反思建构，让“不等式”之树枝繁叶茂

文／高荣兴

一元一次不等式（组）是初中阶段比较重要的内容。类比一元一次方程，我们把含有一个未知数且未知数的次数是1 的不等式叫作一元一次不等式。由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组就叫作一元一次不等式组。下面，我们一起来梳理一下本章的内容。

学习这一章，我们先要对不等式的性质进行研究。同学们在学习时要与等式的性质进行对比，弄清两者的相同与不同之处。在了解了不等式性质的基础上，我们再分两个方面进行学习。一方面是对概念的学习，比如，在本章，我们要知道什么是一元一次不等式（组），什么是一元一次不等式的解和解集，一元一次不等式（组）的解集如何表示等。另一方面是对方法的学习，比如，如何解一元一次不等式（组），步骤有哪些；如何用一元一次不等式（组）解决实际问题，解决问题的关键是什么；等等。按照这个思路，我们就可以将本章“知识树”的主干画出来了（如图1）。

图1

同学们在学习的过程中，还要结合着练习、运用，不断反思建构，只有这样，“不等式”之树才会枝繁叶茂。接下来，我们来到不等式的应用，通过对典型例题的分析，体验知识的生长。

例1已知x=2 是关于x的不等式x-3m+1≤0 的一个解，那么m的取值范围为________。

一般地，能够使一元一次不等式成立的未知数的值，叫作一元一次不等式的解。若这个值是不等式的解，则将该值代入，不等式成立。本题中，把x=2代入不等式，不等号仍成立，即2-3m+1≤0，进而可得m≥1。若已知条件变成“‘x=2’不是关于x的不等式x-3m+1≤0 的解”，要求m的取值范围，该怎么做呢？请同学们自行思考。

例2（1）如果不等式组无解，则下列数轴示意图正确的是（ ）。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集。要在数轴上表示出不等式组的解集，就要把每个不等式的解集在数轴上表示出来。数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。我们也可以通过口诀来确定不等式组的解集，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”。第（1）题中，因为不等式组无解，所以数轴上没有两条线段重合的区间，答案选D。第（2）题，因为原不等式组的解集是x≤2，所以根据“同小取小”，可以判断“m＞2”，但我们发现“m=2”也符合题意，综合起来可得“m≥2”。我们在解决类似问题时，都要注意“=”的问题。

例3（1）解不等式：x-≤2-，并把它的解集表示在数轴上。

（2）解不等式组：

与一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式一般也有去分母、去括号、移项、合并同类项、将项的系数化为1这几步。但其中略有不同的是，在对一元一次不等式去分母和系数化为1 时，要注意不等号方向是否要发生改变。如果不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向是要改变的。而解一元一次不等式组的步骤是：先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。确定不等式的解集的公共部分，我们可以借助数轴，也可以利用口诀。

（1）去分母，得6x-3（x-1）≤12-2（x+2），

去括号，得6x-3x+3≤12-2x-4，

移项，得6x-3x+2x≤12-4-3，

合并同类项，得5x≤5，

系数化为1，得x≤1。

在数轴上表示解集，如图2所示。

图2

（2）解不等式2x-4＞3（x-2），得x＜2；解不等式4x＞，得x＞-1。借助数轴或利用口诀“大小小大中间找”可知，不等式组的解集为-1＜x＜2。

例4某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A、B两种型号的新型公交车，已知购买1 辆A型公交车和2 辆B型公交车需要165 万元，购买2 辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元。

（1）A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？

（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140 辆，且购买A型公交车的总费用不高于购买B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？

对于一元一次不等式应用题，解题的关键是找准数量之间的不等关系，然后设出未知数，正确列出一元一次不等式。（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意得解得答：A型公交车每辆45 万元，B型公交车每辆60万元。（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140-m）辆B型公交车，由“购买A型公交车的总费用不高于购买B型公交车的总费用”，列出一元一次不等式，得45m≤60（140-m），解得m≤80。答：该公司最多购买80辆A型公交车。