谈谈解答解析几何问题的三个办法

高双云

解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.

一、巧用参数法

有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.

二、妙用射影性质

射影性质是图形经过任何射影对应（变换）都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x轴或y轴上画出各条线段的射影，如此便可将問题中线段的长度、数量问题转化为x轴或y轴上的点或线段问题，进而简化运算.

解：设P（x_p，y_p），Q（x，y），R（x_R，y_R）在x轴上的射影分别为P₀，Q₀，R₀，

找到P、Q、R在x轴上的射影，利用射影性质得到x·x_p=x_R²，然后通过联立方程求得x、x_p、x_R²，建立关系式，即可通过消元求得点Q的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.

三、建立极坐标系

对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的X轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.

以例2为例.

解：以原点O为极点，以Ox轴的正半轴为极轴建立如图2所示的极坐标系.

设P（ρ_P，θ），Q（ρ，θ），R（ρ_R，θ），

可得ρ²（2+sin²θ）=4ρcosθ+6ρsinθ，

而x=ρcosθ，y=ρsinθ，

可得2x²+3y²-4x-6y=0（其中x，y不同为零），

可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制. 同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.A77D8681-2D89-4719-A272-244401F13112