理论/实践相融合的有限元课程教学改革与实践

杨旭锋，刘永寿

（1. 西南交通大学 机械工程学院，四川 成都；2. 西北工业大学 力学与土木建筑，陕西 西安）

一 引言

有限元法是一种求解连续复杂结构响应的数值计算方法，其广泛应用在航空航天、土木工程、轨道车辆、水利工程、生物力学、医疗机械等多个领域[1-2]。目前我国工业领域的大型企业，都已将计算机辅助分析（CAE）仿真分析作为结构设计人员的必备技能，强度校核也早已成为设计人员开展设计的必经阶段。工业4.0 时代，频繁提到的高精尖技术如“数字孪生”“在线监测”“故障诊断”“剩余寿命评估”“轻量化设计”“可靠性设计”等，无一不以有限元法为基础[3-4]。目前，我国大部分高等院校的土木、机械、力学等专业，都已将有限元法作为本科生的专业必修课[5-6]。有限元法也承载着助力学生将已有的数力学知识融会贯通并解决复杂工程问题的使命[7]。

二 问题描述

西南交通大学机械工程学院作为一家具有浓郁交通特色的工科类院校，考虑到有限元法在轨道交通、汽车、工程机械、工业机器人、机床等领域的广泛应用，为本科生开设了《有限元法及应用》的课程。目前该课程学时数目为32，为本科生专业必修课。考虑到学时数目的限制，在开设之初，侧重于有限元基础理论的讲解。这门课为学生讲解了四方面内容[8]：桁架和钢架有限元分析、弹性力学基础知识、连续体有限元分析和等参单元。理论内容综合涉及了大学的多个数学力学知识，例如多元函数的偏微分方程、矩阵论、数值计算方法、材料力学、弹性力学等。部分内容涉及到研究生才学到的数学知识，如基于Lagrange 基函数构造复杂单元的形函数、高斯数值积分、基于最小二乘理论进行应力磨平等。涉及面广，内容晦涩难懂。单纯数学公式的推导、复杂理论的讲解，学生不免感到味同嚼蜡、学习兴趣难以调动。同时，重理论、轻应用的教学模式，降低了学生利用数学知识解决实际工程问题的能力。

三 教学改革实践

为了提升课程的教学质量，更好地培养本科生利用数学知识，分析和解决实际问题的能力，本文基于作者在《有限元法及应用》教学中的经验，开展了一系列的有限元课程教改探索。

在理论讲解的同时，辅助以计算机模拟，可以帮助学生理解艰深的数学知识、增强学生解决实际问题的能力。为此，课程团队针对课程的几大块内容，设计合理的计算机模拟实验，充分将有限元计算机模拟融入到有限元理论教学中。同时，对原有教学内容进行了精炼，探索了线上/ 线下混合教学在课程教学中的应用，并引入“学为中心”的先进教学模式，最大限度激发学生的学习兴趣、提高学生的接受程度。

（一） 教学内容的精炼

由于本门课程只有32 学时，为了增加对学生利用仿真软件解决工程问题能力的培养，需要对原有的教学内容进行压缩。压缩的基本原则是，在保留有限元理论全貌的前提下，删减细枝末节的知识点。以此原则为指导，对教学内容进行了精炼，结果见表1。（1）新的教学内容基本删除或弱化了三维空间问题的知识点，重在讲解简单的二维平面问题；而空间问题重在二维向三维的规律性推演。（2）新的教学内容删除或弱化了弹性力学基础知识和等参单元，因其涉及的数学知识太过艰深，且与工程应用偏离较大。（3）保留的内容基本涵盖了有限元中的矩阵运算、单元刚度矩阵组装等关键特点，学生通过精简知识的学习，仍然能够理解有限元法的求解过程，仍然能够利用数学知识完成简单平面问题的解题。

表1 教学内容的精炼

（二） 理论验证

通过理论的学习，学生应当对有限元分析的基本概念、建模、求解有充分的认识。但是，这些内容涉及矩阵分析，公式推导仍然很多。仅仅依靠教师一言堂式的讲解，难以触及有限元分析的本质。为此，基于Matlab，设计完整的桁架、钢架有限元、平面应力问题的数值模拟实验，对理论知识进行验证。Matlab 是专门针对矩阵运算而开发的软件，具有强大的矩阵运算功能。因此，非常适合有限元理论的辅助学习。

