直观想象素养的水平划分与评价——以2021年高考数学天津卷为例

谭 毅 沈 婕 刘 勇 王洪亮 李 瑛

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生所具备的数学思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这六个核心素养既具有相对独立性，各自具有鲜明的特征，又组成一个有机整体，具有整合性和综合性的特点[1]4。数学核心素养的水平主要表现在学生学习数学和运用数学解决问题的过程中，根据问题解决的情况，可评价学生相应核心素养的发展水平。2021 年普通高等学校招生统一考试（天津卷）数学试卷（以下简称“2021 年高考数学天津卷”）所考查的核心素养的分布如表1所示：

表1 2021年高考数学天津卷各核心素养

从数据上看，试卷主要考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析四大数学核心素养，数学抽象与数学建模两个核心素养虽未直接考查，但在试卷中也有所涉及。其中，数学运算所占比例最高，直观想象素养也占有较高的比例。直观想象素养整合了空间想象、几何直观和空间观念，是问题解决的可视化手段，影响人对客观世界的感知与认识，是人脑发展的一个独特领域，也是数学抽象或数学建模的基础。以高考考生实测数据为依据，以直观想象的水平划分为标准，评价考生的直观想象素养的发展水平，能够指导教师针对提升直观想象素养的水平开展教学活动、实施教学策略。

一、直观想象素养的概念及水平划分

《普通高中数学课程标准（2017 版）》（以下简称“《课程标准》”）指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：利用空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路[1]6。

《课程标准》将直观想象素养水平从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面，划分为三个水平。水平一是高中毕业应当达到的要求，水平二是高考的要求，水平三是学生完成必修、选择性必修和选修课程的相应内容应该达到的要求。

为了能够更加科学、系统地评价考生直观想象素养的发展水平，天津市教育质量评估监测中心高考评价项目数学学科组，借鉴《课程标准》附录1 的《数学学科核心素养的水平划分》，并结合直观想象素养的考查特点，将学生直观想象素养发展水平下三个不同的指标特征进行了详细划分，并制定了具体的评价标准，如表2所示：

表2 直观想象素养指标特征及水平划分表[2]

例题1：2009年高考数学天津卷（理工类）第15题

在四边形ABCD中，求四边形ABCD的面积.

该题重点考查直观想象素养中的几何直观和数形联系的能力。学生在解决问题时，首先要正确理解所表达的图形特征，即四边形ABCD为有一组对边长是的平行四边形，这需要学生了解向量的坐标表示，并能抽象出几何图形，即学生要达到几何直观水平一的要求。其次，学生要清楚等式“所表达的几何意义，主要分为两个层次：第一是理解分别表示与同方向的单位向量，且是一组共线向量，这需要学生能够在关联的数学情境中抽象并分析图形的性质，即需要学生达到几何直观水平二的要求；第二是由可以分析出四边形ABCD为∠B= 60°的菱形，并利用上述图形特征求出四边形ABCD的面积，需要学生达到数形联系水平二的要求。如果学生能够在解决此类问题的基础上，进一步厘清向量与平面几何图形间的关系，充分理解向量的几何特征，在综合利用向量知识解决更为复杂的问题的同时，能够形成解决问题的基本思路，能够形成数形结合的思想，可以认为达到了数形联系水平三的要求。

二、直观想象素养试题实测数据分析

2021年高考数学天津卷中考查直观想象素养的题目为第3、6、8、9、12、18_1、18_2 题，分值为40 分，知识涵盖对数函数、三角函数、立体几何、解析几何等多个方面。

采用安格夫方法，将考生分为精通水平（G4组）、熟练水平（G3组）、基本水平（G2组）以及基本水平以下（G1 组）四组，其分数段分别为123~150 分、101~122分、79~100分和79分以下，G5组为全体考生。

天津市考生的直观想象素养整体发展水平良好（得分率为0.60），但不同水平组之间却存在着显著差异，如表3所示：

表3 2021年高考数学天津卷直观想象素养各水平组得分率

下面结合试题对直观想象素养的考查情况以及考生的直观想象素养发展水平进行分析。

（一）基于空间想象的直观想象素养考查

例题2：2021年高考数学天津卷第6题

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

A.3π B.4π C.9π D.12π

【水平划分】本题考查了圆锥的性质、球体的体积公式及圆锥与球的位置关系等基础知识，其中圆锥与球的位置关系重点考查了直观想象素养中的空间想象能力。考生解决此问题时，需要想象出两个具有相同底面的不同圆锥在球中的正确位置关系，应划分为空间想象水平二。

