几类与布朗运动有关的高斯过程的再生核Hilbert空间

艾晓辉, 孙 阳

(1.东北林业大学 理学院, 哈尔滨 150040； 2.哈尔滨理工大学 理学院, 哈尔滨 150080)

0 引 言

1 预备知识

定义1[14]设H是Hilbert空间，其内元素是非空集合E上复值函数，函数K(s,t)满足

K:E×E→C

(s,t)K(s,t)

是Hilbert空间H的再生核，其充分必要条件为:

(1) ∀t∈E,K(.,t)∈H;

(2) ∀t∈E, ∀φ∈H， 〈φ,K(.,t)〉=φ(t)。

一个有再生核的复值函数的Hilbert空间叫做再生核Hilbert空间。

这里条件(2)被称为再生性。通过条件(1)和条件(2)可得：

∀(s,t)∈E×E，K(s,t)=〈K(.,t),K(.,s)〉

定义2[15]任意的再生核是正定函数。

2 带线性漂移的布朗运动的再生核Hilbert空间

定理2.1[16]带线性漂移的布朗运动X(t)=W(t)+μt，μ∈R+,t∈[0,1]的协方差K(s,t)s,t∈[0,1]为：

K(s,t)=s∧t+μ2st

(1)

证明

K(s,t)=E[X(s)X(t)]

=E[(W(s)+μ)(W(t)+μt)]

=E[W(s)W(t)+W(s)μt+W(t)μs+μ2st]

=E[W(s)W(t)]+E[W(s)]μt+E[W(t)]μs+μ2st

=s∧t+μ2st

定理2.2[14](Mercer定理)若K(s,t)是连续正定函数，则存在特征序列fn(·)∈HR和相应的非负特征值λn，使得：

(2)

(3)

δmn是Kronecker delta函数，有：

(4)

式中，级数在T=(a,b)上一致收敛。

以上定义的内积为:

(5)

定理2.3带线性漂移布朗运动的KL展开为：

(6)

式中λi，i=1, 2···,n，n∈N，为式(7)所示方程的解：

(7)

证明把带线性漂移的布朗运动的协方差函数K(s,t)代入等式(2)，得：

(8)

整理得：

(9)

等式(9)两边对t求导,得:

(10)

对等式(10)两边同时关于t再次求导，得:

-f(t)=λf″(t)

(11)

整理得

λf″(t)+f(t)=0

(12)

对式(10)求解，可得:

(13)

由式(8)给出的边值条件，求得:

f(0)=0 时,c2=0

(14)

把c2=0代入式(13),得:

(15)

把式(15)代入式(8),得：

(16)

整理得：

下面利用文献[9]中 5.2.2 命题2给出带线性漂移布朗运动以协方差为再生核的Hilbert空间。

定理2.4带线性漂移布朗运动X(t)=W(t)+μt,μ∈R+,t∈[0,1]以协方差函数K(s,t)作为再生核的Hilbert空间为:

其内积为：

式中:

3 Demeaned布朗运动的再生核Hilbert空间

(17)

下面利用文献[9]中5.2.2的命题1给出Demeaned布朗运动以协方差为再生核的Hilbert空间。

其内积为:

式中

(18)

(19)

其导数为：

(20)

(21)

4 Demeaned布朗桥的再生核Hilbert空间

(22)

证明

下面利用文献[9]中给出Demeaned布朗桥以协方差为再生核的Hilbert空间。

其内积为:

式中

(23)

(24)

其导数为：

(25)

(26)

4 结 论

研究了三类与布朗运动有关的高斯过程再生核Hilbert空间。从协方差函数出发，利用Karhunen-Loève展开理论得到特征函数作为基函数构造再生核Hilbert空间。这项研究丰富了再生核Hilbert空间理论研究，可更好地理解高斯过程协方差函数与再生核Hilbert空间的联系，为研究高斯过程协方差提供了一种新思路。这项研究还可以从现有的阿基米德数域拓展到p-adic数域展开再生核Hilbert空间理论探索。