毕达哥拉斯三角模糊VIKOR多属性决策方法

杜迎雪，刘卫锋，常 娟

(郑州航空工业管理学院 数学学院，河南 郑州 450046)

1 引 言

多属性决策是决策领域的重要组成部分，其理论与方法被广泛应用于经济、管理、军事、工程等诸多领域。在众多学者提出决策方法中，一些经典的决策方法被广泛使用和改进推广。比如1998年Opricovic[1]提出了基于理想点的多准则方法——VIKOR法(VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)，是经典TOPSIS方法的改进。文献[1]用实例说明了TOPSIS法求得的最优解未必是接近理想点的解，而VIKOR方法利用各个备选方案的评价值与理想方案的接近程度来排列方案顺序，比TOPSIS法具有更高的排序稳定性和可信度。文献[2]进一步比较了VIKOR方法、TOPSIS法、ELECTRE法和PROMETHEE法，认为在这些方法中，VIKOR方法不仅考虑了正理想方案与负理想方案，而且考虑最大群体效用值和最小化个体遗憾值，从而得到的决策结果相对更为合理。近年来VIKOR方法在方案选择、合作伙伴选择、风险评估和绩效评估等方面被广泛使用[3-8]。

随着现代科技的进步和社会经济的不断发展，人们在实际决策中需要处理的信息越来越模糊复杂化，决策者很难直接给出精确的评价值，因此模糊多属性决策成为近年来很多学者研究的热点。1986年Atanassov[9-10]引入了直觉模糊集(IFS)的概念并对其进行研究。直觉模糊集可以同时表达隶属度和非隶属度，且它们的和小于等于1，相比传统模糊集其更适合在实际问题中描述模糊性与不确定性。一些国内外学者将VIKOR方法扩展到直觉模糊环境下来处理多属性决策问题，取得了许多研究成果[11-18]。但在处理决策问题过程中，可能出现隶属度和非隶属度之和大于1的情况，例如某专家在评价方案属性时，给出隶属度为0.7，非隶属度为0.4，则无法直接用传统的直觉模糊集来表达。为此，Yager[19-20]在研究了模糊集、区间值模糊集和直觉模糊集的补运算基础上，提出了允许隶属度和非隶属度之和大于1，但是其平方和不超过1的毕达哥拉斯模糊集，从而扩展了模糊集。在Yager研究的基础上，不同学者将各种新的方法和理论运用到毕达哥拉斯模糊决策中[21-27]。何霞[25]等将毕达哥拉斯模糊集与三角模糊数相结合，提出了毕达哥拉斯三角模糊数与毕达哥拉斯三角模糊集，并提出了基于毕达哥拉斯三角模糊集成算子的多属性决策方法。毕达哥拉斯三角模糊集的提出将毕达哥拉斯模糊集由原来的离散集扩展到连续集合。与直觉三角模糊数相比，毕达哥拉斯三角模糊数更能体现出决策者的偏好，特别是其隶属度和非隶属度的条件限制的突破，使决策者在使用毕达哥拉斯三角模糊数表示属性值时更加方便，也更能体现出决策者的原始判断。

考虑到VIKOR方法的优点和毕达哥拉斯三角模糊数更符合决策实际的特点，在上述研究的基础上，本文将VIKOR方法推广到毕达哥拉斯三角模糊数决策环境中，提出毕达哥拉斯三角模糊VIKOR方法。具体研究内容安排如下：首先，回顾毕达哥拉斯模糊集及毕达哥拉斯三角模糊集等概念，为进一步研究做好铺垫；其次，为了提出VIKOR方法，给出毕达哥拉斯三角模糊数距离的定义，并将该距离公式推广到毕达哥拉斯三角模糊集，给出毕达哥拉斯三角模糊集距离以及符合决策实际的毕达哥拉斯三角模糊集加权距离(Hamming距离)等概念；再次，将VIKOR方法与毕达哥拉斯三角模糊集相结合，提出属性值为毕达哥拉斯三角模糊多属性决策VIKOR方法，并给出具体决策步骤；最后通过实例分析折衷参数对折衷解的影响，验证了该方法的有效性。

2 基本概念

3毕达哥拉斯三角模糊数距离

故三角不等式成立。

下面将毕达哥拉斯三角模糊数之间的距离，推广到毕达哥拉斯三角模糊集。

易证上述距离定义满足非负性、对称性和三角不等式性。

同样容易证明定义9满足距离的三个公理，特别当定义9中所有权重都相等时，退化为定义8中一般距离。若上述距离定义中毕达哥拉斯三角模糊数都为规范毕达哥拉斯三角模糊数时，易证上述距离都介于0与1之间。

4 毕达哥拉斯三角模糊型VIKOR方法步骤

在选择理想方案时，由于每个属性值为毕达哥拉斯三角模糊数，那么最大满意度越大或者最小不满意度越小时，说明对该方案越满意，评分值也就越大越好；反之，若最大满意度小于最小不满意度时，说明对该属性不是很满意，当然评价值越小越好。由此，下面给出正理想方案与负理想方案的定义。

下面给出基于毕达哥拉斯三角模糊信息下VIKOR决策方法，步骤如下。

参数v取值在0与1之间，v>0.5时，说明专家倾向于按群体效用值进行决策；而v<0.5时，专家倾向于按个体遗憾值进行决策。v=0.5时，表示根据均衡方式进行排序。显然Si越小，Qi越小，Ri越小，Qi也越小；Si越大，Qi越大，Ri越大，Qi也越大。Qi在0与1之间。显然Si≤Sj;Ri≤Rj时，一定有Qi≤Qj。

