齿根过渡圆弧对全齿槽成形磨削温度和残余应力影响的研究

易 军 龚志锋 易 涛 周 炜

1.难加工材料高效精密加工湖南省重点实验室，湘潭，4112012.湖南科技大学机电工程学院，湘潭，411201

0 引言

硬齿面齿轮是航空航天装备、风力发电和核电设备、大型船舶、高速机车等的关键传动部件，其制造精度和加工质量是制约我国一系列重大装备发展的瓶颈之一。磨削通常是齿轮表面硬化处理后消除热变形，获得所需精度和表面质量的最后一道工序[1]。在齿轮磨削过程中，砂轮与工件接触面积大(成形磨削时)、磨削液难以进入磨削区，增加了产生热损伤的风险[2]；砂轮与齿槽之间复杂的三维几何接触关系(成形磨削和展成磨削时)，如法向磨削深度、砂轮线速度和比材料去除率沿被磨齿轮齿廓的非线性变化，使得齿面的磨削力和磨削温度呈现非均匀分布[3]。较高的、非均匀分布的磨削温度和应力使同一齿廓呈现多种硬度、残余应力状态和显微组织结构，严重影响齿轮的强度、使用寿命和可靠性[4]。

国内外学者对齿轮磨削温度和残余应力进行了大量研究。张魁榜等[5]将平面磨削的热分析理论应用到齿轮磨削过程中，借助工程分析软件ABAQUS和MATLAB，基于移动热源理论和三角形热源分布模型，建立了齿轮成形磨削的三维温度场仿真模型，并采用热-力顺序耦合分析法得到了齿廓的热应力场。WANG等[6]根据螺旋锥齿轮齿面形成原理和热应力理论，考虑齿面温度和磨削力分布对残余应力的影响，建立了螺旋锥齿轮齿面磨削残余应力的数学模型。

以上研究主要集中在探索磨削参数对齿轮齿廓质量的影响，而在齿轮服役过程中，主要有两种失效形式，即齿面失效(与齿廓加工质量密切相关)和齿根疲劳断裂(与齿根结构和齿根加工质量密切相关)，由于齿轮传动系统的轻量化设计要求，齿根弯曲强度已成为制约齿轮发展的重要因素，因而齿根疲劳断裂比齿面失效更危险[7]。万国新等[8]研究了齿根过渡圆弧半径对齿根裂纹扩展的影响，得到了不同过渡圆弧半径下齿根裂纹的扩展规律。DONG等[9]通过有限元模拟的方法，研究了在相同载荷下不同齿根过渡曲线对齿轮齿根处应力分布的影响。上述文献主要是研究齿根结构对齿轮承载能力和疲劳强度的影响，而有关齿根结构对后续齿轮的加工过程及加工质量的影响研究还很少。

鉴于此，本文开展了齿根过渡圆弧半径对磨削温度分布和磨削后齿根残余应力分布影响的研究。通过详细分析全齿槽轮廓磨削过程中砂轮与工件的接触关系，基于移动热源理论建立了考虑三段相邻热源耦合作用的齿轮成形磨削三维温度场仿真模型。尽管磨削引起的残余应力主要有三个原因，即非均匀加热和冷却造成的热膨胀和收缩、相变以及塑性变形[10]，但一方面考虑到在本文后续的实验过程中磨削温度不会超过工件的相变温度[11]，另一方面考虑到磨削力本身引起的残余应力一般是压应力，但热应力常常导致残余拉应力，在精密成形磨削过程中后者的影响通常比前者的影响大得多[12]，因此仅考虑磨削热作用对磨削后残余应力的影响，通过热-结构耦合有限元分析(在ANSYS中采用顺序耦合分析方法，即先进行热分析求得结构的温度场，然后进行结构分析，且将前面得到的温度场作为体载荷加到结构中，求解结构的应力分布)，计算得到了不同过渡圆弧半径工件磨削引起的残余应力分布云图。开展了磨削温度测量和齿面残余应力测量实验，验证了仿真模型的正确性。

