徜徉在一扇扇窗花的背后，让人不禁感慨吴地人民在长期的文化活动中所积累的璀璨智慧结晶．如图20、图21、图22，都是园林中窗花的杰出代表．她们婀娜多姿的怀抱里透着背后更加美丽的景色，总让人有种欲拒还迎的冲动，令人遐想万千．

图20 图21 图22

特级教师王晓峰说过：“评判一节好课的标准，就是看下课后学生是否久久不愿离座．”是啊，教是为了不教．如果一节课能够激发学生的求知欲望，对于本节课的延伸知识有着渴望的求知欲，这不正是教师们所追求的理想效果吗？在复习课阶段，综合题的解答会层出不穷，学生既有些许畏惧，又有几分期待，如果我们能够在讲解的过程中给学生适当的延伸思考点拨，想必会激发学生的课后思考研究．

例9

已知△

ABC

中，∠

C

是其最小的内角，如果过点

B

的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△

ABC

关于点

B

的奇异分割线．如图23，在Rt△

ABC

中，∠

A

=90°，∠

C

=20°，过顶点

B

的一条直线

BD

交

AC

于点

D

，且∠

DBC

=20°，则直线

BD

是△

ABC

的关于点

B

的奇异分割线．

图23 图24

(1)如图24，在△

ABC

中，若∠

A

=50°， ∠

C

=20°．请过顶点

B

在图24中画出△

ABC

关于点

B

的奇异分割线

BD

交

AC

于点

D

，此时∠

ADB

=

°；(2)在△

ABC

中，∠

C

=26°，若△

ABC

存在关于点

B

的奇异分割线，且△

ABD

为直角三角形，请求出此时∠

ABC

的度数．解析 在解决(2)时，学生可以比较轻松地由△

ABD

为直角三角形进行三种情况的分类：①∠

BAD

为直角时，∠

ABC

=64°；②∠

ABD

为直角时，∠

ABC

=116°；③∠

ADB

为直角时，学生会发现△

BDC

不是等腰三角形，于是会选择舍去这种情况，可是事实上，在这种情况下△

ABD

既是直角三角形又是等腰三角形，可以灵活地将△

BDC

看成直角三角形而△

ABD

看成等腰三角形，依旧是符合“奇异分割线”的概念要求的．对于这个题目，学生在熟知的三种直角情况分类基础上又衍生出来特殊的情况，教师在讲解的时候可以引导学生去掉条件“且△

ABD

为直角三角形”，学生定会将这个题目的所有情况有规则地一一讨论出来．这有利于学生辩证思维的发展，同时也有利于学生逻辑推理、数学运算等核心素养的形成．

“引景—对景—框景—漏景”，在这些技艺的综合运用之下，苏州园林的美美得不像话，在我的教师生涯里，我也在努力探寻着属于自己的“四景”．“人要往前走，花自向阳开”是少年的状态；而“心守暖阳花自开，正得秋而万宝成”则是中年的状态．“风光不与四时同”，秋是四季里的中年，会让有感觉的动物、有情趣的人类引起深沉、幽远、严厉、萧索的感触来．体味着生命的内敛与深厚，缓慢而认真地前行，生命年轮在经年的旋转中重味温暖．