对于杆系结构，从单元刚度矩阵的建立、方向余弦矩阵的建立、矩阵的分块到总体刚度矩阵的组装、求逆、内力和应力的求解、分析结果的可视化等一套完整的流程，全部采用Matlab 实现，一步一步给出有限元分析的结果。从而让学生彻底掌握杆系结构有限元分析的基本流程。对于平面应力问题，编写Matlab 程序，展示三角形单元和四边形单元的划分、节点和单元的存储、应力位移和应变三者的相互关系、单元刚度矩阵的建立（积分方式推导）、总体刚度矩阵的组装、求逆、位移和应力的求解、主应力和主方向的求解、分析结果的可视化等关键步骤，每一步都将结果呈现出来，从而让学生彻底掌握连续体有限元分析的基本流程。

（三） 基于Ansys 的有限元模拟

Matlab 只适用于演示简单的有限元算例，对于理论的深入理解有帮助。但是，对于解决复杂工程问题却显得力不从心。为此，在本课程教学过程中，作者设计了多个基于Ansys 软件的工程问题求解案例，从而加强学生对专业有限元分析软件的学习。

本门课在原有理论内容的基础上，增设了Ansys 软件的讲解的内容，共计12 节。这些内容包括Ansys 软件前处理、求解和后处理，以及多个工程案例讲解。表2 给出了Ansys 软件入门的讲解内容与课时安排。在工程案例中，精选了空间钢架、桁架结构、板壳结构、连续体结构、接触非线性结构静强度分析等，如图1 所示。这些案例，重在让学生掌握结构化网格的剖分、载荷与边界条件的施加、不同类型结构单元的选择与结果处理等内容。

表2 基于Ansys 的有限元模拟教学内容

图1 基于Ansys 的有限元模拟的工程案例

（四） 线上/线下的有机融合

由于本门课程只有32 学时，时间很短。课程内容讲完，所余课时较短，难以集中给出上机时间，让学生完成所有案例。因此，作者尝试了线上/线下教学模式的融合。受本次疫情期间的线上教学的启发，录制了上述计算机模拟教学的视频，视频经压缩后，上传至百度云平台。而后组织和管理学生利用课余时间开展线上视频学习，并根据视频中的操作流程，动手实现上述案例，并形成报告。

线下教学，进行计算机模拟关键步骤的讲解和学生所遇问题的答疑。同时为增强学生的学习兴趣，引入了“学为中心”的先进教学模式。将学生分为多个小组，进行分组合作性学习。每个小组重点学习单个计算机模拟实验，按照线上视频预先学习的操作步骤，开展翻转课堂教学，课上由各个小组的推荐人员进行有限元模拟实验的操作演示教学。以此方式，既可以提高上课效率，又可以提高学生的参与度。

（五） 综合评价机制

由于教学内容的改进，针对本课程的评价方法也应当相应改变。课程团队研究了“线上+线下”“平时成绩+ 期末成绩”的双重评价机制。其中平时成绩占比50%，期末考试50%。为考核学生对Ansys 软件的掌握情况，将学生利用课余时间对教学案例的实现情况进行考核。同时布置了案例库中未涉及的例子，作为平时作业。二者一起作为平时成绩的考核内容。为防止学生抄袭，特将有限元分析的各项输入参数（载荷、弹性模量、关键几何尺寸）与学生本人学号挂钩，以保证每名学生都有单独的题目。

四 结语

经过一系列的改革，学生的学习兴趣明显提高，多数学生能够在兴趣的驱动下积极完成平时作业，学生的挂科率也在降低。从期末学生的教学评价结果来看，学生对本门课的满意度相较往年也有显著提高。从大四学生毕业后的反馈来看，多数学生表示本门课对其完成毕业设计——解决实际的工程问题，有较大帮助。尽管取得了一定成果，课程团队仍会在日后的教学活动中，积极总结、不断聆听、持续改进，从而使该门课不断适应时代的发展。