1 全齿槽成形磨削参数

根据渐开线的形成原理，渐开线的起点在基圆上，当齿轮的齿根圆半径小于渐开线基圆半径时，齿根至渐开线起点通常通过一段圆弧或斜线过渡，对于某一模数和齿数确定的齿轮，该段圆弧的尺寸仅仅由其齿根圆半径和基圆半径确定而无法更改，鉴于此，本文主要研究当齿根圆半径rf大于基圆半径rb时，齿根过渡圆弧对齿槽磨削温度和残余应力分布的影响。

根据标准齿轮的基本参数，基圆半径rb和齿根圆半径rf的计算公式为

rb=(mncosα)/2

(1)

(2)

当rf≥rb时，存在

(3)

因此有

(4)

代入已知量，计算得n≥42，即当齿轮齿数大于或等于42时，齿根圆半径大于基圆半径，此时，齿轮齿廓曲线的起点不是渐开线的起始点(图1)。

图1 砂轮与齿槽的接触关系

全齿槽成形磨削过程中砂轮与齿槽的接触关系如图1所示。由于齿槽轮廓是关于砂轮中心平面对称的，为减小计算量，后续只对齿槽的一半即图1中的ABCO段进行分析。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

δ=arctanφ

式中，Re为砂轮当量半径；an为法向磨削深度；Rs为砂轮半径；vs为砂轮线速度；lc为接触弧长；ar为砂轮径向进给深度；Ri为砂轮初始半径；rc为过渡圆弧半径；ns为主轴转速；β为同一齿槽相邻两个齿廓渐开线起点之间的基圆圆弧段所对应的圆心角的一半；φ为渐开线滚动角；η为圆弧参数角；θp为分度圆的展角。

从上述公式可以看出，全槽轮廓磨削参数在不同砂轮与工件接触段的分布情况是不同的，在齿廓段(AB)，磨削参数是渐开线滚动角φ的函数；在过渡圆弧段(BC)，磨削参数是圆弧参数角η的函数；在齿底段，磨削参数保持不变。

滚动角φ和圆弧参数角η的取值范围分别为φ∈(φ0，φa)、η∈(0，ηmax)。φ0为齿廓渐开线起点位置(图1中的B点)的滚动角度，φa为齿顶圆的滚动角(图1中的A点)，ηmax为B点处的圆弧参数角，计算式如下：

(10)

(11)

(12)

渐开线和过渡圆弧上任意一点的坐标通过参数方程很容易在各自的局部坐标系中计算得到，但为了便于统一计算，需在全局笛卡儿坐标系中得到齿槽截面轮廓上任意一点的坐标，这样就需要对在各自局部坐标系中得到的坐标进行坐标变换。渐开线局部坐标系、过渡圆弧局部坐标系和全局坐标系之间的位置关系如图2所示。

图2 局部坐标系与全局坐标系之间的位置关系

在渐开线坐标系oixiyi中，BA曲线段的坐标计算如下：

(13)

BA曲线段在全局坐标系ogxgyg中的坐标可以通过如下齐次坐标变换得到：

(14)

在过渡圆弧坐标系ocxcyc中，根据圆弧的参数方程，可由下式计算出CB曲线段的坐标：

(15)

对式(15)计算出的坐标进行齐次坐标变换，得BC曲线在全局坐标系ogxgyg中的坐标：

(16)

OC线段在全局坐标系ogxgyg中的坐标为

(17)

由以上分析可知，齿槽轮廓上任意一点的磨削参数(an，vs，lc)可由全局坐标系中的径向进给深度ar、砂轮初始半径Ri、主轴转速ns、齿轮齿数n、模数m、齿轮渐开线滚动角φ、过渡圆弧参数角η和过渡圆弧半径rc来唯一确定。

2 全齿槽成形磨削接触面热源分布模型

考虑到磨削区的未变形切屑厚度沿接触弧从零到最大逐渐增加[13]，假设热源沿接触弧呈直角三角形分布[14]，接触弧区的热源分布情况可由下式表示：

(18)

(19)

