Darcy-Cahn-Hilliard系统的全局吸引子①

2022-06-14肖翔宇蒲志林

西南师范大学学报（自然科学版） 2022年5期

关键词：油页岩范数方程组

肖翔宇，蒲志林

四川师范大学数学科学学院，成都 610066

Darcy-Cahn-Hilliard系统是对于多孔介质或Hele-Shaw细胞中的两相不可压缩流体的一个经典的扩散界面模型[1-3]，形如

[p]=γκ， (x，t)∈∂ΩT

[u·n]=0， (x，t)∈∂ΩT

而在本文中所考虑的Darcy-Cahn-Hilliard系统是

u=-p-γφμ， (x，t)∈ΩT

(1)

(2)

φt+u·φ-εΔμ=0， (x，t)∈ΩT

(3)

(4)

其中：ΩT=Ω×(0，T)； ∂ΩT=∂Ω×(0，T)； ∂Ω代表Ω的边界，Ω⊂R2是有界区域，具有光滑边界；f(s)代表非线性项；ε，γ>0，本文为了简化，令ε=γ=1．方程(1)-(4)具有下列初边值条件：

(5)

(6)

φ(·， 0)=φ0(·)，x∈Ω

(7)

其中：向量u(x，t)代表流体速度，标量p(x，t)代表压力项，标量μ(x，t)代表相场函数，φ(x，t)代表化学势．在方程(1)中令γ=0可得到Darcy方程[4-5]，当方程(3)，(4)中少了u·φ时可得到Cahn-Hilliard方程[6-8]．

方程(1)-(7)是由Lee， Lowengrub和 Goodman所提出的，其模型是Boussinesq-Hele-Shaw-Cahn-Hilliard模型[1]的特例，将方程(1)-(7)称为DCH(Darcy-Cahn-Hilliard)系统．

定义如下能量方程：

(8)

(9)

系统解的长时间动力学行为和正则性一直备受关注．文献[2]研究了一类非自治Cahn-Hilliard-Darcy系统解的适定性和长期动力学行为，在H2(Ω)中，他们建立了拉回吸引子的存在性，证明了在时间趋于无穷时，任意全局弱解或强解收敛于单个稳态，并得到了其收敛速度．众所周知，耗散演化方程解的渐近行为可以用它的全局吸引子来恰当地描述．在许多问题中，初始状态的影响因子在一段时间以后就消失了，因此永久状态是极其重要的．

总的来说，在某种意义上，全局吸引子是相空间中一个较小的子集，它捕获了所涉及的无限维动力学系统的所有重要信息，其中包括所有的稳态、周期轨道和不稳定流形．文献[10]对Cahn-Hilliard-Brinkman系统在Hs(Ω)(s=1，2，3，4)中全局吸引子的存在性以及分数维空间全局吸引子的存在性进行了证明．本文对Darcy-Cahn-Hilliard系统在L2(Ω)，H1(Ω)中全局吸引子的存在性进行研究．

在本文中，取非线性项条件为f(s)=s3-s，所有的Lp范数都用‖·‖p表示，Hs范数用‖·‖Hs表示，用(·， ·) 表示L2内积．

本文将得到弱解的一些能量估计以及渐近估计；定义半群S(t)，通过一些渐近的能量估计以及结合半群理论、空间嵌入定理以及紧性引理来证明L2(Ω)，H1(Ω)全局吸引子的存在性．

1 弱解的适定性

通过分部积分将方程组变形，得到方程弱解[11]的形式

(u，q)=0， ∀q∈H1(Ω)

(10)

〈φt，v〉+(μ，v)-(φ·u，v)=0， ∀v∈H1(Ω)

(11)

(μ，ψ)-(φ，ψ)-(φ3-φ，ψ)=0， ∀ψ∈H1(Ω)

(12)

该形式方程组也满足方程(5)，(6)，(7)的初边值条件

(13)

(14)

φ(·， 0)=φ0(·)，x∈Ω

(15)

定理1假设φ0∈H1(Ω)和J(φ0)≤C0，方程组(10)-(15)存在以下形式的弱解

(p+φμ，v)=0， ∀v∈H1(Ω)

(φt，q)+(μ，q)+(φ(p+φμ)，q)=0， ∀q∈H1(Ω)

(μ，φ)-(φ，φ)-(f(φ)，φ)=0， ∀φ∈H1(Ω)

φ∈L∞((0，T)；H1(Ω))∩L2((0，T)；H3(Ω))

μ∈L2((0，T)；H1(Ω))

当任意的t∈(0，T)，方程组(10)-(15)满足以下估计：

证利用伽辽金近似方法，即用有限维逼近无限维，对φ，p，μ构造出近似解．我们将使用H1(Ω)的一组有限维的正交基向量{ωi}i=1，…，m，这些基向量所张成的空间我们记为Wm，其中我们找到

代入方程(10)-(12)可得

(pm+γφmμm，q)=0 ∀q∈H1(Ω)

(16)

(17)

(18)

(19)

对方程(19)两边同时对时间变量t求积分，得

因此

φm∈L∞((0，T)；H1(Ω))

um∈L2((0，T)；L2(Ω))

μm∈L2((0，T)；H1(Ω))

利用方程(4)，

故φm∈L2(0，T；H3(Ω))．

在方程(3)中内乘∀v∈H1(Ω)，令Φ表示将标准的L2空间映射到H1空间的投射算子，

对于‖φm‖∞，利用Gagliardo-Nirenberg不等式[12]

最后再结合Aubin-Lions引理以及勒贝格控制收敛定理[13]得证．

下面进行一些能量估计．

在方程(10)中取q=p，在方程(11)中取v=μ，在方程(11)中取ψ=-φt，并将3式相加得到：

(20)

对任意的T>0，同时对方程(20)取积分(0，t)，t∈(0，T)，则有：

(21)

(22)

再利用方程(21)，得到

油页岩资源的主要用途是通过干馏生产页岩油，同时还可以得到瓦斯尾气、干馏污水、油泥、页岩废渣等副产品。为了使油页岩资源物尽其用，真正做到“吃干榨净”，根据各产品的性质，确定了油页岩炼油主、副产品的加工利用方案，在得到各种高附加值产品、获得更高经济效益的同时，也使油页岩资源的利用形成了循环经济产业链，获得了较好的社会效益与环境效益。抚顺矿业集团在油页岩资源综合利用方面的经验值得推广与借鉴。

(23)

(24)

对方程(4)的空间变量进行求导，得到

μ=-Δφ+3φ2φ-φ

利用范数估计以及Ladyzhenskaya不等式

我们得到

因此有

(25)

利用嵌入不等式

则有

(26)

接下来证明弱解的唯一性．