追溯“源头” 拨开云雾见“真身”——例析“与圆相关的最值问题”

陈 龙

(湖北省水果湖高级中学 430071)

源题1已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=25，求过点M(2,1)的直线l被圆C截得的最短弦长和最长弦长.

解析因为(2-4)2+(1-3)2=8<25，

所以点M在圆C内.

图1

变式已知C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求直线l被圆C截得的弦长的最大值和最小值.

源题2已知点P(x,y)是圆C:(x-3)2+(y-3)2=4任一点，求点P到直线l:2x+y+6=0距离的最大值和最小值.

图2

点评此题属于考查直线与圆相离时圆上点到直线距离的最值问题.最大值为d+R，最小值为d-r.

变式1由直线l:y=x+1上的一动点P向圆C:(x-3)2+y2=1引切线切于点D，求切线PD长的最小值.

图3 图4

变式2 已知点P为直线y=x+1上的一动点，过点P作圆C:(x-3)2+y2=1的切线PA，PB，A,B为切点，求cos∠APB的最小值.

解析由图4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC,

源题3已知实数x，y满足x2+y2-4x+1=0.

(2)求n=y-x的最大值和最小值；

(3)求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析(1)因为点P(x,y)满足圆C:(x-2)2+y2=3方程，即点P在圆C上.

图5 图6

(注：利用点C到直线y=kx距离等于半径求出相切时的k值)

图7

点评此类题属于考查直线与圆相切时相关的最值问题.处理时要考虑所求式子的几何意义.

变式2若实数x,y满足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值．

解析(x+1)2+(y-2)2=5，

所以当cos(θ+φ)=1时，(x-2y)max=5-5=0.故x-2y的最大值为0．

点评本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值，此法在后续圆锥曲线的学习中会有所推广.

变式3平面上有两点A(-1，0)，B(1，0)，P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|2+|BP|2最小值．

解析把已知圆的一般方程化为标准方程,得

(x-3)2+(y-4)2=4.

设点P的坐标为(x0,y0),则

S=|AP|2+|BP|2

要使S=|AP|2+|BP|2最小,需|OP|最小,即使圆上的点到原点的距离最小.

容易知道|OP|min=|OC|-r=5-2=3.

所以Smin=2(32+1)=20．

点评设P(x,y)，使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连接两点的线段中，直线段最短”这一性质．

变式4过直线y=1上一点P(x,y)作圆(x+1)2+(y+1)2=1的切线，求切线长的最小值．

以上列举了几道“源题”和若干变式题目，说明了一些看似复杂的题目的真身依然是我们熟悉的知识点.

圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活地应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．