式中，b为砂轮宽度。

以上分析表明，切向磨削力Ft和热分配比Rw的计算是确定全齿槽轮廓磨削热源分布模型的前提。

根据文献[15]推导的单位宽度切向磨削力模型和文献[16]建立的齿廓成形磨削力模型，得到切向磨削力沿全齿槽横截面的分布模型：

(20)

式中，de为当量砂轮直径且de=2Re；ap为CD段的磨削深度，在CD段ap=ar；vw为工件进给速度，在磨削温度计算中vw即热源移动速度；K1、K2、α0、β0为与砂轮和工件材料的特性相关的常数，可通过实验获得。

该模型分为三段，即齿廓段AB的磨削力计算模型、过渡圆弧段BC的磨削力计算模型和齿根段CO的磨削力模型。磨削力除与磨削参数密切相关外，其中齿廓段各处的磨削力还是关于齿廓渐开线滚动角的函数，而过渡圆弧段各处的磨削力还是关于过渡圆弧参数角的函数。通过渐开线参数方程和圆弧参数方程可以很容易计算出各渐开线滚动角位置点或各圆弧参数角位置点在各自所在渐开线局部坐标系或圆弧局部坐标系下的坐标，再通过式(14)或式(16)求得位于渐开线上或圆弧上任一点在全局坐标系下的坐标，由此即可得到在全局坐标系下磨削力沿全齿槽横截面轮廓的分布规律。

根据ROWE[17]对磨削热向各个子系统传递的研究，得到传入工件的热分配比如下：

(21)

式中，hf为磨削液的对流传热系数，W/(m2·K)；hw为工件的传热系数，W/(m2·K)；r0为磨粒的有效接触半径，m；kg为磨粒的热导率，W/(m·K)；βw为工件材料的热特性，其数值与材料的热导率、密度、质量热容有关；αw为工件材料的热扩散率；ε为成屑区的剪切应变；ta为平均未变形切屑厚度，m。

3 全齿槽成形磨削温度和残余应力有限元仿真

根据式(14)、式(16)和式(17)计算出的坐标建立全齿槽的三维几何模型，并利用Solid70(八节点六面体)单元对该几何模型进行网格划分。为研究过渡圆弧大小对全齿槽成形磨削温度和残余应力分布的影响，对模数为8、齿数为50、过渡圆弧半径rc为0，1，2，3，4.3 mm的5个齿槽的温度和残余应力分布进行了模拟分析。图3所示为齿根处的过渡圆弧，当rc=4.3 mm时，两侧齿廓由一整条弧线过渡。图4所示为网格化后的有限元模型。

图3 齿根过渡圆弧尺寸

图4 齿槽的有限元模型

齿槽轮廓上任意点的热源强度可以用式(7)、式(18)～式(21)计算。为便于加载，首先计算出各滚动角(或圆弧参数角)位置的热源强度；其次通过渐开线参数方程(或圆弧参数方程)和坐标变换矩阵计算出各位置在全局坐标系下的坐标(x，y)；然后利用MATLAB数据拟合工具箱拟合热源强度与渐开线段的坐标或过渡圆弧段的坐标的关系；最后结合拟合后的沿齿槽轮廓分布的热源模型和沿磨削方向三角分布的热源模型，在ANSYS中利用函数加载整个磨削区呈三维分布的热源。图5a所示为在齿廓渐开线部分，热源强度拟合为渐开线上任意点的y坐标值的二次函数；图5b所示为在过渡圆弧部分，热源强度拟合为过渡圆弧上任意点的x坐标值的三次函数。热源施加结果如图6a所示。工件的初始温度为环境温度25 ℃，考虑磨削液对磨削弧区以外工件的冷却作用，在磨削弧区以外的工件表面上施加对流传热系数来表示磨削液的冷却作用，如图6b所示，本文中对流传热系数取6700 W/(m2·K)[18]。

(a)齿廓段

(a)热源分布

在有限元仿真过程中，利用循环语句实现移动热源的加载。首先进行热分析，热分析完成后，将热分析单元Solid70转换为结构分析单元Solid185(八节点六面体)，重新定义材料参数(包括弹性模量、泊松比、热膨胀系数、屈服极限等)，并将热分析得到的任意时刻的瞬时温度场作为输入载荷，利用循环语句再次加载，最后得到热-结构耦合引起的工件残余应力场。