步骤7：计算折衷解。

下面对Qi从小到大排序：Q(1)≤Q(2)≤…≤Q(m)。同时也根据Si，Ri的大小，从小到大排序。下面根据Qi讨论折衷解：首先计算Q(2)-Q(1)，

ⅰ)α(1)在群体效用值排列中或个体遗憾值排列中为第一的，则x(1)最优解。

ⅱ)α(1)在群体效用值排列中或个体遗憾值排列中不为第一，则x(1),x(2)为折衷解。

以上决策方法首先从各个备选方案中选出正理想与负理想方案，再通过各个备选方案与理想方案的接近程度计算出群体效用值。其次计算出每个方案的个体遗憾值，最后通过折衷解进行方案排序，从而选择出一个可以被决策者接受的折衷方案。该方法不仅考虑了正理想方案与负理想方案，而且考虑了最大群体效用值和最小化个体遗憾值，从而得到一个相对更为合理的决策结果，此方法比TOPSIS法具有更高的排序稳定性和可信度。但VIKOR方法通过折衷值在求折衷解时，若决策者决策态度不同，则态度系数不同，这样可能会得到不同的折衷方案。因此用该方法进行多属性决策时，需要考虑决策者的态度。 折衷参数描述了最大群体效用和最小个体遗憾之间的妥协，其变化表达了决策者的不同主观偏好，提高了决策的灵活性与可用性。参数不同，选择也可能不同，此为其优点也为其缺点。

5 实例分析

某铁路分局为了开拓国际市场，技术部需要聘请一位海外技术经理。经初步筛选，有4个备选候选人记为X=(x1,x2,x3,x4)。为了对他们进行全方位的评估，公司对每个候选人从4个方面进行评估，分别为：创新水平c1，流量控制能力c2，管理能力c3，服务水平c4。假设每个属性的总分是10分，利用统计方法，计算出候选人在各属性下的得分，见下表1，如<(5,7,9),0.7,0.3>表示候选人x1相对于属性c2为7，且最大满意度为0.7，最小不满意度为0.3。假设各个属性的权重分别为ω1=0.4,ω2=0.3,ω3=0.2,ω4=0.1。根据专家提供的毕达哥拉斯三角模糊决策矩阵，评价出最佳候选人。

步骤1：决策小组建立毕达哥拉斯三角模糊决策矩阵，见表1。

步骤2：由于4个属性均为效益型属性，因此将其规范化见表2。

表1 毕达哥拉斯三角模糊决策矩阵

表2 毕达哥拉斯三角模糊规范矩阵

0.9,0.2>,<(0.8,0.9,1),0.8,0.3>,<(0.8,

0.9,1),0.9,0.1>,<(0.8,0.9,1),0.8,0.3>}

步骤4：根据属性集C={c1,c2,c3,c4}上的权重，及三角毕达哥拉斯模糊数之间的距离，分别计算出每个方案的群体效用值。

S2=0.396+0+0.065+0.040=0.501;

S3=0+0.234+0.186+0.036=0.456;

S4=0.016+0.225+0.186+0.036=0.526。

显然S3

R1=0.244,R2=0.396,R3=0.234,R4=0.225。

显然R4

S*=min{Si}=0.456,S-=max{Si}=0.526,R*=min{Ri}=0.225,R-=max{Ri}=0.396。

Q2=v0.643+1-v，Q3=(1-v)0.053，Q4=v。

当态度参数v=0.5时可得：Q1=0.506,Q2=0.822,Q3=0.027,Q4=0.5。

显然排序为Q3

步骤7：计算折衷解。

步骤8：敏感度分析。

在实际决策中，专家可能会有不同的决策态度，态度系数取不同的值时，可能会得到不同的折衷方案。态度参数取值在0与1之间，下面我们分析不同态度参数对折衷解的影响。

表3 折衷参数对方案排序的影响

从表3可以看出折衷参数对结果的影响。当参数分别取0，0.1,0.3时，即专家考虑较多个体遗憾时，方案为x1,x3,x4；而折衷参数取0.5时，即专家认为群体效用和个体遗憾值同等重要时，折衷方案为x3；折衷参数取0.7,0.9,1时，即专家考虑较多群体效用时，折衷方案仍为x3。整体来看，候选人x3是最佳的，只是专家有不同的决策态度时，折衷解会有一些不同。由此可见，折衷参数v描述了最大群体效用和最小个体遗憾之间的妥协，v的变化表达专家不同主观偏好，这提高了决策的灵活性与可用性。

为了说明本文所提方法的有效性，将该方法与其他方法所得的结果进行比较。若我们仅考虑各方案与正理想之间的距离，利用定义9计算出来的排序结果为x3x1x4x2；若仅考虑各方案与负理想之间的距离，则排序结果为x3x1x4x2；若正负理想同时考虑，利用TOPSIS法计算出来的排序结果为x3x1x4x2。若用参考文献[25]中PTFWA算子计算，方案排序结果为x3x4x1x2，与VIKOR方法专家态度参数为0.1时排序结果相同。从几种决策方法结果可以看出，上述几种方法一致认为x3为最佳候选人。VIKOR方法从专家态度不同的角度考虑得到折衷结果,从而说明该方法的全面性及灵活性。

6 结 语

本文将毕达哥拉斯三角模糊与VIKOR法相结合，讨论了毕达哥拉斯三角模糊多属性决策问题。在定义毕达哥拉斯三角模糊数的距离、毕达哥拉斯三角模糊集的距离和毕达哥拉斯三角模糊集加权距离(Hamming距离)等的基础上，提出了基于毕达哥拉斯三角模糊VIKOR多属性决策的方法与步骤，并通过分析决策实例说明该方法的有效性。最后讨论了折衷参数敏感度分析及折衷方案的对比，充分体现了该方法的优越性，具有较好的理论意义与实用价值。