探秘坐标系中的“点”与“线”

文／黄 锦

我们知道，几何图形具有直观、形象等特点。作为构成复杂图形的元素，点与线也不例外。如果将点、线放到平面直角坐标系中研究，则会让我们如虎添翼，在感性基础上又增添几分理性的色彩。那么点、线与坐标系“相遇”究竟会碰撞出怎样的火花呢？这里结合2021 年几道中考试题，老师带领大家一探究竟。

一、聚焦——坐标系中的“点”

例1（2021·黑龙江绥化）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂 直 于x轴，以MN为 对 称 轴 作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，与x轴交于点G，点D的对应点B恰好落在的双曲线上。点O、E的对应点分别是点C、A。若点A为OE的中点，且△AEF的面积为1，则k的值为_____。

图1

【思路分析】从图形上直观感受点的对称性。由此可得到GE=GA、CG=OG、BC=OD、AE=AO，再根据△EGF∽△EOD，可得OD=4FG。k的值与点B的坐标相伴相生。观察到点D关于直线MN对称后的点B坐标是变化的，不妨设EG=m，FG=n，即D点坐标为（0，4n），B点坐标为（-6m，4n）。由△AEF的面积为1，得mn=1。又因为B点落在反比例函数图像上，所以k=-6m·4n=-24。

【方法归纳】我们在图形的对应关系中应多“聚焦”点的变化，借助坐标系的代数特征，通过设未知数来表示点的坐标，在变化中寻找关于点的坐标的不变规律。充分利用坐标系的定位与描述功能，可以赋予点更多的内涵。

二、联动——坐标系中的“线”

例2（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'（B'、C'分别是B、C的对应点），则称线段BC是⊙O的 以 点A为 中 心 的“关 联 线段”。△ABC是边长为1 的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0。若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值。

【思路分析】同学们还记得旋转的性质吗？旋转前后对应点到旋转中心连线的距离是相等的。由此可知，当BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”时，不仅△ABC是等边三角形，△AB′C′也是等边三角形。相同情况下，对于B′C′与BC，你更“喜欢”谁？毫无疑问是B′C′。理由是B′C′更方便利用圆的相关性质解决问题。当点A在y轴的正半轴上时，如图2，设B'C'与y轴的交点为D，连接OB'，易得B'C'⊥y轴，所以，所以OA=；当点A在y轴的负半轴上时，如图3，同理可得综上所述，

图2

图3

【方法归纳】我们在研究动态问题时，要多关注运动过程中的变量与不变量，而图形的旋转要从旋转方向、角度等要素中找到合理、方便的研究对象。此外，由于线段B′C′长度一定，故点B′与点C′的坐标间必然存在着某种关联，因此，在坐标系中研究B′C′时要充分利用这种“关联”。