4 实验验证

实验装置如图7所示，成形磨削实验在三轴数控磨床MKL7132×8/17上完成；工件是从模数为8、齿数为50的标准渐开线齿轮上通过线切割切下来的试块，其材料为20CrMnTi；砂轮为陶瓷结合剂SG砂轮(3SG46-H12VSP)，其初始直径400 mm、初始宽度32 mm；采用体积分数为4%的水基乳化液作为冷却液，冷却液供液压力为0.8 MPa。实验前，用金刚石滚轮将砂轮修整成渐开线形状，如图7a所示。磨削参数设为恒定即主轴转速为1910 r/min、进给速度为3600 mm/min、法向进给深度为0.2 mm。采用镍铬-镍硅人工热电偶测量磨削温度，图7b所示测量点为过渡圆弧中部，磨削温度信号由NI9212动态数据采集卡采集，采样频率设置为1 kHz。磨削后利用XSTRESS-3000型X射线应力分析仪测量过渡圆弧位置的残余应力，如图7c所示。

(a)金刚石滚轮修整器 (b)磨削温度测量系统 (c)残余应力检测系统

5 结果与讨论

确定磨削区的热源分布是正确计算磨削温度的前提，依据第3节所述成形磨削过程中磨削接触区热源分布的解析模型，在给定齿轮几何形状和磨削参数条件下，传入工件的热源沿全齿槽的分布情况如图8所示，其中m=8 mm，n=50，ns=1910 r/min,vw=3600 mm/min,ar=0.2 mm,Ri=100 m。

(a)rc=0，只存在齿廓和齿底 (b)rc=2 mm，包括齿廓、过渡圆弧和齿底 (c)rc=4.3 mm，只存在齿廓和过渡圆弧

热源沿齿槽的中心线对称分布，在齿槽底部，由于磨削方式为平面磨削，此处的法向磨削深度等于齿槽的径向进给深度，磨削参数沿砂轮宽度方向均匀分布，所以热源呈现均匀分布特征且强度最大；在过渡圆弧段内，热源强度随x坐标绝对值的增大而减小；而在渐开线齿廓段内，热源强度随x坐标绝对值的增大而增大。热源在全齿槽轮廓上的分布与磨削参数和切向磨削力沿齿槽轮廓的分布密切相关，与文献[10]的结果比较发现，热源强度在全齿槽轮廓上的变化趋势与切向磨削深度的变化趋势高度一致。

图9给出了齿槽采用不同半径的圆弧过渡时磨削引起的温度分布结果。如图9所示，整个齿槽的磨削温度场是由5个相邻热源相互作用引起的，包括齿廓上的两个热源、过渡圆弧上的两个热源和齿底平面上的一个热源。工件表面和内部的磨削温度分布显示出明显的不均匀性，磨削温度峰值出现在齿槽底部。当rc为0，1，2，3，4.3 mm时，最高磨削温度分别为557 ℃、555 ℃、551 ℃、540 ℃和497 ℃，虽然齿槽表面的最高磨削温度随着过渡圆半径的增加而降低，但降低的幅度比较小，这说明过渡圆半径的变化对磨削温度的影响比较小。

图9 全齿槽成形磨削温度仿真结果

图10给出了齿槽采用不同半径的圆弧过渡时磨削引起的残余应力分布结果。如图10所示，当齿根处过渡圆弧半径为0即齿根处没有圆弧过渡时，全齿槽成形磨削引起的最大残余拉应力为539 MPa；随着过渡圆弧半径的增大，磨削引起的残余应力逐渐减小，当过渡圆弧半径设为1，2，3，4.3 mm时，最大残余应力分别降低了13.5%、22.3%、24.5%和25.4%。