【数据分析】本题得分率为0.74，属于简单题，各水平组得分如表4所示：

表4 2021年高考数学天津卷第6题各水平组得分率

从上面的数据不难看出，G3 组（熟练水平）、G4组（精通水平）考生在此题表现比较好，尤其是G4 组考生，该组仅有1%的考生答题有误。而G1 和G2 组均有较大比例的考生答题错误。结合各水平组的得分情况可以发现，直观想象素养中空间想象能力，尤其是想象物体间的相互位置关系（空间想象水平二）的能力，是一道“分水岭”，非常明显地将G1、G2组和G3、G4 组分开，说明G1 和G2 组考生运用空间想象辨析物体间位置关系的能力有待加强。

【教学反思】针对G1、G2组考生在空间想象水平方面所反映的问题，在立体几何的教学中，教师要注重培养这部分学生的空间想象能力。要有针对性地帮助G1、G2组考生提升能力，可借助立体模型展示、信息技术画图等方式，丰富学生的直观感受，激发学生的学习兴趣；对于一些简单的几何图形问题，也可以要求该水平组学生自己画图分析，在动手画图的过程中积累“空间想象”的经验；还可以渐进式地引导学生探索图形与图形之间关系，让学生更多地参与到“空间想象”的活动中来，逐步培养并提升空间想象能力。

（二）基于几何直观的直观想象素养的考查

例题3：2021年高考数学天津卷第12题

【水平划分】本题考查了直线与圆的位置关系问题，虽然题目考查的是考生熟悉的情境，但在解题过程中，需要考生先画出直线与圆相切的几何图形，进而发现“直线与y轴的夹角为30°”这一几何特征，从而求出线段AB的长，应划分为几何直观水平二。

【数据分析】本题得分率为0.58，属于中等题，各水平组得分如表5所示：

表5 2021年高考数学天津卷第12题各水平组得分率

从上面的数据可以发现，各水平组（G4 组除外）此题的得分率普遍偏低，尤其是G1 组考生表现出的水平与预期差距较大。通过考后调研发现，造成考生此题表现低于预期的原因主要有以下三个方面：（1）本题考查的是“直线与圆相切的位置关系”，与往年考查的“直线与圆相交的位置关系”问题略有不同，部分考生在高三复习过程中并没有重视这一知识点，练习较少，在考试中因为知识生疏导致没有思路；（2）本题求线段AB长的关键在于将“直线斜率为

【教学反思】考生在本题中的表现远不如预期，值得深刻反思。第一，不能过于功利化，不能因为上一年或前些年高考试卷考什么，就复习什么，将复习的视角仅仅停留在已考过的知识点上，而应该依据《课程标准》中的课程内容，全方位、多角度、无“死角”地引导学生进行复习；第二，不能过于模式化，不能要求学生机械地记忆几个公式，生硬地套用它们解题，而应该先让学生理解公式的意义、使用的条件等，再结合不同的问题情境帮助学生分析如何正确地选用并使用公式。特别是解析几何问题中，还应该让学生从几何图形入手，观察发现数形联系，逐步掌握“数”与“形”的相互转化能力，真正做到数形结合。本题条件中提到了“直线斜率为”，假如学生能够从直线倾斜角的角度出发，通过这个数，发现其“形”上的特征——直线与x轴的非负半轴夹角为60°，那么接下来要做的就是利用直角三角形中两直角边的关系，即可求出线段AB的长。

（三）基于数形联系的直观想象素养的考查

例题4：2021年高考数学天津卷第9题

设x∈R，函数

【水平划分】本题是函数综合题，考查了分段函数、二次函数、三角函数及函数零点等多个数学情境，各情境间相互关联、彼此影响，同时还有对参数a分类讨论的问题。考生需要先正确解决二次函数和三角函数的零点问题，然后灵活运用数形结合与分类讨论的思想方法研究参数a对零点个数的影响，并对分析结果进行合理取舍，本题划分为数形联系水平三。

