圆柱矢量波函数的构建及其在圆柱波导中的应用

雒向东，海 波，赵宇杰，梁 晔

(1.兰州城市学院 电子工程学院，甘肃 兰州 730070； 2.《甘肃高师学报》编辑部，甘肃 兰州 730070；3.兰州城市学院 信息工程学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

近几十年来，自Hansen首次引进矢量波函数来解决某些电磁场问题[1-3]，Stratton验证了这些函数的有效性[4]，这些函数的使用方法进一步被Stratton、Morse、Feshbach等人推广[5]，戴振铎、宋文淼、鲁述等就电磁理论中的并矢格林函数(DGF)也做了大量的研究[6-13]，使得DGF方法被广泛地应用于电磁理论及工程的各个领域。毫无疑问，DGF现已成为电磁理论中的一个重要概念和解决问题的方法。用DGF方法解决各种电磁场工程问题，其关键在于求出DGF表达关系，因此DGF的研究和求解自然成为人们关注的热点问题。由于不同的正交曲线坐标系的本征波函数的展开各有特殊性，使得DGF研究具有复杂性，国内外学者对此均作了大量研究，如对规则形状波导、常用坐标系等问题已形成较一致的意见。但有些问题，如柱坐标系中的本征展开问题仍存在争议，对该问题的报道也比较少[14-18]。本文就圆柱波导DGF的构建、正交归一性质及其在圆柱波导中的应用做了详细研究，其研究结论可为基于DGF方法解决电磁场工程等问题提供理论和技术支持。

1 构建具有离散本征值的圆柱矢量波函数

1.1 圆柱坐标系中的标量波函数

建立如图1所示的圆柱波导示意图。圆柱截面半径为a，坐标变量用r、φ、z来表示。用pnm和qnm分别表示整阶贝塞尔函数Jn(x)和该函数微商J′n(x)的根。

图1 圆柱波导示意图

首先研究齐次标量亥姆霍兹方程，从而得到柱坐标系的标量波函数。用分离变量法解标量波动方程：

(1)

(2)

设式(2)的解为：

Φ(r，φ，z)=R(r)Φ(φ)Z(z)。

(3)

对式(3)分离变量，得出的4个分量方程为：

Φ″+n2Φ=0，

(4)

(5)

(6)

(7)

式(4)和式(5)中的Φ和Z的解为谐函数，可能的取值分别为：

cosnφ，sinnφ，einφ，e-inφ(n=0，1，2，3，…)，

(8)

coshz，sinhz，eihz，e-ihz。

(9)

式(6)中，R是n阶贝塞尔函数，方程解的形式为：

(10)

(11)

或者可写成：

(12)

式(12)中，“+”表示沿z反方向传播的波，“-”表示沿z正方向传播的波，下标e、o分别表示函数为偶函数和奇函数。在圆波导内，假设波沿z轴方向导行，沿φ、r方向均为驻波，其基本波函数可表示为[19]：

(13)

式(13)中，除n=0的情况外，每一组分离常数对应两种不同极化场的模式，称为模式的极化简并。

1.2 圆柱坐标系中的矢量波函数

基于圆柱坐标系中的标量波函数，定义两类圆柱矢量波函数，它们在r=a时都满足矢量狄里克雷边界条件。

两类圆柱矢量波函数定义为[6]：

(14)

其中，

(15)

(16)

其中，

(17)

两组矢量波函数的全表达式为：

(18)

(19)

描述圆柱波导中的磁场，可采用的矢量波函数为：

(20)

(21)

函数M(h)和N(h)满足下列关系[6]：

(22)

(23)

1.3 圆柱坐标系中矢量波函数的正交归一性

圆柱矢量波函数具有正交性，可举例证明如下：

(24)

要证明式(24)正交关系成立，首先讨论下面积分：

(25)

将式(18)及(19)代入式(25)可得：

e-i(h-h′)zdV。

(26)

第一种情形：

(27)

(28)

第二种情形：

(29)

(30)

这两种情形推证中都应用了以下公式[6]338：

(31)

在以上两种情况的推证中，由于Jn(λa)=0，故I1=I2=0，所以有：

(32)

矢量波函数正交归一关系总结如下(不再证明)：

(33)

(34)

(35)

式(34)和(35)中，δ0表示对n的克罗内克δ函数。式中体积分是对无限长波导的整个区域的积分，当n≠n′时，在φ域中所有圆柱矢量波函数都是正交的，这些正交关系这里不再证明。

2 圆柱波导的并矢格林函数

(36)

式(36)中，求和指数m、n与关系式pnm=λa和qnm=μa相联系，上式可简化记为：

(37)

Nenμ(-h′)·Menλ(h)Benλ(h)]dV，

(38)

(39)

用Nonμ(-h′)、Menλ(-h′)和Monλ(-h′)分别与式(36)作前标积，同样可分别求得其系数为：

(40)

(41)

(42)

四个系数可简写为：

(43)

(44)

(45)

假设磁型并矢格林函数为：

(46)

将式(45)和(46)代入DGF满足的麦克斯韦方程[20]：

(47)

求解系数得：

(48)

(49)

将系数表达式(48)和(49)代入式(46)得：

(50)

用围线积分法计算[21]，对TE模当：

(51)

根据式(50)解得：

(52)

对TM模，当：

(53)

根据式(50)解得：

(54)

(55)

式(55)中上行符号对应z>z′，下行符号对应z

(56)

式(56)中，kμ、kλ表示两组模式相应的导波函数。

(58)

δ(r-r′)=δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)，

(59)

(60)

(61)

(62)

式(62)中使用了两个单位阶跃函数为：

(63)

(64)

进一步推导得：

(65)

由广义函数理论知：

∇U(z-z′)=ezδ(z-z′)，

(66)

∇U(z′-z)=-ezδ(z-z′)。

(67)

将式(66)、式(67)代入式(65)得：

(68)

利用式(60)，式(68)又可写成：

(69)

式(69)对于所有ρ，φ，z值都适用，由于下式成立：

δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)δ(z-z′)=δ(R-R′)。

(70)

把式(69)和式(70)代入式(61)得：

(71)

将式(55)代入式(71)得圆柱波导第一类电型DGF为：

(72)

3 结语

利用分离变量法获得圆柱坐标系中的标量波函数，进而研究圆柱系中的矢量波函数，部分地证明这些函数的正交归一化性质，利用这些性质并借助Ohm-Rayleigh方法详细推证圆柱坐标系中圆柱波导的第一类电型并矢格林函数关系，利用此关系并借助第一、二类电型并矢格林函数对称关系获得第二类电型并矢格林函数，这些电型并矢格林函数对解决在圆柱波导壁上用开口孔径场激励的波导内场等问题可提供理论依据和指导方法[22]。