图10 全齿槽成形磨削残余应力仿真结果

图11所示为齿槽上同一位置实验测得的磨削温度信号与仿真计算得到的磨削温度曲线的对比，可见仿真温度曲线与实验测得的磨削温度信号具有相同的变化趋势，且背景轮廓比较吻合，这也证明通过仿真结果分析齿根过渡圆弧半径对磨削温度和残余应力的影响是可行的。从仿真结果中提取沿全齿槽轮廓分布的磨削温度，结果如图12所示。可以看出：在过渡圆弧段内，磨削温度随着x坐标绝对值的增加而逐渐降低，在有限的过渡圆弧范围内磨削温度的变化非常大；在齿廓渐开线段内，磨削温度随着x坐标绝对值的增加而升高；过渡圆弧与渐开线交界处的磨削温度最低。造成过渡圆弧与渐开线交界处磨削温度最低的原因有两个：一方面从沿全齿槽轮廓分布的磨削参数来看，在该处法向磨削深度最小，砂轮-工件接触弧长最小，因而便于散热；另一方面从沿全齿槽轮廓分布的切向磨削力来看，切向磨削力在该处最小，因而在该处产生的热源强度最小。随着过渡圆弧半径的增大，在过渡圆弧内磨削温度的变化率有减弱的趋势；受齿根有限的空间限制，过渡圆弧的尺寸不能太大，因此虽然磨削温度分布有一定的差异，但温度差基本维持在50 ℃范围内。图中各个离散点为实验测得的磨削温度值，可见在该测量点处，不同工件实验测得的磨削温度结果与模拟计算结果均比较一致。

图11 磨削温度曲线

图12 磨削温度沿全齿槽轮廓的分布结果

如图13所示，残余应力沿齿槽中心线对称分布，齿廓部分磨削引起的残余应力较小，且齿根过渡圆弧半径的变化对齿廓段磨削后残余应力分布的影响很小，但对过渡圆弧区磨削后的残余应力分布影响较大。在过渡圆弧有限的区域范围内残余应力的变化非常大，残余应力的尖峰基本都出现在过渡圆弧与齿根交点处附近，这是因为过渡圆弧与齿根相交处的曲率变化存在不连续，随着过渡圆弧半径的增大，齿槽轮廓交界处的曲率不连续越来越不明显，因此随着过渡圆弧半径的增大，残余应力的分布曲线也越来越平滑。图中各个离散点为实验测得的残余应力数值，将测量点测得的残余应力与仿真得到的残余应力值进行比较发现，仿真结果与实验结果基本吻合。

图13 残余应力沿全齿槽轮廓的分布结果

6 结论

(1)通过对成形砂轮与齿槽接触区三维热源分布的建模，对全齿槽成形磨削过程中磨削温度和磨削后引起的残余应力进行了有限元仿真，研究了齿根过渡圆弧半径对磨削温度分布和磨削后残余应力分布的影响。

(2)受相邻热源的影响，在全齿槽成形磨削过程中，齿槽表面的温度分布是不均匀的，在齿底处的磨削温度最高；在过渡圆弧段，磨削温度随着x坐标绝对值的增加而逐渐降低；在过渡圆弧和渐开线的交界处的磨削温度最低；在渐开线段，磨削温度随着x坐标绝对值的增加而升高。齿槽最高磨削温度随过渡圆弧半径的增大而降低，但变化幅度较小。

(3)残余应力沿齿槽中心线对称分布，残余应力的尖峰基本都出现在过渡圆弧与齿根交点处附近。在过渡圆弧有限的区域范围内残余应力的变化幅度非常大，且过渡圆弧半径对过渡圆弧区磨削后的残余应力分布的影响较大，与不设置过渡圆弧的齿槽相比，当过渡圆弧半径超过2 mm时，磨削后齿槽的最大残余应力降低20%以上。

(4)温度测量结果和磨削后残余应力测量结果与有限元仿真结果一致，验证了仿真结果的正确性。

齿轮齿根过渡段的曲线形式通常有斜线、圆弧、贝塞尔曲线和高阶曲线等，本文只研究了当齿根过渡段为圆弧时，圆弧半径对磨削温度和残余应力的影响，但当齿根过渡段采用其他曲线形式时，参数对加工过程中的力、温度，以及加工后的残余应力等的影响尚不清楚，这些仍需进一步研究。