【数据分析】本题得分率为0.18，属于难题，各水平组得分如表6所示：

表6 2021年高考数学天津卷第9题各水平组得分率

结合上面的数据可以看出，G1、G2、G3三组得分率非常接近且普遍偏低，G4 组表现明显好于其他三组，但答题正确的人数依然没有过半。通过考后的问卷调查发现，考生不能完成此题的情况大致可以分为三类：第一类是不能正确求出分段函数f（x）中三角函数部分的零点表达式（可认为此类考生没有达到数形联系水平一）；第二类是能正确求出三角函数部分的零点表达式，但不能正确理解分段函数中参数a的作用（可认为此类考生没有达到数形联系水平二）；第三类是上述问题均能完成，但不会运用数形结合与分类讨论的思想方法对函数的六个零点进行正确分析（可认为此类考生没有达到数形联系水平三）。

【教学反思】本题情境综合、问题复杂，对考生直观想象素养中数形联系能力水平的要求较高，虽然大多数考生不能答对此题，如G1（0.12）、G2（0.13）、G3（0.14）三个水平组，其得分率相差无几，但导致各水平组答题错误的原因可能不尽相同。教师在平时指导学生解决此类问题时，应该根据学生水平不同、对问题理解程度的不同，采取“分层教学”的方法进行。以G3 水平组的考生为例，该组考生可以求出题目中三角函数部分的零点表达式，其问题在于不会对参数a进行正确分类讨论，那么针对该水平的学生，教师在教学中应该围绕如何正确理解参数在问题中的作用、如何结合问题对参数进行合理分类展开复习指导。

例题5：2021年高考数学天津卷第18题

（I）求椭圆的方程；

（II）直线l 与椭圆有唯一的公共点M，与y 轴的正半轴交于点N，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程.

【水平划分】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系问题。本题第（I）问直接利用离心率和线段BF的长，列方程组，求出椭圆标准方程中的a和b即可，属于数形联系水平一。第（II）问需要考生用正确的代数形式表达直线与椭圆相切，并求出切点的坐标；同时要求考生用正确的数学语言刻画出直线的垂直与平行关系，最后列方程求解——此问题的解决需要考生具备分析几何图形的能力及用代数方法解决图形关系的能力，属于数形联系水平二。

【数据分析】本题得分率为0.58，属于中等偏难题。其中第（Ⅰ）问占5 分，得分率为0.90；第（Ⅱ）问占10分，得分率为0.41，各水平组得分如表7所示：

表7 2021年高考数学天津卷第18题各水平组得分率

本题第（I）问对考生的数形联系能力要求并不高，但G1 水平组考生的得分率仅为0.51，而其他三个水平组的得分率均高于0.9，达到了预期。

通过分析学生的答题过程发现，G1 组考生在完成第（1）问的过程中主要存在两方面问题：一方面是不能将问题转化成准确的方程组，即建立数形联系的能力不足（如图1）；另一方面是不能正确求解方程组中变量，即数学运算素养有待提升（如图2）。

图1

图2

表8 2021年高考数学天津卷第18_II题各水平组得分汇总

从表8 可以看到，第（2）问各组得分率差异较大。其中G1、G2 组考生得分在2 分以下的比例分别约为96%和60%，说明这部分考生不能将几何问题转化为代数问题，也就是说基本不知道这道题到底要“算什么”。G4 组得分在8 分以上的考生约占67%，说明这部分考生能够将“直线l 与椭圆有唯一的公共点M”“与y 轴的正半轴交于点N，过N 与BF垂直的直线交x 轴于点P”及“MP∥BF”，这些“形”的信息与“数”的形式建立正确联系，具备了将几何图形及图形之间的关系用代数形式表达的能力，达到了数形联系水平二。

【教学反思】通过上述数据及学生实际作答情况不难发现，学生在面对解析几何综合题时会遇到“算什么”“怎么算”“算不对”等诸多问题。在解析几何的教学中，教师在分析问题环节应该注重培养学生形成用代数方法解决几何问题的意识；在解决问题环节应该注重引导学生探求解题思路，掌握“建参”和“消参”的解题技巧；在运算求解环节应该让学生体验计算过程，不断对解题过程进行反思与优化，将培养的学生直观想象素养与数学运算素养有机地结合起来，真正做到促进学生数学核心素养的全面提升。

三、教学建议

（一）提炼梳理“直观想象”的教学内容，循序渐进地提升直观想象素养

在义务教育阶段，学生的直观想象素养具有一定的基础，具备简单的分析图形几何直观能力、正确想象图象的空间想象能力以及简单的数形联系的能力。进入高中数学课程学习后，直观想象素养仍然是一个具有连续性、阶段性、递进性的有机整体。教学中要以不同的知识背景为载体，有计划、有目的地帮助学生不断提升直观想象素养，其中梳理与其相关的教学内容，制定合理的阶段性目标是帮助学生提升直观想象素养的首要方法。

纵观整个高中数学课程，“预备知识”“函数”“几何与代数”主题均是培养直观想象素养的“主阵地”。如预备知识中的“一元二次方程和一元二次不等式”，函数主题中的“指对数函数的图象”“三角函数的图象”“导数的几何意义及其应用”等，特别是“几何与代数”主题中的几何部分，教学中要将知识中蕴含的素养显性化，直接呈现内容，并不断点拨，循序渐进地提升学生的直观想象素养。

直观想象素养的提升，要关注其阶段性与递进性。教学时可以“教学单元”为单位，提炼单元所体现的直观想象的特点，有计划有目的地开展相应的教学活动。函数单元主要提升学生运用图象的意识和能力，从而提升几何直观的能力；平面向量与解析几何单元主要提升学生“数”与“形”转化的能力，从而提升数形联系的能力；立体几何单元主要提升学生“想图、画图”的能力，从而提升数空间想象能力。

例如函数单元，在幂函数的教学中，以初中学过的函数为基础，通过教师问题引导，学生能产生“想图、画图、研究图”的意识；在指数对数函数的教学中，教师放手让学生运用类比的方法自己提出问题，并尝试画图、研究图形，体会图形在研究函数中的作用；在三角函数的教学中，教师引导学生理解单位圆后，由学生运用单位圆与图象相结合的方法，自主研究诱导公式、正（余）弦函数的周期性、对称性单调性和最大（小）值等性质，利用几何直观和代数运算的方法研究三角函数之间的一些恒等关系。学生通过对函数图象的系列学习，不断提升几何直观的能力，能从模仿画图，到尝试探究图象，最后能够独立地探究图象并运用图象研究性质。这样就实现了以“单元教学”理念为指导，循序渐进地提升学生的直观想象素养。

（二）运用“识、作、想、思”相结合的方法，全方位地提升直观想象素养

1. 注重“识图”能力的培养，多给学生用眼看的机会

图形是几何体呈现的载体，识图能力是作图、想象图形和分析图形的基础，因此应该注重学生识图能力的培养，多给学生用眼看的机会。例如在导数几何意义的教学中，学生很难理解无限逼近的思想，教师可借助数学软件如GeoGebra、几何画板等，将“平均变化率”到“瞬时变化率”、曲线的“割线”到“切线”的过程形象地展示出来，使学生丰富几何直观的体验，积累基本活动经验，领悟从“量变”到“质变”的哲学思想，实现传统教学无法实现的教学效果[3]。

2.注重“作图”能力的培养，多给学生动手画的机会

作图能力是识图的必然结果，是想象图形的较低层次，是分析图形的前提条件，因此应该注重学生作图能力的培养，多给学生动手画的机会。例如函数单元，在探究函数的图象与性质的教学中，教师应尽量设计学生动手画图的活动环节。虽然利用信息技术画图更“节省时间”，但学生并没有得到锻炼，今后遇到画图问题仍然不会画图或者画错图象。只有充分相信学生，放手让学生动手画图，才能将相对抽象的问题直观化，“以形助数”，让学生逐渐养成画图的习惯，最终形成将抽象的数学语言用直观图形呈现出来的能力。

3.注重“想图”能力的培养，多给学生动脑想的机会

想象图形的能力是作图能力的较高层次，是解决抽象问题的重要手段，因此应该注重学生想象图形能力的培养，多给学生动脑想的机会。在解决某些抽象的数学问题时，图形之间的相互关系不能轻易通过作图直观呈现出来，这就需要教师在平时教学中，借助信息手段为学生提供运用空间想象认识事物的素材，强调作图后归纳图形特点的重要性，培养学生形成将抽象的图形描述在大脑形成“几何直观”的能力。

4.注重“思图”（分析图形）能力的培养，多给学生思考分析的机会

分析图形的能力是识图、画图、想图能力的升华，因此应该注重学生分析图形能力的培养，多给学生思考分析的机会。例如，在解析几何的复习中，教师可以创设问题情境，引导学生从几何图形入手，通过观察、分析、思考，建立几何图形与代数式的关系，使学生理解运用“建参”和“消参”解决解析几何问题的基本方法，通过亲身经历，不断积累经验，逐步掌握分析图形的能力。

数学直观需要学生长期进行数学思维才能形成，因此，教师在教学中，一定要坚持让学生多看、多画、多想、多思考，将直观想象的培养贯穿整个高中数学教学全过程。

（三）经历“直观想象”的体验与反思的过程，潜移默化地提升直观想象素养

数学的学习需要学生经历问题的发现、提出、分析与解决的过程。直观想象素养的提升，同样需要学生在“体验与反思”的过程中，深入理解其内涵。教学中倡导教师要注重创设合理的情境，给学生发现与提出问题的机会，发现直观想象在解决问题中的作用，必要时教师可设计“问题串”，引导学生“画图、想图、用图”，从而培养使学生养成用“几何直观”解决问题的习惯。

例如，双曲线的渐近线的教学，可创设学生观察双曲线的“走势”、比较双曲线（单支）与抛物线图象异同的问题情境，教师再通过多媒体展示与推理探究的过程，帮助学生理解渐近线的方程。最后可进行教学反思，教师可设计问题串，“两个不相交的图形，其‘走势’有哪些特点？”“两个图形无限靠近时，其图形有何特征？其方程有何特征？”“你还能举出具有渐近线的图形例子吗？”在此过程中，学生通过自主发现渐近线，提升了观察图形的能力；通过探究渐近线方程，提升了运用代数方法描述几何图形的能力；通过反思学习过程，提升了深度分析图形关系能力。

（四）注重数形结合思想的教学，行之有效地提升直观想象素养

数形结合是直观想象素养的重要组成部分，更是发展学生直观想象核心素养的重要途径。它将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。在这个过程中既需要学生具有对图形的分析能力，又需要对图形的代数表达有深刻的理解，在两者结合的过程中，可有效提升学生的直观想象素养。在高三复习教学中可采用以下方法开展数形结合的教学：

1.向学生系统地介绍数形结合思想方法。例如，教师在教学中，可以通过一些问题情境的解决过程，让学生体会什么是由“数”到“形”，什么是由“形”到“数”，并利用解决问题的机会，加强对学生数形结合思想的渗透，让学生对数形结合思想方法有全面的认识和了解。

2.清楚数形结合思想在高考中的考查方向。数形结合的思想方法是历年高考数学天津卷的重要考点，其考核点主要体现在函数零点、不等式成立等为背景的知识点中，情境综合，难度大。因此，建议教师以专题形式复习，由易到难，循序渐进，阶梯式地提升思维层次，让学生的数形结合思维逐步得到提升。

3.注意数学结合思想在函数与解析几何复习中的不同特点。在函数的复习中，教师要让学生理解其“以形助数”的功能；在解析几何复习中，应该关注其“由形到数”的转化功能。

4.数形结合思想的教学过程不能急于求成。首先，教师在教学中要“慢”，给学生留足思考的时间，让其亲身经历，感受由形到数、由数到形的思维过程。然后，教师要“导”，引导学生思考、分析，促进其对数形结合思想的理解。最后，教师要让学生“探”，引导学生从数学思想方法的维度，探索数形结合在解题中的作用，并形成解决问题的基本思路。

以提升学生直观想象素养为目标的教学，无论是在日常教学中，还是在高考复习中均占有重要的地位，直观想象素养的培养不是一蹴而就的，它需要一个循序渐进的过程，需要教师将素养与知识相结合、与问题情境相结合、与教学相结合，研究适合学生发展的有效教学路径。